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1、題型練9 大題綜合練(一)
1.(2019天津,文16)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知b+c=2a,3csin B=4asin C.
(1)求cos B的值;
(2)求sin(2B+π6)的值.
2.某公司計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)1臺(tái)機(jī)器,該種機(jī)器使用三年后即被淘汰.機(jī)器有一易損零件,在購(gòu)進(jìn)機(jī)器時(shí),可以額外購(gòu)買(mǎi)這種零件作為備件,每個(gè)200元.在機(jī)器使用期間,如果備件不足再購(gòu)買(mǎi),則每個(gè)500元.現(xiàn)需決策在購(gòu)買(mǎi)機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購(gòu)買(mǎi)幾個(gè)易損零件,為此搜集并整理了100臺(tái)這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù),得下面柱狀圖:
記x表示1臺(tái)機(jī)器在三年使用期內(nèi)需更換的易損
2、零件數(shù),y表示1臺(tái)機(jī)器在購(gòu)買(mǎi)易損零件上所需的費(fèi)用(單位:元),n表示購(gòu)機(jī)的同時(shí)購(gòu)買(mǎi)的易損零件數(shù).
(1)若n=19,求y與x的函數(shù)解析式;
(2)若要求“需更換的易損零件數(shù)不大于n”的頻率不小于0.5,求n的最小值;
(3)假設(shè)這100臺(tái)機(jī)器在購(gòu)機(jī)的同時(shí)每臺(tái)都購(gòu)買(mǎi)19個(gè)易損零件,或每臺(tái)都購(gòu)買(mǎi)20個(gè)易損零件,分別計(jì)算這100臺(tái)機(jī)器在購(gòu)買(mǎi)易損零件上所需費(fèi)用的平均數(shù),以此作為決策依據(jù),購(gòu)買(mǎi)1臺(tái)機(jī)器的同時(shí)應(yīng)購(gòu)買(mǎi)19個(gè)還是20個(gè)易損零件?
3.如圖,在三棱錐P-ABC中,平面PAC⊥平面ABC,∠ABC=π2,點(diǎn)D,E在線段AC上,且AD=DE=EC=2, PD=PC=4
3、,點(diǎn)F在線段AB上,且EF∥BC.
(1)證明:AB⊥平面PFE;
(2)若四棱錐P-DFBC的體積為7,求線段BC的長(zhǎng).
4.如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知直線l:x-y-2=0,拋物線C:y2=2px(p>0).
(1)若直線l過(guò)拋物線C的焦點(diǎn),求拋物線C的方程;
(2)已知拋物線C上存在關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)的相異兩點(diǎn)P和Q.
①求證:線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為(2-p,-p);
②求p的取值范圍.
5.已知曲線f(x)=lnx+kex在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與y軸垂直,F(x)=xexf'
4、(x).
(1)求k的值和F(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)已知函數(shù)g(x)=-x2+2ax(a為正實(shí)數(shù)),若對(duì)于任意x2∈[0,1],總存在x1∈(0,+∞)使得g(x2)
5、s2B=154,從而sin2B=2sinBcosB=-158,cos2B=cos2B-sin2B=-78,故sin2B+π6=sin2Bcosπ6+cos2Bsinπ6=-158×32-78×12=-35+716.
2.解(1)當(dāng)x≤19時(shí),y=3800;
當(dāng)x>19時(shí),y=3800+500(x-19)=500x-5700.
所以y與x的函數(shù)解析式為
y=3800,x≤19,500x-5700,x>19,(x∈N).
(2)由柱狀圖知,需更換的零件數(shù)不大于18的頻率為0.46,不大于19的頻率為0.7,故n的最小值為19.
(3)若每臺(tái)機(jī)器在購(gòu)機(jī)同時(shí)都購(gòu)買(mǎi)19個(gè)易損零件,則這100
6、臺(tái)機(jī)器中有70臺(tái)在購(gòu)買(mǎi)易損零件上的費(fèi)用為3800,20臺(tái)的費(fèi)用為4300,10臺(tái)的費(fèi)用為4800,因此這100臺(tái)機(jī)器在購(gòu)買(mǎi)易損零件上所需費(fèi)用的平均數(shù)為
1100(3800×70+4300×20+4800×10)=4000.
若每臺(tái)機(jī)器在購(gòu)機(jī)同時(shí)都購(gòu)買(mǎi)20個(gè)易損零件,則這100臺(tái)機(jī)器中有90臺(tái)在購(gòu)買(mǎi)易損零件上的費(fèi)用為4000,10臺(tái)的費(fèi)用為4500,因此這100臺(tái)機(jī)器在購(gòu)買(mǎi)易損零件上所需費(fèi)用的平均數(shù)為1100(4000×90+4500×10)=4050.
比較兩個(gè)平均數(shù)可知,購(gòu)買(mǎi)1臺(tái)機(jī)器的同時(shí)應(yīng)購(gòu)買(mǎi)19個(gè)易損零件.
3.(1)證明由DE=EC,PD=PC知,E為等腰△PDC中DC邊的中點(diǎn)
7、,故PE⊥AC.
又平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,PE?平面PAC,PE⊥AC,所以PE⊥平面ABC,從而PE⊥AB.
因∠ABC=π2,EF∥BC,故AB⊥EF.
從而AB與平面PFE內(nèi)兩條相交直線PE,EF都垂直,所以AB⊥平面PFE.
(2)解設(shè)BC=x,則在Rt△ABC中,
AB=AC2-BC2=36-x2,
從而S△ABC=12AB·BC=12x36-x2.
由EF∥BC知,AFAB=AEAC=23,得△AFE∽△ABC,故S△AFES△ABC=232=49,即S△AFE=49S△ABC.
由AD=12AE,S△AFD=12S△AFE=12·4
8、9S△ABC=29S△ABC=19x36-x2,從而四邊形DFBC的面積為S四邊形DFBC=S△ABC-S△AFD=12x36-x2-19x36-x2=718x36-x2.
由(1)知,PE⊥平面ABC,所以PE為四棱錐P-DFBC的高.在直角△PEC中,PE=PC2-EC2=42-22=23.體積VP-DFBC=13·S四邊形DFBC·PE=13·718x36-x2·23=7,
故得x4-36x2+243=0,解得x2=9或x2=27,由于x>0,可得x=3或x=33.
所以,BC=3或BC=33.
4.解(1)拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為p2,0,
由點(diǎn)p2,0在直線
9、l:x-y-2=0上,
得p2-0-2=0,即p=4.
所以拋物線C的方程為y2=8x.
(2)設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),線段PQ的中點(diǎn)M(x0,y0).
因?yàn)辄c(diǎn)P和Q關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng),所以直線l垂直平分線段PQ,
于是直線PQ的斜率為-1,則可設(shè)其方程為y=-x+b.
①證明:由y2=2px,y=-x+b消去x得y2+2py-2pb=0.(*)
因?yàn)镻和Q是拋物線C上的相異兩點(diǎn),所以y1≠y2,
從而Δ=(2p)2-4×(-2pb)>0,化簡(jiǎn)得p+2b>0.
方程(*)的兩根為y1,2=-p±p2+2pb,
從而y0=y1+y22=-p.
因?yàn)镸(x0,y0)
10、在直線l上,所以x0=2-p.
因此,線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為(2-p,-p).
②因?yàn)镸(2-p,-p)在直線y=-x+b上,
所以-p=-(2-p)+b,即b=2-2p.
由①知p+2b>0,于是p+2(2-2p)>0,
所以p<43.因此,p的取值范圍是0,43.
5.解(1)f'(x)=1x-lnx-kex,f'(1)=1-ke=0,∴k=1.
∴F(x)=xexf'(x)=1-xlnx-x,
∴F'(x)=-lnx-2.
由F'(x)=-lnx-2>0?01e2,
∴F(x)的單調(diào)增區(qū)間為0,1e2,單調(diào)減區(qū)間為1e2,+∞.
(2)∵對(duì)于任意x2∈[0,1],總存在x1∈(0,+∞),使得g(x2)1時(shí),g(x)max=g(1)=2a-1,
∴2a-1<1+1e2.
從而1
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