4、質(zhì)檢一)若e1，e2是夾角為60°的兩個(gè)單位向量，則向量a＝e1＋e2，b＝－e1＋2e2的夾角為( )
A．30° B．60° C．90° D．120°
答案 B
解析 依題意，有e1·e2＝cos60°＝，則cos〈a，b〉
＝＝
＝＝＝，故〈a，b〉＝60°，故選B．
8．已知在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，點(diǎn)P是斜邊AB上的中點(diǎn)，則·＋·＝________．
答案 4
解析 由題意可建立如圖所示的坐標(biāo)系．可得A(2，0)，B(0，2)，P(1，1)，C(0，0)，則·＋·＝(1，1)·(0，2)＋(1，1)·(2，0)＝2＋2＝4．
5、
二、高考小題
9．(2018·全國(guó)卷Ⅱ)已知向量a，b滿足|a|＝1，a·b＝－1，則a·(2a－b)＝( )
A．4 B．3 C．2 D．0
答案 B
解析 因?yàn)閍·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－(－1)＝2＋1＝3．故選B．
10．(2018·天津高考)如圖，在平面四邊形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1．若點(diǎn)E為邊CD上的動(dòng)點(diǎn)，則·的最小值為( )
A． B．
C． D．3
答案 A
解析 解法一：如圖，以D為原點(diǎn)，DA所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則A(1，0)，B，
6、，C(0，)，令E(0，t)，t∈[0，]，
∴·＝(－1，t)·－，t－＝t2－t＋，∵t∈[0，]，∴當(dāng)t＝－＝時(shí)，·取得最小值，(·)min＝－×＋＝．故選A．
解法二：令＝λ(0≤λ≤1)，由已知可得DC＝，∵＝＋λ，∴＝＋＝＋＋λ，∴·＝(＋λ)·(＋＋λ)＝·＋||2＋λ·＋λ2||2＝3λ2－λ＋．當(dāng)λ＝－＝時(shí)，·取得最小值．故選A．
11．(2018·浙江高考)已知a，b，e是平面向量，e是單位向量．若非零向量a與e的夾角為，向量b滿足b2－4e·b＋3＝0，則|a－b|的最小值是( )
A．－1 B．＋1 C．2 D．2－
答案 A
解析 設(shè)＝a，
7、＝b，＝e，以O(shè)為原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，則E(1，0)．不妨設(shè)A點(diǎn)在第一象限，∵a與e的夾角為，∴點(diǎn)A在從原點(diǎn)出發(fā)，傾斜角為，且在第一象限內(nèi)的射線上．設(shè)B(x，y)，由b2－4e·b＋3＝0，得x2＋y2－4x＋3＝0，即(x－2)2＋y2＝1，即點(diǎn)B在圓(x－2)2＋y2＝1上運(yùn)動(dòng)．而＝a－b，∴|a－b|的最小值即為點(diǎn)B到射線OA的距離的最小值，即為圓心(2，0)到射線y＝x(x≥0)的距離減去圓的半徑，所以|a－b|min＝－1．故選A．
12．(2017·全國(guó)卷Ⅱ)已知△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，則·(＋)的最小值是( )
A．－2
8、 B．－ C．－ D．－1
答案 B
解析 解法一：設(shè)BC的中點(diǎn)為D，AD的中點(diǎn)為E，則有＋＝2，則·(＋)＝2·
＝2(＋)·(－)
＝2(2－2)．
而2＝2＝，
當(dāng)P與E重合時(shí)，2有最小值0，故此時(shí)·(＋)取最小值，最小值為－22＝－2×＝－．故選B．
解法二：以AB所在直線為x軸，AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，則A(－1，0)，B(1，0)，C(0，)，設(shè)P(x，y)，取BC的中點(diǎn)D，則D，．
·(＋)＝2·
＝2(－1－x，－y)·－x，－y
＝2(x＋1)·x－＋y·y－
＝2x＋2＋y－2－．
因此，當(dāng)x＝－，y＝時(shí)，·(＋)取得
9、最小值，為2×－＝－．故選B．
13．(2017·山東高考)已知e1，e2是互相垂直的單位向量．若e1－e2與e1＋λe2的夾角為60°，則實(shí)數(shù)λ的值是______．
答案
解析 由題意不妨設(shè)e1＝(1，0)，e2＝(0，1)，則e1－e2＝(，－1)，e1＋λe2＝(1，λ)．根據(jù)向量的夾角公式得cos60°＝＝＝，所以－λ＝，解得λ＝．
14．(2018·上海高考)在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(－1，0)，B(2，0)，E，F(xiàn)是y軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且||＝2，則·的最小值為________．
答案?。?
解析 設(shè)E(0，m)，F(xiàn)(0，n)，又A(－1，0)，B(2，0)，∴＝(
10、1，m)，＝(－2，n)．∴·＝－2＋mn，又知||＝2，∴|m－n|＝2．
①當(dāng)m＝n＋2時(shí)，·＝mn－2＝(n＋2)n－2＝n2＋2n－2＝(n＋1)2－3．∴當(dāng)n＝－1，即E的坐標(biāo)為(0，1)，F(xiàn)的坐標(biāo)為(0，－1)時(shí)，·取得最小值－3．
②當(dāng)m＝n－2時(shí)，·＝mn－2＝(n－2)n－2＝n2－2n－2＝(n－1)2－3．∴當(dāng)n＝1，即E的坐標(biāo)為(0，－1)，F(xiàn)的坐標(biāo)為(0，1)時(shí)，·取得最小值－3．
綜上可知，·的最小值為－3．
三、模擬小題
15．(2018·惠州一模)若O為△ABC所在平面內(nèi)任一點(diǎn)，且滿足(－)·(＋－2)＝0，則△ABC的形狀為( )
A．等腰三角形
11、 B．直角三角形
C．等邊三角形 D．等腰直角三角形
答案 A
解析 因?yàn)?－)·(＋－2)＝0，即·(＋)＝0，(－)·(＋)＝0，即||＝||，所以△ABC是等腰三角形，故選A．
16．(2018·唐山期末)在平行四邊形ABCD中，已知AB＝5，AD＝3，|＋|＝4，則·＝( )
A．5 B．9 C．12 D．16
答案 B
解析 如圖，因?yàn)椋?，所以|＋|＝||＝4．又AB＝5，AD＝3，所以AD⊥BD．所以·＝||||cos〈，〉＝5×3×＝9．故選B．
17．(2018·鄭州質(zhì)檢三)在△ABC中，已知AD⊥AB，＝3，||＝1，則·＝( )
A．1
12、 B．2 C．3 D．4
答案 D
解析 如圖，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，則AB∥CE．由＝3，得＝3，從而＝4．由數(shù)量積的幾何意義，知·＝4·＝4，故選D．
18．(2018·石家莊質(zhì)檢二)若兩個(gè)非零向量a，b滿足|a＋b|＝|a－b|＝2|b|，則向量a＋b與a的夾角為( )
A． B． C． D．
答案 D
解析 由|a＋b|＝|a－b|兩邊平方得a·b＝0．再由|a＋b|＝2|b|兩邊平方得|a|＝|b|．從而有cos〈a＋b，a〉＝＝＝＝，所以〈a＋b，a〉＝，故選D．
19．(2018·太原三模)已知a，b是單位向量，a·b＝0，若向量
13、c滿足|c－a－b|＝1，則|c|的最大值是________．
答案?。?
解析 因?yàn)閍，b是單位向量，a·b＝0，設(shè)a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝(x，y)，則c－a－b＝(x－1，y－1)，所以|c－a－b|＝＝1，即(x－1)2＋(y－1)2＝1，所以向量c的模|c|＝表示圓(x－1)2＋(y－1)2＝1上的動(dòng)點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，最大值為＋1＝＋1．
20．(2018·烏魯木齊一檢)在△ABC中，已知CA＝2CB＝2，·＝－1，O是△ABC的外心，若＝x＋y，則x＋y＝________．
答案
解析 解法一：如圖，因?yàn)镺是△ABC的外心，所以|OA|＝|OC|＝|OB|
14、．在△ACO中，|OA|2＝|OC|2＋|CA|2－2|OC|·|CA|cos∠ACO，
所以cos∠ACO＝，
所以·＝||||cos∠ACO＝|CA|2＝2．在△BCO中，|OB|2＝|OC|2＋|CB|2－2|OC||CB|·cos∠BCO，所以cos∠BCO＝，
所以·＝||||cos∠BCO＝|CB|2＝．因?yàn)椋絰＋y，所以
所以
解得x＝，y＝，所以x＋y＝．
解法二：因?yàn)椤ぃ?
||||cos∠ACB＝
2cos∠ACB＝－1，所以∠ACB＝120°．如圖，以點(diǎn)C為原點(diǎn)，以CA所在直線為x軸，過(guò)點(diǎn)C作垂直于CA的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系．則C(0，0)，A(
15、2，0)．作BD⊥x軸，因?yàn)椤螦CB＝120°，所以∠BCD＝60°．所以|DC|＝，|BD|＝．得B－，．所以BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為－，．又因?yàn)橹本€BC的斜率kBC＝－，所以BC的中垂線所在直線的斜率k＝．所以BC的中垂線所在直線方程為y－＝x＋．又因?yàn)锳C的中垂線所在直線方程為x＝1，代入上式解得O1，．所以＝1，，＝(2，0)，＝－，．因?yàn)椋絰＋y，即1，＝2x－y，y，所以解得x＝，y＝，
所以x＋y＝．
一、高考大題
1．(2017·江蘇高考)已知向量a＝(cosx，sinx)，b＝(3，－)，x∈[0，π]．
(1)若a∥b，求x的值；
(2)記f(x)＝a·b，求f(x)
16、的最大值和最小值以及對(duì)應(yīng)的x的值．
解 (1)因?yàn)閍＝(cosx，sinx)，b＝(3，－)，a∥b，所以－cosx＝3sinx．
若cosx＝0，則sinx＝0，與sin2x＋cos2x＝1矛盾，故cosx≠0，于是tanx＝－．
又x∈[0，π]，所以x＝．
(2)f(x)＝a·b＝(cosx，sinx)·(3，－)＝3cosx－sinx＝2cosx＋．
因?yàn)閤∈[0，π]，所以x＋∈，，
從而－1≤cosx＋≤．
于是，當(dāng)x＋＝，即x＝0時(shí)，f(x)取到最大值3；
當(dāng)x＋＝π，即x＝時(shí)，f(x)取到最小值－2．
2．(2015·廣東高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知向
17、量m＝，n＝(sinx，cosx)，x∈．
(1)若m⊥n，求tanx的值；
(2)若m與n的夾角為，求x的值．
解 (1)∵m⊥n，∴m·n＝0，
故sinx－cosx＝0，∴tanx＝1．
(2)∵m與n的夾角為，
∴cos〈m，n〉＝＝＝，
故sin＝．
又x∈，∴x－∈，x－＝，
即x＝，故x的值為．
二、模擬大題
3．(2018·江西南昌三校聯(lián)考)已知A，B，C是△ABC的內(nèi)角，a，b，c分別是其對(duì)邊長(zhǎng)，向量m＝(，cosA＋1)，n＝(sinA，－1)，m⊥n．
(1)求角A的大小；
(2)若a＝2，cosB＝，求b的值．
解 (1)∵m⊥n，
∴m·
18、n＝sinA＋(cosA＋1)×(－1)＝0，
∴sinA－cosA＝1，∴sinA－＝．
∴00，∴|a＋b|＝2cosx．
19、
(2)f(x)＝cos2x－2cosx＝2cos2x－2cosx－1
＝22－．
∵x∈，∴≤cosx≤1，
∴當(dāng)cosx＝時(shí)，f(x)取得最小值－；
當(dāng)cosx＝1時(shí)，f(x)取得最大值－1．
單元質(zhì)量測(cè)試(三)
時(shí)間：120分鐘 滿分：150分
第Ⅰ卷 (選擇題，共60分)
一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分)
1．函數(shù)f(x)＝1－2sin2的最小正周期為( )
A．2π B．π C． D．4π
答案 A
解析 f(x)＝1－2sin2＝cosx，最小正周期T＝2π，故選A．
2．已
20、知sinθ<0，tanθ>0，則化簡(jiǎn)的結(jié)果為( )
A．cosθ B．－cosθ
C．±cosθ D．以上都不對(duì)
答案 B
解析 由已知可判斷出θ是第三象限角，所以＝|cosθ|＝－cosθ．故選B．
3．(2018·福建4月質(zhì)檢)已知向量＝(1，1)，＝(2，3)，則下列向量與垂直的是( )
A．a(chǎn)＝(3，6) B．b＝(8，－6)
C．c＝(6，8) D．d＝(－6，3)
答案 D
解析?。剑?1，2)，因?yàn)?1，2)·(－6，3)＝1×(－6)＋2×3＝0．故選D．
4．(2018·長(zhǎng)沙統(tǒng)考)已知a，b為單位向量，且a⊥(a＋2b)，則向量a與b的夾角為
21、( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
答案 C
解析 由題意，a·(a＋2b)＝a2＋2a·b＝|a|2＋2|a||b|·cos〈a，b〉＝1＋2cos〈a，b〉＝0，所以cos〈a，b〉＝－，又0°≤〈a，b〉≤180°，所以〈a，b〉＝120°．故選C．
5．(2018·長(zhǎng)春調(diào)研)在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若2bcosC－2ccosB＝a，且B＝2C，則△ABC的形狀是( )
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等邊三角形
答案 B
解析 ∵2bcosC－2ccosB＝a，∴2sinBcosC－
22、2sinCcosB＝sinA＝sin(B＋C)，即sinBcosC＝3cosBsinC，∴tanB＝3tanC，又B＝2C，∴＝3tanC，得tanC＝，C＝，B＝2C＝，A＝，故△ABC為直角三角形．故選B．
6．(2018·廣東廣州調(diào)研)如圖所示，在△ABC中，＝，P是BN上的一點(diǎn)，若＝m＋，則實(shí)數(shù)m的值為( )
A． B．
C． D．
答案 B
解析 因?yàn)镹，P，B三點(diǎn)共線，所以＝m＋＝m＋，從而m＋＝1?m＝．故選B．
7．(2018·湖南長(zhǎng)郡中學(xué)調(diào)研)若△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知2bsin2A＝asinB，且c＝2b，則等于(
23、 )
A．2 B．3 C． D．
答案 A
解析 由2bsin2A＝asinB，得4bsinAcosA＝asinB，由正弦定理得4sinBsinAcosA＝sinAsinB，∵sinA≠0，且sinB≠0，∴cosA＝，由余弦定理，得a2＝b2＋4b2－b2，
∴a2＝4b2，∴＝2．故選A．
8．(2018·江西九校聯(lián)考)已知5sin2α＝6cosα，α∈，則tan＝( )
A．－ B． C． D．
答案 B
解析 由題意知10sinαcosα＝6cosα，又α∈，
∴sinα＝，cosα＝，tan＝＝＝＝＝．
9．(2018·東北三省四市二聯(lián))將函數(shù)f(
24、x)＝sin(2x＋φ)|φ|＜的圖象向右平移個(gè)單位，所得到的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則函數(shù)f(x)在0，上的最小值為( )
A． B． C．－ D．－
答案 D
解析 f(x)＝sin(2x＋φ)向右平移個(gè)單位得到函數(shù)g(x)＝sin2x－＋φ＝sin2x－＋φ，此函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，即函數(shù)g(x)為偶函數(shù)，則－＋φ＝＋kπ，k∈Z，由|φ|＜，可得φ＝－，所以f(x)＝sin2x－，因?yàn)?≤x≤，所以－≤2x－≤，所以f(x)的最小值為sin－＝－．故選D．
10．(2018·湖北宜昌二模)已知△ABC中，∠A＝120°，且AB＝3，AC＝4，若＝λ＋，且⊥，則實(shí)數(shù)λ的值為(
25、 )
A． B． C．6 D．
答案 A
解析 因?yàn)椋溅耍?，且⊥，所以有·?λ＋)·(－)＝λ·－λ2＋2－·＝(λ－1)·－λ2＋2＝0，整理可得(λ－1)×3×4×cos120°－9λ＋16＝0，解得λ＝，故選A．
11．(2018·湖南長(zhǎng)沙長(zhǎng)郡中學(xué)摸底)已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)ω>0，|φ|<的最小正周期為π，且其圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)g(x)＝cosωx的圖象，則函數(shù)f(x)的圖象( )
A．關(guān)于直線x＝對(duì)稱 B．關(guān)于直線x＝對(duì)稱
C．關(guān)于點(diǎn)，0對(duì)稱 D．關(guān)于點(diǎn)，0對(duì)稱
答案 C
解析 由題意T＝＝π，得ω＝2，把g(x)＝cos2x
26、的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得f(x)＝cos2x－＝cos2x－＝sin－2x＋＝sin－2x＋＝sin2x－的圖象，f＝0，f＝，因此函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)，0對(duì)稱．故選C．
12．(2017·全國(guó)卷Ⅲ)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上．若＝λ＋μ，則λ＋μ的最大值為( )
A．3 B．2 C． D．2
答案 A
解析 分別以CB，CD所在的直線為x軸、y軸建立直角坐標(biāo)系，則A(2，1)，B(2，0)，D(0，1)．
∵點(diǎn)P在以C為圓心且與BD相切的圓上，
∴可設(shè)Pcosθ，sinθ．
則＝(0，－1)，＝(－2，0)，
＝
27、cosθ－2，sinθ－1．
又＝λ＋μ，
∴λ＝－sinθ＋1，μ＝－cosθ＋1，
∴λ＋μ＝2－sinθ－cosθ＝2－sin(θ＋φ)，
其中tanφ＝，∴(λ＋μ)max＝3．故選A．
第Ⅱ卷 (非選擇題，共90分)
二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)
13．(2018·合肥質(zhì)檢一)已知平面向量a，b滿足|a|＝1，|b|＝2，|a＋b|＝，則a在b方向上的投影等于________．
答案 －
解析 依題意，有|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×1×2cos〈a，b〉＋4＝3，解得cos〈a，b〉＝－，則a在b方向上的投影等于|
28、a|cos〈a，b〉＝－．
14．(2018·全國(guó)卷Ⅲ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．已知C＝60°，b＝，c＝3，則A＝________．
答案 75°
解析 由正弦定理得＝，∴sinB＝．
又∵c＞b，∴B＝45°，∴A＝75°．
15．(2018·河北石家莊質(zhì)檢)已知與的夾角為90°，||＝2，||＝1，＝λ＋μ(λ，μ∈R)，且·＝0，則的值為________．
答案
解析
根據(jù)題意，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則A(0，0)，B(0，2)，C(1，0)，所以＝(0，2)，＝(1，0)，＝(1，－2)．設(shè)M(x，y)，則＝(x，y)，所以·＝(x
29、，y)·(1，－2)＝x－2y＝0，即x＝2y，又＝λ＋μ，即(x，y)＝λ(0，2)＋μ(1，0)＝(μ，2λ)，所以x＝μ，y＝2λ，所以＝＝．
16．(2018·廣州調(diào)研)如圖所示，某炮兵陣地位于地面A處，兩觀察所分別位于地面C處和D處，已知CD＝6000 m，∠ACD＝45°，∠ADC＝75°，目標(biāo)出現(xiàn)于地面B處時(shí)測(cè)得∠BCD＝30°，∠BDC＝15°，則炮兵陣地到目標(biāo)的距離是________ m．(結(jié)果保留根號(hào))
答案 1000
解析 在△ACD中，∵∠ACD＝45°，∠ADC＝75°，
∴∠CAD＝60°，
由正弦定理可得＝，
∴AD＝6000×＝2000(m)．
30、
在△BCD中，由正弦定理得＝，
∴BD＝＝3000(m)，
在Rt△ABD中，由勾股定理可得AB2＝BD2＋AD2，
∴AB＝＝1000(m)．
三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)
17．(本小題滿分10分)已知α∈，sinα＝．
(1)求sin的值；
(2)求cos的值．
解 (1)因?yàn)棣痢剩瑂inα＝，
所以cosα＝－＝－．
故sin＝sincosα＋cossinα
＝×＋×＝－．
(2)由(1)知sin2α＝2sinαcosα
＝2××＝－，
cos2α＝1－2sin2α＝1－2×2＝，
所以cos＝cosco
31、s2α＋sinsin2α
＝×＋×＝－．
18．(2018·浙江溫州統(tǒng)考)(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝sinωx＋cosωx(ω>0)的最小正周期為π．
(1)求ω的值，并在下面提供的直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[0，π]上的圖象；
(2)函數(shù)y＝f(x)的圖象可由函數(shù)y＝sinx的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的變換得到？
解 (1)函數(shù)可化為f(x)＝sin，
因?yàn)門＝π，所以＝π，即ω＝2，
所以f(x)＝sin．
列表如下：
x
0
π
y
1
0
－1
0
畫出圖象如圖所示：
(2)將函數(shù)y＝sinx(x∈
32、R)圖象上的所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)y＝sin(x∈R)的圖象，再將所得圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的(縱坐標(biāo)不變)，可得函數(shù)f(x)＝sin(x∈R)的圖象．
19．(2018·河南洛陽(yáng)二模)(本小題滿分12分)如圖，已知扇形的圓心角∠AOB＝，半徑為4，若點(diǎn)C是上的一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A，B重合)．
(1)若弦BC＝4(－1)，求的長(zhǎng)；
(2)求四邊形OACB面積的最大值．
解 (1)在△OBC中，BC＝4(－1)，OB＝OC＝4，
所以由余弦定理得cos∠BOC＝＝，
所以∠BOC＝，于是的長(zhǎng)為×4＝．
(2)設(shè)∠AOC＝θ，θ∈0，，則∠BOC＝－θ，
S四
33、邊形OACB＝S△AOC＋S△BOC
＝×4×4sinθ＋×4×4sin－θ＝24sinθ＋8cosθ＝16sinθ＋，
由于θ∈0，，所以θ＋∈，，
當(dāng)θ＝時(shí)，四邊形OACB的面積取得最大值16．
20．(2018·河南濮陽(yáng)三模)(本小題滿分12分)△ABC內(nèi)接于半徑為R的圓，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且2R(sin2B－sin2A)＝(b－c)sinC，c＝3．
(1)求角A的大?。?
(2)若AD是BC邊上的中線，AD＝，求△ABC的面積．
解 (1)因?yàn)?R(sin2B－sin2A)＝(b－c)sinC，所以2RsinBsinB－2RsinAsinA＝(b－c)
34、sinC，
所以bsinB－asinA＝bsinC－csinC，
即b2－a2＝bc－c2，即b2＋c2－a2＝bc，
所以cosA＝＝，A＝60°．
(2)以AB，AC為鄰邊作平行四邊形ABEC，
在△ABE中，∠ABE＝120°，AE＝，
由余弦定理得AE2＝AB2＋BE2－2AB·BEcos120°，
即19＝9＋BE2－2×3×BE×－，
解得BE＝2(負(fù)值舍去)，所以AC＝2．
故S△ABC＝AB·ACsin∠BAC
＝×3×2×＝．
21．(2018·荊門調(diào)研)(本小題滿分12分)已知向量m＝(3sinx，cosx)，n＝(－cosx，cosx)，f(x)＝m
35、·n－．
(1)求函數(shù)f(x)的最大值及取得最大值時(shí)x的值；
(2)若方程f(x)＝a在區(qū)間上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
解 (1)f(x)＝m·n－＝－3sinxcosx＋cos2x－＝－sin2x＋(1＋cos2x)－
＝－sin2x＋cos2x＝sin．
當(dāng)2x＋＝2kπ＋，k∈Z，即x＝kπ－，k∈Z時(shí)，
函數(shù)f(x)取得最大值．
(2)由于x∈時(shí)，2x＋∈．
而函數(shù)g(x)＝sinx在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．
又g＝－，g＝－，g＝．
結(jié)合圖象(如圖)，所以方程f(x)＝a在區(qū)間上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根時(shí)，a∈．
22．(2018·廣東茂
36、名二模)(本小題滿分12分)已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，sinA＝2sinC，2b＝3c．
(1)求cosC；
(2)若∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D，且△ABC的面積為，求BD的長(zhǎng)．
解 (1)∵sinA＝2sinC，∴a＝2c．
于是，cosC＝＝＝．
(2)由(1)知cosC＝，∴sinC＝．
∵S△ABC＝·2c·c·＝，
∴c2＝4，c＝2，則a＝4，b＝3．
∵BD為∠ABC的平分線，
∴＝＝2，∴CD＝2AD．
又CD＋AD＝3，∴CD＝2，AD＝1．
在△BCD中，由余弦定理可得BD2＝42＋22－2×4×2×＝6，
∴BD＝．
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2020高考數(shù)學(xué)刷題首選卷 考點(diǎn)測(cè)試28 平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用 理（含解析）
