（課標專用）天津市2020高考數(shù)學二輪復習 專題能力訓練18 排列、組合與二項式定理

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1、專題能力訓練18　排列、組合與二項式定理 　專題能力訓練第42頁　? 一、能力突破訓練 1.某電視臺的一個綜藝欄目對含甲、乙在內的六個不同節(jié)目排演出順序,第一個節(jié)目只能排甲或乙,最后一個節(jié)目不能排甲,則不同的排法共有(　　) A.192種 B.216種 C.240種 D.288種 答案:B 解析:完成這件事,可分兩類:第一類,第一個節(jié)目排甲,其余位置有A55=120種不同的排法;第二類,第一個節(jié)目排乙,最后一個節(jié)目有4種排法,其余位置有A44=24種不同的排法.所以共有A55+4A44=216種不同的排法. 2.已知x2+1xn的展開式的各項系數(shù)和為32,則展開式中x4的系數(shù)為(

2、　　) A.5 B.40 C.20 D.10 答案:D 解析:令x=1,得2n=32,所以n=5,則C5r(x2)5-r·1xr=C5rx10-3r.令10-3r=4,得r=2,所以展開式中x4的系數(shù)為C52=10. 3.已知(1+x)n的展開式中第4項與第8項的二項式系數(shù)相等,則奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為(　　) A.212 B.211 C.210 D.29 答案:D 解析:由條件知Cn3=Cn7,解得n=10. 所以(1+x)10中二項式系數(shù)和為210,其中奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為210-1=29. 4.若x6+1xxn的展開式中含有常數(shù)項,則n的最小值等于(　　) A.3

3、B.4 C.5 D.6 答案:C 解析:展開式的通項為Tr+1=Cnr(x6)n-r1xxr=Cnrx6n-152r.因為展開式中含常數(shù)項,所以6n-152r=0成立,即n=54r.當r=4時,n有最小值5.故選C. 5.x2+1x2-23展開式中的常數(shù)項為(　　) A.-8 B.-12 C.-20 D.20 答案:C 解析:因為x2+1x2-23=x-1x6, 所以Tr+1=C6rx6-r-1xr=(-1)rC6rx6-2r, 所以當r=3時為常數(shù)項,且常數(shù)項為-C63=-20. 6.某學校組織演講比賽,準備從甲、乙等八名同學中選派四名同學參加,要求甲、乙兩名同學至少有一人

4、參加.若甲、乙同時參加,他們的演講順序不能相鄰,則不同的演講順序的種數(shù)為(　　) A.1 860 B.1 320 C.1 140 D.1 020 答案:C 解析:根據(jù)甲、乙兩名同學中實際參與演講比賽的人數(shù)進行分類計數(shù):第一類,甲、乙兩名同學中實際參與演講比賽的恰有一人,滿足題意的不同的演講順序的種數(shù)為C21·C63·A44=960;第二類,甲、乙兩名同學中實際參與演講比賽的恰有兩人,滿足題意的不同的演講順序的種數(shù)為C22·C62·A22·A32=180.因此滿足題意的不同的演講順序的種數(shù)為960+180=1140.故選C. 7.若二項式(3-x)n(n∈N*)中所有項的系數(shù)之和為a,所

5、有項的系數(shù)的絕對值之和為b,則ba+ab的最小值為(　　) A.2 B.52 C.136 D.92 答案:B 解析:令x=1,a=2n;令x=-1,b=4n,則ba+ab=2n+12n.令t=2n,t≥2,則ba+ab=2n+12n=t+1t≥2+12=52.故選B. 8.在某市記者招待會上,需要接受本市甲、乙兩家電視臺記者的提問,兩家電視臺均有記者5人,主持人需要從這10名記者中選出4名記者提問,且這4人中,既有甲電視臺記者,又有乙電視臺記者,且甲電視臺的記者不可以連續(xù)提問,則不同的提問方式的種數(shù)為(　　) A.1 200 B.2 400 C.3 000 D.3 600 答案:B

6、 解析:若4人中,有甲電視臺記者1人,乙電視臺記者3人,則不同的提問方式總數(shù)是C51C53A44=1200;若4人中,有甲電視臺記者兩人,乙電視臺記者兩人,則不同的提問方式總數(shù)是C52C52A22A32=1200;若4人中,有甲電視臺記者3人,乙電視臺記者1人,則不符合主持人的規(guī)定,故所有不同提問方式的總數(shù)為1200+1200=2400. 9.在(1+x)6(1+y)4的展開式中,記xmyn項的系數(shù)為f(m,n),則f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=(　　) A.45 B.60 C.120 D.210 答案:C 解析:∵(1+x)6展開式的通項為Tr+1=C6r

7、xr(r=0,1,2,…,6),(1+y)4展開式的通項為Th+1=C4hyh(h=0,1,2,…,4), ∴(1+x)6(1+y)4展開式的通項可以為C6rC4hxryh, ∴f(m,n)=C6mC4n. ∴f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=C63+C62C41+C61C42+C43=20+60+36+4=120.故選C. 10.本次模擬考試結束后,班級要排一張語文、數(shù)學、英語、物理、化學、生物六科試卷講評順序表.若化學排在生物前面,數(shù)學與物理不相鄰且都不排在最后,則不同的排法共有(　　) A.72種 B.144種 C.288種 D.360種 答案:B 解

8、析:第一步,排語文、英語、化學、生物4種,且化學排在生物前面,有A442=12種排法;第二步將數(shù)學和物理插入前4科除最后位置外的4個空當中的2個,有A42=12種排法,所以不同的排法共有12×12=144種. 11.(x-y)(x+y)8的展開式中x2y7的系數(shù)為　　　　　.(用數(shù)字填寫答案)? 答案:-20 解析:(x+y)8的通項為Tr+1=C8rx8-ryr(r=0,1,…,8). 當r=7時,T8=C87xy7=8xy7,當r=6時,T7=C86x2y6=28x2y6, 所以(x-y)(x+y)8的展開式中含x2y7的項為x·8xy7-y·28x2y6=-20x2y7,故系數(shù)

9、為-20. 12.已知(1+3x)n的展開式中含有x2項的系數(shù)是54,則n=　　　　　.? 答案:4 解析:二項展開式的通項Tr+1=Cnr(3x)r=3r·Cnr·xr,令r=2,得32·Cn2=54,解得n=4. 13.從2名女生,4名男生中選3人參加科技比賽,且至少有1名女生入選,則不同的選法共有　　　　　種.(用數(shù)字填寫答案)? 答案:16 解析:(方法一)①當3人中恰有1名女生時,有C21C42=12種選法. ②當3人中有2名女生時,有C22C41=4種選法. 故不同的選法共有12+4=16種. (方法二)6人中選3人共有C63種選法,當3人全是男生時有C43種選法

10、,所以至少有1名女生入選時有C63-C43=16種選法. 14.在3x-2xn的二項式中,所有項的二項式系數(shù)之和為256,則常數(shù)項等于　　　　　.? 答案:112 解析:由二項式定理,得所有項的二項式系數(shù)之和為2n, 由題意,得2n=256,所以n=8. 二項式展開式的通項為 Tr+1=C8r(3x)8-r-2xr=(-2)rC8rx83-43r, 求常數(shù)項則令83-43r=0,所以r=2,所以T3=112. 15.在一次醫(yī)療救助活動中,需要從A醫(yī)院某科室的6名男醫(yī)生、4名女醫(yī)生中分別抽調3名男醫(yī)生、2名女醫(yī)生,且男醫(yī)生中唯一的主任醫(yī)師必須參加,則不同的選派方案共有　　　　　種

11、.(用數(shù)字作答)? 答案:60 解析:首先選派男醫(yī)生中唯一的主任醫(yī)師, 然后從5名男醫(yī)生、4名女醫(yī)生中分別抽調2名男醫(yī)生、2名女醫(yī)生, 故不同的選派方案有C52C42=10×6=60種. 故答案為60. 16.將6位志愿者分成4組,其中兩個組各兩人,另兩個組各1人,分赴全運會的四個不同場館服務,不同的分配方案有　　　　　種.(用數(shù)字作答)? 答案:1 080 解析:先將6位志愿者分組,共有C62·C42A22種方法;再把各組分到不同場館,共有A44種方法.由分步乘法計數(shù)原理知,不同的分配方案共有C62C42A22·A44=1080種. 17.已知多項式(x+1)3(x+2)2

12、=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5,則a4=　　　　　,a5=　　　　　.? 答案:16　4 解析:由二項式展開式可得通項公式為C3rx3-r·C2mx2-m2m,分別取r=3,m=1和r=2,m=2可得a4=4+12=16,令x=0可得a5=13×22=4. 18.從6男2女共8名學生中選出隊長1人,副隊長1人,普通隊員2人組成4人服務隊,要求服務隊中至少有1名女生,共有　　　　　種不同的選法.(用數(shù)字作答)? 答案:660 解析:由題意可得,總的選擇方法為C84C41C31種方法,其中不滿足題意的選法有C64C41C31種方法,則滿足題意的選法有C84C41C31

13、-C64C41C31=660種. 19.某高三畢業(yè)班有40名同學,同學之間兩兩彼此給對方僅寫一條畢業(yè)留言,則全班一共寫了　　　　　條畢業(yè)留言.(用數(shù)字作答)? 答案:1 560 解析:該問題是一個排列問題,故共有A402=40×39=1560條畢業(yè)留言. 二、思維提升訓練 20.將2名教師、4名學生分成2個小組,分別安排到甲、乙兩地參加社會實踐活動,每個小組由1名教師和2名學生組成,不同的安排方案共有(　　) A.12種 B.10種 C.9種 D.8種 答案:A 解析:將4名學生均分為2個小組共有C42C22A22=3種分法, 將2個小組的同學分給2名教師帶有A22=2種分法

14、, 最后將2個小組的人員分配到甲、乙兩地有A22=2種分法, 故不同的安排方案共有3×2×2=12種. 21.某學校安排甲、乙、丙、丁四位同學參加數(shù)學、物理、化學競賽,要求每位同學僅報一科,每科至少有一位同學參加,且甲、乙不能參加同一學科,則不同的安排方法有(　　) A.36種 B.30種 C.24種 D.6種 答案:B 解析:首先從四個人中選擇兩個人作為一組,其余兩個人各自一組分派到三個競賽區(qū),共有C42·A33種方法,再將甲、乙參加同一學科的種數(shù)A33排除,繼而所求的安排方法有C42·A33-A33=30種,故答案為B. 22.若x4(x+3)8=a0+a1(x+2)+a2(

15、x+2)2+…+a12(x+2)12,則log2(a1+a3+a5+…+a11)等于(　　) A.27 B.28 C.7 D.8 答案:C 解析:令x=-1,得a0+a1+a2+…+a12=28,① 令x=-3,得a0-a1+a2-a3+…+a12=0.② 由①-②,得2(a1+a3+…+a11)=28, ∴a1+a3+…+a11=27, ∴l(xiāng)og2(a1+a3+…+a11)=7. 23.用a代表紅球,b代表藍球,c代表黑球.由加法計數(shù)原理及乘法計數(shù)原理,從1個紅球和1個藍球中取出若干個球的所有取法可由(1+a)(1+b)的展開式1+a+b+ab表示出來,如:“1”表示一個球都

16、不取、“a”表示取出一個紅球、而“ab”則表示把紅球和藍球都取出來.依此類推,下列各式中,其展開式可用來表示從5個無區(qū)別的紅球、5個無區(qū)別的藍球、5個有區(qū)別的黑球中取出若干個球,且所有的藍球都取出或都不取出的所有取法種數(shù)是(　　) A.(1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)(1+c)5 B.(1+a5)(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c)5 C.(1+a)5(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c5) D.(1+a5)(1+b)5(1+c+c2+c3+c4+c5) 答案:A 解析:本題可分三步:第一步,分別取0,1,2,3,4,5個紅球,共有1+a+a2+a3+a

17、4+a5種取法;第二步,取0個或5個藍球,有1+b5種取法;第三步,取5個有區(qū)別的黑球,有(1+c)5種取法.所以共有(1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)(1+c)5種取法.故選A. 24.1-90C101+902C102-903C103+…+(-1)k90kC10k+…+9010C1010除以88的余數(shù)是(　　) A.-1 B.1 C.-87 D.87 答案:B 解析:∵1-90C101+902C102+…+(-1)k90kC10k+…+9010C1010=(1-90)10=8910=(88+1)10=8810+C101889+…+C10988+1,又前10項均能被88整

18、除,∴余數(shù)是1. 25.某人根據(jù)自己的愛好,希望從{W,X,Y,Z}中選兩個不同字母,從{0,2,6,8}中選3個不同數(shù)字擬編車牌號,要求前3位是數(shù)字,后兩位是字母,且數(shù)字2不能排在首位,字母Z和數(shù)字2不能相鄰,則滿足要求的車牌號有(　　) A.198個 B.180個 C.216個 D.234個 答案:A 解析:不選2時,有A33A42=72個不同的車牌號;選2,不選Z時,有C21C32A22A32=72個不同的車牌號;選2,選Z時,2在數(shù)字的中間,有A32C21C31=36個不同的車牌號;當2在數(shù)字的第三位時,有A32A31=18個不同的車牌號.根據(jù)分類加法計數(shù)原理,知共有72+72

19、+36+18=198個不同的車牌號,故選A. 26.若A,B,C,D四人站成一排照相,A,B相鄰的排法總數(shù)為k,則二項式1-xkk的展開式中含x2項的系數(shù)為　　　　　.? 答案:1124 解析:由題意知k=A22A33=12,所以Tr+1=C12r-x12r=C12r-112rxr. 因為r=2,所以含x2項的系數(shù)為C1221122=66×1122=1124. 27.已知二項式x-ax6的展開式中x2的系數(shù)為A,常數(shù)項為B,且B=4A,求a的值. 解:展開式的通項為Tr+1=C6rx6-r·-axr=(-a)rC6rx6-2r.令6-2r=2,得r=2,A=a2C62=15a2;令

20、6-2r=0,得r=3,B=-a3C63=-20a3.將其代入B=4A,得a=-3. 28.在6名內科醫(yī)生和4名外科醫(yī)生中,內科主任和外科主任各1名,現(xiàn)要組成5人醫(yī)療小組送醫(yī)下鄉(xiāng),根據(jù)下列條件,分別求出各有多少種不同的選派方法. (1)有3名內科醫(yī)生和兩名外科醫(yī)生; (2)既有內科醫(yī)生,又有外科醫(yī)生; (3)至少有1名主任參加; (4)既有主任,又有外科醫(yī)生. 解:(1)先選內科醫(yī)生有C63種選法,再選外科醫(yī)生有C42種選法,故選派方法的種數(shù)為C63·C42=120. (2)既有內科醫(yī)生,又有外科醫(yī)生,正面思考應包括四種情況,內科醫(yī)生去1人,2人,3人,4人,易得出選派方法的種數(shù)

21、為C61·C44+C62·C43+C63·C42+C64·C41=246. 若從反面考慮,則選派方法的種數(shù)為C105-C65=246. (3)分兩類: 一是選1名主任有C21·C84種方法; 二是選兩名主任有C22·C83種方法, 故至少有1名主任參加的選派方法的種數(shù)為C21·C84+C22·C83=196. 若從反面考慮:至少有1名主任參加的選派方法的種數(shù)為C105-C85=196. (4)若選外科主任,則其余可任選,有C94種選法. 若不選外科主任,則必選內科主任,且剩余的4人不能全選內科醫(yī)生,有(C84-C54)種選法. 故有選派方法的種數(shù)為C94+C84-C54=191. - 8 -