2020屆高考數學 專題十四 外接球精準培優(yōu)專練 理

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1、培優(yōu)點十四 外接球 一、墻角模型 例1：已知各頂點都在同一球面上的正四棱柱的高為，體積為，則這個球的表面積是（） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，，，． 二、對棱相等模型 例2：如下圖所示三棱錐，其中，，，則該三棱錐 外接球的表面積為． 【答案】 【解析】對棱相等，補形為長方體，如圖，設長寬高分別為，，，，． 三、漢堡模型 例3：一個正六棱柱的底面是正六邊形，其側棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點都在同一個球面上， 且該六棱柱的體積為，底面周長為，則這個球的體積為． 【答案】 【解析】設正六邊形邊長為，正六棱柱的高為，

2、底面外接圓的半徑為， 則，正六棱柱的底面積為， 則，∴， ，也可，， 設球的體積為，則． 四、切瓜模型 例4：正四棱錐的底面邊長和各側棱長都為，各頂點都在同一球面上，則此球體積為． 【答案】 【解析】方法一：找球心的位置，易知，，， 故球心在正方形的中心處，，． 方法二：大圓是軸截面所截的外接圓，即大圓是的外接圓， 此處特殊，的斜邊是球半徑，，，． 五、垂面模型 例5：一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體外接球的表面積為（） A． B． C． D．以上都不對 【答案】C 【解析】法一：（勾股定理）利用球心的位置求球半徑，球心在圓錐的高線

3、上， ，，． 法二：（大圓法求外接球直徑）如圖，球心在圓錐的高線上， 故圓錐的軸截面三角形的外接圓是大圓，于是，下略． 六、折疊模型 例6：三棱錐中，平面平面，和均為邊長為的正三角形， 則三棱錐外接球的半徑為． 【答案】 【解析】如圖，，，， ，． 法二：，，， ，． 七、兩直角三角形拼接在一起 例7：在矩形中，，，沿將矩形折成一個直二面角， 則四面體的外接球的體積為（） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，，，故選C． 對點增分集訓 一、選擇題 1．已知底面邊長為1，側棱長為的正

4、四棱柱的各頂點均在同一球面上，則該球的體積為（） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根據正四棱柱的幾何特征得：該球的直徑為正四棱柱的體對角線， 故，即得，所以該球的體積． 2．已知三棱錐的三條側棱兩兩垂直，且，，則該三棱錐的外接球的半徑 為（） A．3 B．6 C． D．9 【答案】A 【解析】因為三棱錐的三條側棱兩兩垂直， 所以該三棱錐的外接球就是以三棱錐的三條側棱為棱的長方體的外接球， 長方體的外接球的直徑等于長方體對角線；所以外接球的半徑為． 3．在半徑為1的球面上有不共面的四個點，，，且，，，則等于（） A．2 B．4 C．8 D． 【答案】C

5、【解析】如圖，構造長方體，設長方體的長，寬，高分別為，，，則， 根據題意，，，則． 4．正四面體的棱長為，頂點都在同一球面上，則該球的表面積為（） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】正四面體底面三角形的外接圓的半徑， 正四棱錐頂點到底面的距離為， 設正四棱錐的外接球的半徑為，則有， 即，解得． 則所求球的表面積為． 5．一直三棱柱的每條棱長都是3，且每個頂點都在球的表面上，則球的半徑為（） A． B． C． D．3 【答案】A 【解析】球的半徑滿足直三棱柱底面三角形外接圓半徑． ． 6．已知直三棱柱的個頂點都在球的球面上，若，，，，則球的半徑為（

6、） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】可判斷球心應在連接上下直角三角形斜邊中點的線段的中點， 那么半徑，就是． 7．已知三棱錐中，，，，，，則三棱錐的 外接球的表面積為（） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如圖所示，由已知，，，∴面，∴， ∴，∴，∴， 取的中點，由直角三角形的性質，到，，，的距離均為， 其即為三棱錐的外接球球心，故三棱錐的外接球的表面積為． 8．在三棱錐中，與都是邊長為的正三角形，平面平面， 則該三棱錐的外接球的體積為（） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】取的中點為，，分別是正三角形和正三角形的中心，

7、 是該三棱錐外接球的球心，連接，，，，，， 則，分別在，上，平面，平面，，，，所以為二面角的平面角， 因為平面平面，所以， 又，所以， 所以四邊形為正方形，所以，在直角三角形中， 球半徑， 所以外接球的體積為． 9．在矩形中，，現將沿對角線折起，使點到達點的位置，得到三棱錐，則三棱錐的外接球的表面積為（） A． B． C． D．大小與點的位置有關 【答案】C 【解析】由題意，的中點為三棱錐的外接球的球心， ∵，∴球的半徑為，∴三棱錐的外接球的表面積為． 二、填空題 10．已知正四棱錐的頂點都在同一球面上，且該棱錐的高為，底面邊長為，則該球的體積為．

8、 【答案】 【解析】如圖所示，正四棱錐的外接球的球心在它的高上， 設球的半徑為，底面邊長為，所以， 在中，，即， 所以，所以球的體積． 11．如果三棱錐的三條側棱兩兩垂直，它們的面積分別為、、，那么它的外接球的表面積是． 【答案】 【解析】由已知得三條側棱兩兩垂直，設三條側棱長分別為（）， 則，∴，∴，，，， ． 12．在三棱錐中，，，，則三棱錐外接球的表面積為． 【答案】 【解析】設補形為長方體，三個長度為三對面的對角線長，設長寬高分別為， 則，，，∴， ，，． 13．在直三棱柱中，，，，，則直三棱柱的外接球的表面積為． 【答案】 【解析】，，，， ，． 14．已知三棱錐的所有頂點都在球的球面上，是邊長為的正三角形，為球的 直徑，且，則此棱錐的體積為． 【答案】 【解析】，，． 15．在直角梯形中，，，，，沿對角線折成四面體，使平面平面，若四面體的頂點在同一個球面上，則該球的表面積為． 【答案】 【解析】如圖，易知球心在的中點處，． 16．在邊長為的菱形中，，沿對角線折成二面角為的四面體，則此四面體的外接球表面積為． 【答案】 【解析】如圖，取的中點，和的外接圓半徑為， 和的外心到弦的距離（弦心距）為， 四邊形的外接圓直徑，，． 13