（浙江專用）2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第九章 平面解析幾何 第7講 拋物線練習(xí)（含解析）

《（浙江專用）2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第九章 平面解析幾何 第7講 拋物線練習(xí)（含解析）》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（浙江專用）2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第九章 平面解析幾何 第7講 拋物線練習(xí)（含解析）（10頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第7講 拋物線 [基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)] 1．已知點(diǎn)A(－2，3)在拋物線C：y2＝2px(p>0)的準(zhǔn)線上，記C的焦點(diǎn)為F，則直線AF的斜率為(　　) A．－ B．－1 C．－ D．－ 解析：選C.由已知，得準(zhǔn)線方程為x＝－2，所以F的坐標(biāo)為(2，0)．又A(－2，3)，所以直線AF的斜率為k＝＝－. 2．已知拋物線C1：x2＝2py(p>0)的準(zhǔn)線與拋物線C2：x2＝－2py(p>0)交于A，B兩點(diǎn)，C1的焦點(diǎn)為F，若△FAB的面積等于1，則C1的方程是(　　) A．x2＝2y B．x2＝y(tǒng) C．x2＝y(tǒng) D．x2＝y(tǒng) 解析：選A.由題意得，F(xiàn)，不妨設(shè)A，B(－p，－)，所以S

2、△FAB＝·2p·p＝1，則p＝1，即拋物線C1的方程是x2＝2y，故選A. 3．(2019·麗水調(diào)研)已知等邊△ABF的頂點(diǎn)F是拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)，頂點(diǎn)B在拋物線的準(zhǔn)線l上且AB⊥l，則點(diǎn)A的位置(　　) A．在C開口內(nèi) B．在C上 C．在C開口外 D．與p值有關(guān) 解析：選B.設(shè)B，由已知有AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則A，△ABF是邊長|AB|＝2p的等邊三角形，即|AF|＝ ＝2p，所以p2＋m2＝4p2，所以m＝±p，所以A，代入y2＝2px中，得點(diǎn)A在拋物線C上，故選B. 4．已知拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，

3、P3(x3，y3)在拋物線上，且2x2＝x1＋x3，則有(　　) A．|FP1|＋|FP2|＝|FP3| B．|FP1|2＋|FP2|2＝|FP3|2 C．|FP1|＋|FP3|＝2|FP2| D．|FP1|·|FP3|＝|FP2|2 解析：選C.根據(jù)拋物線的定義知|FP1|＝x1＋，|FP2|＝x2＋，|FP3|＝x3＋， 所以|FP1|＋|FP3|＝＋＝(x1＋x3)＋p＝2x2＋p＝2＝2|FP2|. 5. 拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，經(jīng)過F且斜率為的直線與拋物線在x軸上方的部分相交于點(diǎn)A，AK⊥l，垂足為K，則△AKF的面積是(　　) A．4 B．3 C

4、．4 D．8 解析：選C.F(1，0)，直線AF：y＝(x－1)，代入y2＝4x得3x2－10x＋3＝0， 解得x＝3或x＝. 由于點(diǎn)A在x軸上方且直線的斜率為，所以其坐標(biāo)為(3，2)． 因?yàn)閨AF|＝|AK|＝3＋1＝4，AF的斜率為，即傾斜角為60°，所以∠KAF＝60°， 所以△AKF為等邊三角形， 所以△AKF的面積為×42＝4. 6．(2019·杭州市高考模擬)設(shè)傾斜角為α的直線l經(jīng)過拋物線Г：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F，與拋物線Г交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)A在x軸上方，點(diǎn)B在x軸下方．若＝m，則cos α的值為(　　) A． B． C． D． 解析：選A.設(shè)拋物線

5、y2＝2px(p>0)的準(zhǔn)線為l：x＝－. 如圖所示，分別過點(diǎn)A，B作AM⊥l，BN⊥l，垂足分別為M，N. 在三角形ABC中，∠BAC等于直線AB的傾斜角α， 由＝m，|AF|＝m|BF|，|AB|＝|AF|＋|BF|＝(m＋1)|BF|， 根據(jù)拋物線的定義得：|AM|＝|AF|＝m|BF|，|BN|＝|BF|， 所以|AC|＝|AM|－|MC|＝m|BF|－|BF|＝(m－1)|BF|， 在直角三角形ABC中，cos α＝cos ∠BAC＝＝＝，故選A. 7．已知拋物線y2＝2px(p>0)上一點(diǎn)M到焦點(diǎn)F的距離等于2p，則直線MF的斜率為________． 解析：設(shè)M

6、(xM，yM)，由拋物線定義可得|MF|＝xM＋＝2p，解得xM＝，代入拋物線方程可得yM＝±p，則直線MF的斜率為＝＝±. 答案：± 8．已知拋物線C的方程為y2＝2px(p>0)，○·M的方程為x2＋y2＋8x＋12＝0，如果拋物線C的準(zhǔn)線與○·M相切，那么p的值為________． 解析：將○·M的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程：(x＋4)2＋y2＝4，圓心坐標(biāo)為(－4，0)，半徑r＝2，又因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線方程為x＝－，所以＝2，p＝12或4. 答案：12或4 9．若點(diǎn)P在拋物線y2＝x上，點(diǎn)Q在圓(x－3)2＋y2＝1上，則|PQ|的最小值為________． 解析：由題意得拋物線與圓不

7、相交， 且圓的圓心為A(3，0)， 則|PQ|≥|PA|－|AQ|＝|PA|－1， 當(dāng)且僅當(dāng)P，Q，A三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)， 所以當(dāng)|PA|取得最小值時(shí)，|PQ|最?。? 設(shè)P(x0，y0)，則y＝x0，|PA|＝＝＝ ，當(dāng)且僅當(dāng)x0＝時(shí)，|PA|取得最小值，此時(shí)|PQ|取得最小值－1. 答案：－1 10．(2019·浙江省名校協(xié)作體高三聯(lián)考)拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，且過點(diǎn)(4，4)，焦點(diǎn)為F. (1)求拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，M是PF的中點(diǎn)，求M的軌跡方程． 解：(1)拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，且過點(diǎn)(4，4)，設(shè)拋物線解析式為y2

8、＝2px，把(4，4)代入，得16＝2×4p，所以p＝2， 所以拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝4x，焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(1，0)． (2)設(shè)M(x，y)，P(x0，y0)，F(xiàn)(1，0)，M是PF的中點(diǎn)，則x0＋1＝2x，0＋y0＝2y， 所以x0＝2x－1，y0＝2y， 因?yàn)镻是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，所以y＝4x0， 所以(2y)2＝4(2x－1)，化簡得y2＝2x－1. 所以M的軌跡方程為y2＝2x－1. 11．已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，A是拋物線上橫坐標(biāo)為4，且位于x軸上方的點(diǎn)，A到拋物線準(zhǔn)線的距離等于5，過A作AB垂直于y軸，垂足為B，OB的中點(diǎn)為M. (1)求拋物線的方程

9、； (2)若過M作MN⊥FA，垂足為N，求點(diǎn)N的坐標(biāo)． 解：(1)拋物線y2＝2px的準(zhǔn)線為x＝－， 于是4＋＝5，所以p＝2. 所以拋物線方程為y2＝4x. (2)因?yàn)辄c(diǎn)A的坐標(biāo)是(4，4)， 由題意得B(0，4)，M(0，2)． 又因?yàn)镕(1，0)，所以kFA＝， 因?yàn)镸N⊥FA，所以kMN＝－. 又FA的方程為y＝(x－1)，① MN的方程為y－2＝－x，② 聯(lián)立①②，解得x＝，y＝， 所以點(diǎn)N的坐標(biāo)為. [能力提升] 1．(2019·臺(tái)州書生中學(xué)月考)拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，已知點(diǎn)A，B為拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠AFB＝120°，過AB的

10、中點(diǎn)M作拋物線準(zhǔn)線l的垂線MN，垂足為N，則的最大值為(　　) A． B．1 C． D．2 解析：選A.過A、B分別作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為A1，B1，連接AF、BF，由拋物線的定義知|MN|＝(|AA1|＋|BB1|)＝(|AF|＋|BF|)，在△AFB中，|AB|2＝|AF|2＋|BF|2－2|AF||BF|·cos 120°＝|AF|2＋|BF|2＋|AF||BF|. 所以＝· ＝ ＝≤×＝， 當(dāng)且僅當(dāng)|AF|＝|BF|時(shí)取等號(hào)，所以的最大值為. 2．已知F為拋物線y2＝x的焦點(diǎn)，點(diǎn)A，B在該拋物線上且位于x軸的兩側(cè)，·＝2(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則△ABO與△A

11、FO面積之和的最小值是(　　) A．2 B．3 C． D． 解析：選B.設(shè)A(x1，)，B(x2，－)， 則S△AFO＝×＝. 由·＝2得x1x2－＝2， 即x1x2－－2＝0，解得x1x2＝4， 所以(||·||)2＝(x＋x1)(x＋x2) ＝xx＋x1x2·(x1＋x2)＋x1x2 ＝20＋4(x1＋x2)， 因?yàn)閏os∠AOB＝， 所以sin∠AOB＝ ＝. 所以S△AOB＝||||sin∠AOB ＝|||| ＝ ＝＝ ＝＝＋， 所以S△ABO＋S△AFO＝＋≥2＝3，當(dāng)＝，即x1＝時(shí)等號(hào)成立． 3．如圖，正方形ABCD和正方形DEFG的邊長分別

12、為a，b(a＜b)，原點(diǎn)O為AD的中點(diǎn)，拋物線y2＝2px(p＞0)經(jīng)過C，F(xiàn)兩點(diǎn)，則＝________． 解析：依題知C，F(xiàn)，因?yàn)辄c(diǎn)C，F(xiàn)在拋物線上，所以兩式相除得－2－1＝0，解得＝1＋或＝1－(舍)． 答案：1＋ 4．(2019·臺(tái)州市高考模擬)如圖，過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F作直線與拋物線及其準(zhǔn)線分別交于A，B，C三點(diǎn)，若＝4，則||＝________． 解析： 分別過A，B作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為A1，B1，則DF＝p＝2，由拋物線的定義可知FB＝BB1，AF＝AA1， 因?yàn)椋?，所以＝＝， 所以FB＝BB1＝. 所以FC＝4FB＝6， 所以cos ∠D

13、FC＝＝， 所以cos ∠A1AC＝＝＝，解得AF＝3， 所以AB＝AF＋BF＝3＋＝. 答案： 5．已知拋物線x2＝4y的焦點(diǎn)為F，P為該拋物線在第一象限內(nèi)的圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)． (1)當(dāng)|PF|＝2時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)； (2)求點(diǎn)P到直線y＝x－10的距離的最小值． 解：(1)由拋物線x2＝4y的焦點(diǎn)為F，P為該拋物線在第一象限內(nèi)的圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)， 故設(shè)P(a＞0)， 因?yàn)閨PF|＝2，結(jié)合拋物線的定義得＋1＝2， 所以a＝2，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，1)． (2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(a＞0)， 則點(diǎn)P到直線y＝x－10的距離為＝. 因?yàn)椋璦＋10＝(a－2)2＋9，

14、 所以當(dāng)a＝2時(shí)，－a＋10取得最小值9， 故點(diǎn)P到直線y＝x－10的距離的最小值為. 6．(2019·杭州寧波二市三校聯(lián)考)已知A，B，C是拋物線y2＝2px(p＞0)上三個(gè)不同的點(diǎn)，且AB⊥AC. (1)若A(1，2)，B(4，－4)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)； (2)若拋物線上存在點(diǎn)D，使得線段AD總被直線BC平分，求點(diǎn)A的坐標(biāo)． 解：(1)因?yàn)锳(1，2)在拋物線y2＝2px(p＞0)上，所以p＝2.所以拋物線方程為y2＝4x. 設(shè)C，則由kAB·kAC＝－1，即·＝－1，解得t＝6，即C(9，6)． (2)設(shè)A(x0，y0)，B，C，則y＝2px0， 直線BC的方程為＝，即(y1＋y2)y＝2px＋y1y2，由kAB·kAC＝·＝－1， 得y0(y1＋y2)＋y1y2＋y＝－4p2， 與直線BC的方程聯(lián)立，化簡，得(y1＋y2)(y＋y0)＝2p(x－2p－x0)， 故直線BC恒過點(diǎn)E(x0＋2p，－y0)． 因此直線AE的方程為y＝－(x－x0)＋y0， 代入拋物線的方程y2＝2px(p＞0)， 得點(diǎn)D的坐標(biāo)為. 因?yàn)榫€段AD總被直線BC平分， 所以 解得x0＝，y0＝±p， 即點(diǎn)A的坐標(biāo)為. 10