高考數(shù)學 考前3個月知識方法專題訓練 第一部分 知識方法篇 專題8 概率與統(tǒng)計 第33練 用樣本估計總體 文

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第33練　用樣本估計總體 [題型分析高考展望]　用樣本估計總體在高考中也是熱點部分，考查形式主要是選擇題、填空題或是與概率結(jié)合的綜合性解答題，重點是頻率分布直方圖以及數(shù)字特征，屬于比較簡單的題目． 體驗高考 1．(2015湖南)在一次馬拉松比賽中，35名運動員的成績(單位：分鐘)的莖葉圖如圖所示： 13 0 0 3 4 5 6 6 8 8 8 9 14 1 1 1 2 2 2 3 3 4 4 5 5 5 6 6 7 8 15 0 1 2 2 3 3 3 若將運動員按成績由好到差編為1～35號，再用系統(tǒng)抽樣方法從中抽取7人，則其中成績在區(qū)間[139,151]上的運動員人數(shù)是(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 答案　B 解析　由題意知，將1～35號分成7組，每組5名運動員，成績落在區(qū)間[139,151]的運動員共有4組，故由系統(tǒng)抽樣法知，共抽取4名．選B. 2．(2015課標全國Ⅱ)根據(jù)下面給出的2004年至2013年我國二氧化硫年排放量(單位：萬噸)柱形圖，以下結(jié)論中不正確的是(　　) A．逐年比較，2008年減少二氧化硫排放量的效果最顯著 B．2007年我國治理二氧化硫排放顯現(xiàn)成效 C．2006年以來我國二氧化硫年排放量呈減少趨勢 D．2006年以來我國二氧化硫年排放量與年份正相關(guān) 答案　D 解析　從2006年起，將每年的二氧化硫排放量與前一年作差比較，得到2008年二氧化硫排放量與2007年排放量的差最大，A選項正確； 2007年二氧化硫排放量較2006年降低了很多，B選項正確； 雖然2011年二氧化硫排放量較2010年多一些，但自2006年以來，整體呈遞減趨勢，即C選項正確； 自2006年以來我國二氧化硫年排放量與年份負相關(guān)，D選項錯誤．故選D. 3．(2016課標全國丙)某旅游城市為向游客介紹本地的氣溫情況，繪制了一年中各月平均最高氣溫和平均最低氣溫的雷達圖．圖中A點表示十月的平均最高氣溫約為15 ℃，B點表示四月的平均最低氣溫約為5 ℃.下面敘述不正確的是(　　) A．各月的平均最低氣溫都在0 ℃以上 B．七月的平均溫差比一月的平均溫差大 C．三月和十一月的平均最高氣溫基本相同 D．平均最高氣溫高于20 ℃的月份有5個 答案　D 解析　由題意知，平均最高氣溫高于20 ℃的有六月，七月，八月，故選D. 4．(2016山東)某高校調(diào)查了200名學生每周的自習時間(單位：小時)，制成了如圖所示的頻率分布直方圖，其中自習時間的范圍是[17.5,30]，樣本數(shù)據(jù)分組為[17.5，20)，[20,22.5)，[22.5,25)，[25,27.5)，[27.5,30]．根據(jù)頻率分布直方圖知，這200名學生中每周的自習時間不少于22.5小時的人數(shù)是(　　) A．56 B．60 C．120 D．140 答案　D 解析　由題圖知，組距為2.5，故每周的自習時間不少于22.5小時的頻率為(0.16＋0.08＋0.04)2.5＝0.7， ∴這200名學生中每周的自習時間不少于22.5小時的人數(shù)是2000.7＝140，故選D. 5．(2015湖北)某電子商務(wù)公司對10 000名網(wǎng)絡(luò)購物者2014年度的消費情況進行統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)消費金額(單位：萬元)都在區(qū)間[0.3,0.9]內(nèi)，其頻率分布直方圖如圖所示． (1)直方圖中的a＝________； (2)在這些購物者中，消費金額在區(qū)間[0.5,0.9]內(nèi)的購物者的人數(shù)為________． 答案　(1)3　(2)6 000 解析　(1)由頻率分布直方圖及頻率和等于1可得0.20.1＋0.80.1＋1.50.1＋20.1＋2.50.1＋a0.1＝1，解得a＝3. (2)消費金額在區(qū)間[0.5,0.9]內(nèi)頻率為0.20.1＋0.80.1＋20.1＋30.1＝0.6，所以消費金額在區(qū)間[0.5,0.9]內(nèi)的購物者的人數(shù)為0.610 000＝6 000. 高考必會題型 題型一　頻率分布直方圖的應(yīng)用 例1　(2015廣東)某城市100戶居民的月平均用電量(單位：度)，以[160,180)，[180,200)，[200,220)，[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]分組的頻率分布直方圖如圖． (1)求直方圖中x的值； (2)求月平均用電量的眾數(shù)和中位數(shù)； (3)在月平均用電量為[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]的四組用戶中，用分層抽樣的方法抽取11戶居民，則月平均用電量在[220,240)的用戶中應(yīng)抽取多少戶？ 解　(1)由(0.002＋0.009 5＋0.011＋0.012 5＋x＋0.005＋0.002 5)20＝1，得x＝0.007 5， 所以直方圖中x的值是0.007 5. (2)月平均用電量的眾數(shù)是＝230. 因為(0.002＋0.009 5＋0.011)20＝0.45<0.5，所以月平均用電量的中位數(shù)在[220,240)內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為a，由(0.002＋0.009 5＋0.011)20＋0.012 5(a－220)＝0.5，得a＝224，所以月平均用電量的中位數(shù)是224. (3)月平均用電量為[220,240)的用戶有0.012 520100＝25(戶)，月平均用電量為[240,260)的用戶有0.007 520100＝15(戶)，月平均用電量為[260,280)的用戶有0.00520100＝10(戶)，月平均用電量為[280,300]的用戶有0.002 520100＝5(戶)，抽取比例＝＝，所以月平均用電量在[220,240)的用戶中應(yīng)抽取25＝5(戶)． 點評　利用頻率分布直方圖估計樣本的數(shù)字特征 (1)中位數(shù)：在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積相等，由此可以估計中位數(shù)的值． (2)平均數(shù)：平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標之和． (3)眾數(shù)：在頻率分布直方圖中，眾數(shù)是最高的矩形底邊的中點的橫坐標． 變式訓練1　某校從參加高一年級期中考試的學生中隨機抽出60名學生，將其物理成績(均為整數(shù))分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到如圖所示的頻率分布直方圖，觀察圖形的信息，回答下列問題： (1)求分數(shù)在[70,80)內(nèi)的頻率，并補全這個頻率分布直方圖； (2)統(tǒng)計方法中，同一組數(shù)據(jù)常用該組區(qū)間的中點值作為代表，據(jù)此估計本次考試中的平均分． 解　(1)設(shè)分數(shù)在[70,80)內(nèi)的頻率為x，根據(jù)頻率分布直方圖，有(0.010＋0.0152＋0.025＋0.005)10＋x＝1，可得x＝0.3，所以頻率分布直方圖如圖所示． (2)平均分：450.1＋550.15＋650.15＋750.3＋850.25＋950.05＝71. 即估計本次考試中的平均分為71分． 題型二　莖葉圖的應(yīng)用 例2　(1)為了檢查某高三畢業(yè)班學生的體重狀況，從該班隨機抽取了10位學生進行稱重，如圖為10位學生體重的莖葉圖，其中圖中左邊是體重的十位數(shù)字，右邊是個位數(shù)字，則這10位學生體重的平均數(shù)與中位數(shù)之差為(　　) A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 (2)在“某市中學生歌手大賽”比賽現(xiàn)場上七位評委為某選手打出的分數(shù)的莖葉圖如圖，去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為(　　) A．5和1.6 B．85和1.6 C．85和0.4 D．5和0.4 答案　(1)C　(2)B 解析　(1)平均數(shù)為＝54.8， 中位數(shù)為(53＋56)＝54.5， ∴這10位學生體重的平均數(shù)與中位數(shù)之差為： 54．8－54.5＝0.3.故選C. (2)＝(4＋4＋4＋6＋7)＋80＝85， 所以s2＝[3(84－85)2＋(86－85)2＋(87－85)2]＝1.6，故選B. 點評　由于莖葉圖完全反映了所有的原始數(shù)據(jù)，解決由莖葉圖給出的統(tǒng)計圖表試題時，就要充分使用這個圖表提供的數(shù)據(jù)進行相關(guān)的計算或者是對某些問題作出判斷，這類試題往往伴隨著對數(shù)據(jù)組的平均值或者是方差的計算等． 變式訓練2　(1)某公司將職員每月的工作業(yè)績用1～30的自然數(shù)表示，甲、乙兩職員在2010年1～8月份的工作業(yè)績的莖葉圖如圖，則下列說法正確的是(　　) A．兩職員的平均業(yè)績相同，甲職員的業(yè)績比乙職員的業(yè)績穩(wěn)定 B．兩職員的平均業(yè)績不同，甲職員的業(yè)績比乙職員的業(yè)績穩(wěn)定 C．兩職員的平均業(yè)績相同，乙職員的業(yè)績比甲職員的業(yè)績穩(wěn)定 D．兩職員的平均業(yè)績不同，乙職員的業(yè)績比甲職員的業(yè)績穩(wěn)定 (2)如圖為甲、乙兩名籃球運動員每場比賽得分情況的莖葉圖，則甲和乙得分的中位數(shù)的和是(　　) A．56 B．57 C．58 D．59 答案　(1)C　(2)B 解析　(1)由莖葉圖可得：甲＝(12＋15＋18＋20＋20＋22＋25＋28)＝20， 乙＝(14＋15＋17＋19＋21＋23＋25＋26)＝20， s＝(82＋52＋22＋0＋0＋22＋52＋82)＝， s＝(62＋52＋32＋1＋1＋32＋52＋62)＝， 由平均數(shù)和方差可知，兩職員的平均業(yè)績相同， 乙職員的業(yè)績比甲職員的業(yè)績穩(wěn)定． (2)由莖葉圖知，甲共13個數(shù)據(jù)，中間的一個是32，乙共11個數(shù)據(jù)，中間的一個是25，所以甲和乙得分的中位數(shù)的和為57，故選B. 題型三　用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征 例3　(1)一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是2.8，方差是3.6，若將這組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)都加上60，得到一組新數(shù)據(jù)，則所得新數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別是(　　) A．57.2,3.6 B．57.2,56.4 C．62.8,63.6 D．62.8,3.6 (2)某籃球隊甲、乙兩名運動員練習罰球，每人練習10組，每組罰球40個，命中個數(shù)的莖葉圖如圖，則下列結(jié)論中錯誤的是________．(填序號) ①甲的極差是29；②乙的眾數(shù)是21；③甲罰球命中率比乙高；④甲的中位數(shù)是24. 答案　(1)D　(2)④ 解析　(1)設(shè)這組數(shù)據(jù)分別為x1，x2，…，xn， 則＝(x1＋x2＋…＋xn)， 方差為s2＝[(x1－)2＋…＋(xn－)2]， 每一組數(shù)據(jù)都加60后，′＝(x1＋x2＋…＋xn＋60n) ＝＋60＝62.8， 方差s′2＝[(x1＋60－62.8)2＋…＋(xn＋60－62.8)2]＝s2＝3.6. (2)由莖葉圖知，甲的最大值為37，最小值為8，所以甲的極差為29，故①對；乙的數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的是21，所以②對；甲的命中個數(shù)集中在20，而乙的命中個數(shù)集中在10和20，所以甲罰球命中率大，故③對；甲中間的兩個數(shù)為22,24，所以甲的中位數(shù)為＝23，故④不對．故答案應(yīng)填④. 點評　平均數(shù)與方差都是重要的數(shù)字特征，是對總體的一種簡明的描述，它們所反映的情況有著重要的實際意義，平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)描述其集中趨勢，方差和標準差描述其波動大小． 變式訓練3　甲、乙二人參加某體育項目訓練，近期的五次測試成績得分情況如圖． (1)分別求出兩人得分的平均數(shù)與方差； (2)根據(jù)圖和上面算得的結(jié)果，對兩人的訓練成績作出評價． 解　(1)由題圖象可得甲、乙兩人五次測試的成績分別為 甲：10分，13分，12分，14分，16分； 乙：13分，14分，12分，12分，14分． 甲＝＝13， 乙＝＝13， s＝[(10－13)2＋(13－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2＋(16－13)2]＝4， s＝[(13－13)2＋(14－13)2＋(12－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2]＝0.8. (2)由s>s可知乙的成績較穩(wěn)定． 從折線圖看，甲的成績基本呈上升狀態(tài)，而乙的成績上下波動，可知甲的成績在不斷提高，而乙的成績則無明顯提高． 高考題型精練 1．某學校組織學生參加數(shù)學測試，成績的頻率分布直方圖如圖，數(shù)據(jù)的分組依次為[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]，若低于60分的人數(shù)是15人，則該班的學生人數(shù)是(　　) A．45 B．50 C．55 D．60 答案　B 解析　低于60分的人數(shù)的頻率為0.01520＝0.3， 所以該班人數(shù)150.3＝50(人)． 2．某賽季，甲，乙兩名籃球運動員都參加了11場比賽，他們每場比賽得分的情況用莖葉圖表示，如圖，則甲，乙兩名運動員得分的中位數(shù)分別為(　　) A．20,18 B．13,19 C．19,13 D．18,20 答案　C 解析　中位數(shù)為一組數(shù)據(jù)由小到大排列后位于中間的一個數(shù)或兩個數(shù)的平均數(shù)，所以中位數(shù)為19,13. 3．如圖是某社區(qū)工會對當?shù)仄髽I(yè)工人月收入情況進行一次抽樣調(diào)查后畫出的頻率分布直方圖，其中月收入在[1.5,2)千元的頻數(shù)為300，則此次抽樣的樣本容量為(　　) A．1 000 B．2 000 C．3 000 D．4 000 答案　A 解析　由頻率分布直方圖，得月收入在[1.5,2)千元的頻率為P＝0.60.5＝0.3， 所以此次抽樣的樣本容量為＝1 000，故選A. 4.甲、乙兩同學用莖葉圖記錄高三前5次數(shù)學測試的成績，如圖所示，他們在分析對比成績變化時，發(fā)現(xiàn)乙同學成績的一個數(shù)字看不清楚了，若已知乙的平均成績低于甲的平均成績，則看不清楚的數(shù)字為(　　) A．0 B．3 C．6 D．9 答案　A 解析　設(shè)看不清的數(shù)字為x， 甲的平均成績?yōu)椋?01， 所以<101，x<1， 所以x＝0，故選A. 5.如圖是一容量為100的樣本的重量的頻率分布直方圖，則由圖可估計樣本重量的中位數(shù)為(　　) A．11 B．11.5 C．12 D．12.5 答案　C 解析　由頻率分布直方圖，可估計樣本重量的中位數(shù)在第二組， 設(shè)中位數(shù)比10大x，由題意可得，0.065＋x0.1＝0.5，得x＝2， 所以中位數(shù)為12，故選C. 6．已知兩組樣本數(shù)據(jù){x1，x2，…，xn}的平均數(shù)為h，{y1，y2，…，ym}的平均數(shù)為k，則把兩組數(shù)據(jù)合并成一組以后，這組樣本的平均數(shù)為(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　因為樣本數(shù)據(jù){x1，x2，…，xn}的平均數(shù)為h， {y1，y2，…，ym}的平均數(shù)為k， 所以第一組數(shù)據(jù)和為nh，第二組數(shù)據(jù)和為mk， 因此把兩組數(shù)據(jù)合并成一組以后， 這組樣本的平均數(shù)為，故選B. 7．從向陽小區(qū)抽取100戶居民進行月用電量調(diào)查，為制定階梯電價提供數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)其用電量都在50到350度之間，制作頻率分布直方圖的工作人員粗心大意，位置t處未標明數(shù)據(jù)，你認為t等于(　　) A．0.004 1 B．0.004 2 C．0.004 3 D．0.004 4 答案　D 解析　由題意得，50(0.006＋t＋0.003 6＋0.002 42＋0.001 2)＝1，t＝0.004 4. 8．10名工人某天生產(chǎn)同一零件，生產(chǎn)的件數(shù)分別為15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，設(shè)其平均數(shù)為a，中位數(shù)為b，眾數(shù)為c，則有(　　) A．a(chǎn)>b>c B．b>c>a C．c>a>b D．c>b>a 答案　D 解析　易得a＝14.7，b＝15，c＝17，故選D. 9．如圖是某青年歌手大獎賽上七位評委為甲，乙兩名選手打出的分數(shù)的莖葉圖(其中m為數(shù)字0～9中的一個)，去掉一個最高分和一個最低分后，甲，乙兩名選手得分的平均數(shù)分別為a1，a2，則a1，a2的大小關(guān)系是________．(填a1>a2，a2>a1，a1＝a2)． 答案　a2>a1 解析　由題意可知， a1＝＝84， a2＝＝85， 所以a2>a1. 10．已知一組正數(shù)x1，x2，x3，x4的方差s2＝(x＋x＋x＋x－16)，則數(shù)據(jù)x1＋2，x2＋2，x3＋2，x4＋2的平均數(shù)為________． 答案　4 解析　由題意42＝16，＝2， 所以 ＝＋2＝4. 11．(2016四川)我國是世界上嚴重缺水的國家，某市為了制定合理的節(jié)水方案，對居民用水情況進行了調(diào)查，通過抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量(單位：噸)，將數(shù)據(jù)按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖． (1)求直方圖中a的值； (2)設(shè)該市有30萬居民，估計全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)，說明理由； (3)估計居民月均用水量的中位數(shù)． 解　(1)由頻率分布直方圖可知：月均用水量在[0,0.5)的頻率為0.080.5＝0.04. 同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5]等組的頻率分別為0.08,0.21,0.25,0.06，0.04，0.02. 由1－(0.04＋0.08＋0.21＋0.25＋0.06＋0.04＋0.02)＝0.5a＋0.5a， 解得a＝0.30. (2)由(1)知，100位居民月均用水量不低于3噸的頻率為0.06＋0.04＋0.02＝0.12.由以上樣本的頻率分布，可以估計30萬居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)為300 0000.12＝36 000. (3)設(shè)中位數(shù)為x噸． 因為前5組的頻率之和為0.04＋0.08＋0.15＋0.21＋0.25＝0.73>0.5. 而前4組的頻率之和為0.04＋0.08＋0.15＋0.21＝0.48<0.5. 所以2≤x<2.5. 由0.50(x－2)＝0.5－0.48，解得x＝2.04. 故可估計居民月均用水量的中位數(shù)為2.04. 12．(2016北京)某市民用水擬實行階梯水價，每人月用水量中不超過w立方米的部分按4元/立方米收費，超出w立方米的部分按10元/立方米收費，從該市隨機調(diào)查了10 000位居民，獲得了他們某月的用水量數(shù)據(jù)，整理得到如下頻率分布直方圖： (1)如果w為整數(shù)，那么根據(jù)此次調(diào)查，為使80%以上居民在該月的用水價格為4元/立方米，w至少定為多少？ (2)假設(shè)同組中的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的右端點值代替，當w＝3時，估計該市居民該月的人均水費． 解　(1)如題圖所示，用水量在[0.5,2)的頻率的和為(0.2＋0.3＋0.4)0.5＝0.45＜0.8，用水量在[0.5,3)的頻率的和為(0.2＋0.3＋0.4＋0.5＋0.3)0.5＝0.85. ∴用水量小于等于3立方米的頻率為0.85，又w為整數(shù)， ∴為使80%以上的居民在該月的用水價格為4元/立方米，w至少定為3. (2)當w＝3時，該市居民該月的人均水費估計為 (0.11＋0.151.5＋0.22＋0.252.5＋0.153)4＋0.1534＋[0.05(3.5－3)＋0.05(4－3)＋0.05(4.5－3)]10＝7.2＋1.8＋1.5＝10.5(元)． 即該市居民該月的人均水費估計為10.5元．