（浙江專用）2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第四章 三角函數(shù)、解三角形 考點(diǎn)規(guī)范練17 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

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1、考點(diǎn)規(guī)范練17　三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 基礎(chǔ)鞏固組 1.(2017課標(biāo)Ⅱ高考)函數(shù)f(x)=sin2x+π3的最小正周期為(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.4π B.2π C.π D.π2 答案C　 解析由周期公式T=2π2=π. 2.若函數(shù)f(x)=3sin(2x+θ)(0<θ<π)是偶函數(shù),則f(x)在[0,π]上的遞增區(qū)間是(　　) A.0,π2 B.π2,π C.π4,π2 D.3π4,π 答案B　 解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=3sin(2x+θ)(0<θ<π)是偶函數(shù), 所以f(x)=3sin2x+π2=3cos2x. 所以由2kπ-π≤2x≤2kπ可

2、知其單調(diào)遞增區(qū)間是kπ-π2,kπ.又kπ-π2,kπ?[0,π],∴k=1,即所求單調(diào)遞增區(qū)間為π2,π.故選B. 3.函數(shù)y=sin2x-π3在區(qū)間-π2,π上的簡(jiǎn)圖是(　　) 答案A　 解析將x=π6代入到函數(shù)解析式中得y=0,可排除C,D; 將x=π代入到函數(shù)解析式中求出函數(shù)值為-32,可排除B,故選A. 4.函數(shù)f(x)=tan2x-π3的單調(diào)遞增區(qū)間是(　　) A.kπ2-π12,kπ2+5π12(k∈Z) B.kπ2-π12,kπ2+5π12(k∈Z) C.kπ-π12,kπ+5π12(k∈Z) D.kπ+π6,kπ+2π3(k∈Z) 答案B　 解析當(dāng)kπ-

3、π2<2x-π3

4、-2π,選項(xiàng)A正確;函數(shù)的對(duì)稱軸為x+π3=kπ(k∈Z),即x=kπ-π3(k∈Z),取k=3,可得y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=8π3對(duì)稱,選項(xiàng)B正確;f(x+π)=cosx+π3+π=-cosx+π3,函數(shù)的零點(diǎn)滿足x+π3=kπ+π2(k∈Z),即x=kπ+π6(k∈Z),取k=0,可得f(x+π)的一個(gè)零點(diǎn)為x=π6,選項(xiàng)C正確;當(dāng)x∈π2,π時(shí),x+π3∈5π6,4π3,函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)不單調(diào),選項(xiàng)D錯(cuò)誤;故選D. 6.(2018浙江余姚中學(xué))設(shè)f(x)=sin x+3cos x(x∈(0,π)),則f(x)的最大值為　　　　　,此時(shí)自變量x的值為　　　　　.? 答案2　π6　

5、 解析由題意得f(x)=2sinx+π3,則f(x)的最大值為2,此時(shí),x+π3=π2+2kπ,解得x=π6+2kπ,又x∈(0,π),所以x=π6. 7.(2018浙江湖州期末)已知函數(shù)f(x)=tan2x-π6,則fπ4=　　　　　,函數(shù)f(x)的最小正周期是　　　　　.? 答案3　π2　 解析函數(shù)f(x)=tan2x-π6,則fπ4=tanπ2-π6=tanπ3=3;函數(shù)f(x)的最小正周期是π2. 8.已知函數(shù)f(x)=sinωx+π6,其中ω>0.若f(x)≤fπ12對(duì)x∈R恒成立,則ω的最小值為　　　　　.? 答案4　 解析由三角函數(shù)的性質(zhì)可知,當(dāng)x=π12時(shí),ωx+π

6、6=2kπ+π2,∴ω=24k+4(k∈Z),取k=0可得ω的最小值為ω=4. 能力提升組 9.在函數(shù)①y=cos |2x|,②y=|cos x|,③y=sin2x+π6,④y=tan2x-π4中,最小正周期為π的所有函數(shù)是(　　) A.②④ B.①③④ C.①②③ D.①③ 答案C　 解析可分別求出各個(gè)函數(shù)的最小正周期. ①y=cos|2x|=cos2x,T=2π2=π;②T=π; ③T=2π2=π;④T=π2. 綜上,知最小正周期為π的所有函數(shù)為①②③.故選C. 10.若函數(shù)f(x)=sin ωx(ω>0)在區(qū)間0,π3上單調(diào)遞增,在區(qū)間π3,π2上單調(diào)遞減,則ω=(　　

7、) A.35 B.12 C.32 D.1 答案C　 解析∵y=sinωx(ω>0)的圖象過(guò)原點(diǎn), ∴當(dāng)0≤ωx≤π2,即0≤x≤π2ω時(shí),y=sinωx是增函數(shù). 當(dāng)π2≤ωx≤3π2,即π2ω≤x≤3π2ω時(shí),y=sinωx是減函數(shù). 由y=sinωx(ω>0)在區(qū)間0,π3上單調(diào)遞增, 在區(qū)間π3,π2上單調(diào)遞減知,π2ω=π3,故ω=32. 11.已知函數(shù)f(x)=3sin(3x+φ),x∈[0,π],則y=f(x)的圖象與直線y=2的交點(diǎn)個(gè)數(shù)最多有(　　) A.2個(gè) B.3個(gè) C.4個(gè) D.5個(gè) 答案C　 解析令f(x)=3sin(3x+φ)=2, 得sin(3

8、x+φ)=23∈(-1,1), 又x∈[0,π],∴3x∈[0,3π],∴3x+φ∈[φ,3π+φ]; 根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì),可得 該方程在正弦函數(shù)一個(gè)半周期上最多有4個(gè)解, 即函數(shù)y=f(x)的圖象與直線y=2的交點(diǎn)最多有4個(gè). 故選C. 12.(2018浙江杭州二中期末)若函數(shù)y=f(x)同時(shí)具有下列三個(gè)性質(zhì):①最小正周期為π;②圖象關(guān)于直線x=π3對(duì)稱;③在區(qū)間-π6,π3上是增函數(shù).則y=f(x)的解析式可以是(　　) A.y=sinx2+π6 B.y=cos2x+π3 C.y=cos2x-π6 D.y=sin2x-π6 答案D　 解析由于函數(shù)y=sinx2+π

9、6的最小正周期為2π12=4π,不滿足條件①,故排除A;由于當(dāng)x∈-π6,π6時(shí),2x+π3∈0,2π3,故y=cos2x+π3是減函數(shù),故排除B;由于當(dāng)x=π3時(shí),y=cos2x-π6=0,故它的圖象不關(guān)于直線x=π3對(duì)稱,故排除C;由于函數(shù)y=sin2x-π6的最小正周期為2π2=π,滿足條件①;當(dāng)x=π3時(shí),函數(shù)取得最大值,圖象關(guān)于直線x=π3對(duì)稱,故滿足條件②;在-π6,π3上,2x-π6∈-π2,π2,函數(shù)為增函數(shù),故滿足條件③;綜上可得,函數(shù)y=sin2x-π6滿足所給的三個(gè)條件,故選D. 13.(2017浙江寧波二模)已知函數(shù)f(x)=sin xcos 2x,則下列關(guān)于函數(shù)f(

10、x)的結(jié)論中,錯(cuò)誤的是(　　) A.最大值為1 B.圖象關(guān)于直線x=-π2對(duì)稱 C.既是奇函數(shù)又是周期函數(shù) D.圖象關(guān)于點(diǎn)3π4,0中心對(duì)稱 答案D　 解析∵函數(shù)f(x)=sinxcos2x,當(dāng)x=3π2時(shí),f(x)取得最大值為1,故A正確;當(dāng)x=-π2時(shí),函數(shù)f(x)=1,為函數(shù)的最大值,故圖象關(guān)于直線x=-π2對(duì)稱;故B正確;函數(shù)f(x)滿足f(-x)=sin(-x)cos(-2x)=-sinxcos2x=-f(x),故函數(shù)f(x)為奇函數(shù),再根據(jù)f(x+2π)=sin(x+2π)cos[-2(x+2π)]=sinxcos2x,故f(x)的周期為2π,故C正確;由于f3π2-x+f

11、(x)=-cosx·cos(3π-2x)+sinxcos2x=cosxcos2x+sinxcos2x=cos2x(sinx+cosx)=0不一定成立,故f(x)圖象不一定關(guān)于點(diǎn)3π4,0中心對(duì)稱,故D不正確,故選D. 14.(2018浙江金華十校4月模擬)已知函數(shù)f(x)=4sin xsinx+π3,則函數(shù)f(x)的最小正周期T=　　　　　,在區(qū)間0,π2上的值域?yàn)椤　　　　?? 答案π　(0,3]　 解析∵函數(shù)的解析式 f(x)=4sinxsinx+π3=2sinx(3cosx+sinx) =23sinxcosx+2sin2x =3sin2x-cos2x+1=2sin2x-π6+

12、1, ∴函數(shù)f(x)的最小正周期T=2π2=π; ∵x∈0,π2,∴2x-π6∈-π6,5π6, ∴當(dāng)2x-π6=π2,即x=π3時(shí),f(x)max=2+1=3, 當(dāng)2x-π6=-π6,即x=0時(shí),f(x)min=-1+1=0,所以值域?yàn)?0,3]. 15.已知函數(shù)f(x)=sin ωx最小正周期為π,其圖象向右平移φ0<φ<π2個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)g(x)的圖象.若對(duì)滿足|f(x1)-g(x2)|=2的x1,x2,有|x1-x2|min=π3,則φ等于　　　　　.? 答案π6　 解析由題意可知g(x)=sin(2x-2φ). 因?yàn)閨f(x1)-g(x2)|=2,可知f(x1)

13、和g(x2)分別為f(x)和g(x)的最大值和最小值(或最小值和最大值). 不妨令2x1=π2+2kπ(k∈Z),2x2-2φ=-π2+2mπ(m∈Z), 則x1-x2=π2-φ+(k-m)π,又|x1-x2|min=π3, 所以當(dāng)k-m=0,即k=m時(shí), 又0<φ<π2,則有π2-φ=π3,解得φ=π6. 16.已知函數(shù)f(x)=sin2x+π3,對(duì)任意的x1,x2,x3,且0≤x1

14、2x+π3∈π3,7π3,∴-1≤f(x)≤1; 又對(duì)任意的x1,x2,x3,且0≤x1

15、π6=12, 所以fπ6=2×12×32+32=3. (2)f(x)=2sinx·cosx-π3+cosx =2sinx·12cosx+32sinx+cosx =32sin2x+32(1-cos2x)=3sin2x-π6+32. 因?yàn)閤∈0,π2,所以2x-π6∈-π6,5π6. 又因?yàn)閥=sinx在區(qū)間-π6,π2上單調(diào)遞增,在區(qū)間π2,5π6上單調(diào)遞減. 所以,當(dāng)2x-π6=π2,即x=π3時(shí),f(x)有最大值332; 當(dāng)2x-π6=-π6,即x=0時(shí),f(x)有最小值0. 18.(2018浙江臺(tái)州高三調(diào)研)已知函數(shù)f(x)=asin xcos x-b(cos2x-sin

16、2x)(x∈R,a,b為常數(shù)),且fπ2=34,fπ12=-14. (1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間; (2)當(dāng)x∈-π4,π4時(shí),求函數(shù)f(x)的最大值與最小值. 解(1)由題意得,f(x)=asinxcosx-b(cos2x-sin2x)=12asin2x-bcos2x, 由fπ2=34,fπ12=-14,得b=34,14a-32b=-14, 故a=12,b=34, ∴f(x)=14sin2x-34cos2x=12sin2x-π3, 當(dāng)2kπ-π2≤2x-π3≤2kπ+π2,k∈Z時(shí), 可得kπ-π12≤x≤kπ+5π12,k∈Z, ∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為kπ-π12,kπ+5π12(k∈Z). (2)由(1)得f(x)=12sin2x-π3, 由-π4≤x≤π4,得-5π6≤2x-π3≤π6. ∴-1≤sin2x-π3≤12. 故f(x)在-π4,π4上的最大值為14,最小值為-12. 7