高考數(shù)學大一輪復習 幾何證明選講 77 直線與圓的位置關(guān)系課時作業(yè) 理 選修4-1

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課時作業(yè)77　直線與圓的位置關(guān)系 1．如圖，AB是⊙O的直徑，MN與⊙O切于點C，AC＝BC，則sin∠MCA＝________． 解析：由弦切角定理得，∠MCA＝∠ABC， sin∠ABC＝＝＝＝. 答案： 2．如圖，四邊形ABCD是圓O的內(nèi)接四邊形，延長AB和DC相交于點P，若＝，＝，則的值為________． 解析：∵∠P＝∠P，∠PCB＝∠PAD，∴△PCB∽△PAD， ∴＝＝，∵＝，＝，∴＝. 答案： 3．如圖，D是圓O的直徑AB延長線上一點，PD是圓O的切線，P是切點，∠D＝30，AB＝4，BD＝2，PA＝________． ,) 解析：連接PO，因為PD是⊙O的切線，P是切點，∠D＝30，所以∠POD＝60，并且AO＝2，∠POA＝120，PO＝2，在△POA中，由余弦定理知，PA＝2. 答案：2 4．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝72，⊙O過A、B兩點且與BC相切于點B，與AC交于點D，連接BD，若BC＝－1，則AC＝________． ,) 解析：由題易知，∠C＝∠ABC＝72，∠A＝∠DBC＝36，所以△BCD∽△ACB，又易知BD＝AD＝BC，所以BC2＝CDAC＝(AC－BC)AC，解得AC＝2. 答案：2 5．(2015湖北卷)如圖，PA是圓的切線，A為切點，PBC是圓的割線，且BC＝3PB，則＝________． ,) 解析：由切割線定理知，PA2＝PBPC＝PB(PB＋BC)＝4PB2，則PA＝2PB，而△PAB∽△PCA，所以＝＝. 答案： 6．(2016天津月考)如圖，以Rt△ABC的直角邊AB為直徑作圓O，圓O與斜邊AC交于D，過D作圓O的切線與BC交于E，若BC＝6，AB＝8，則OE＝________． ,) 解析： 由題意，如圖，連接OD，BD，則OD⊥ED，BD⊥AD.∵OB＝OD，OE＝OE，∴Rt△EBO≌Rt△EDO，∴EB＝ED，∴∠EBD＝∠EDB.又∠EBD＋∠C＝90，∠EDB＋∠EDC＝90，∴∠C＝∠EDC，∴ED＝EC，∴EB＝EC.∵O是AB的中點，∴OE＝AC.∵直角邊BC＝6，AB＝8，∴AC＝10，∴OE＝5. 答案：5 7．(2015廣東卷)如圖，已知AB是圓O的直徑，AB＝4，EC是圓O的切線，切點為C，BC＝1，過圓心O作BC的平行線，分別交EC和AC于點D和點P，則OD＝________． ,) 解析： 連接OC，由于EC是圓O的切線，∴OC⊥DC，由題意知OC＝2，∴在Rt△DOC中，cos∠COD＝.又OD∥BC，∴∠COD＝∠OCB，而△OCB為等腰三角形，且OC＝OB＝2，BC＝1，∴cos∠OCB＝cos∠OBC＝＝，∴cos∠COD＝＝，∴OD＝8. 答案：8 8．如圖，直線PB與圓O相切于點B，D是弦AC上的點，∠PBA＝∠DBA.若AD＝m，AC＝n，則AB＝________． ,) 解析：∵PB切⊙O于點B， ∴∠PBA＝∠ACB.又∠PBA＝∠DBA， ∴∠DBA＝∠ACB，又∠A是公共角， ∴△ABD∽△ACB.∴＝， ∴AB2＝ADAC＝mn，∴AB＝. 答案： 9．如圖，兩個等圓⊙O與⊙O′外切，過O作⊙O′的兩條切線OA，OB，A，B是切點，點C在圓O′上且不與點A，B重合，則∠ACB＝________． ,) 解析：連接O′A，O′B，O′O，由⊙O與⊙O′外切且半徑相等得O′A＝O′O，又因O′A⊥OA，所以∠AOO′＝30，同理∠BOO′＝30，故∠AOB＝60，由四邊形的內(nèi)角和為360得∠AO′B＝120，故∠ACB＝∠AO′B＝60. 答案：60 10．(2015江蘇卷)如圖，在△ABC中，AB＝AC，△ABC的外接圓⊙O的弦AE交BC于點D. 求證：△ABD∽△AEB. 證明：因為AB＝AC，所以∠ABD＝∠C. 又因為∠C＝∠E，所以∠ABD＝∠E， 又∠BAE為公共角，可知△ABD∽△AEB. 11．如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，AB的延長線與DC的延長線交于點E，且CB＝CE. (1)證明：∠D＝∠E； (2)設AD不是⊙O的直徑，AD的中點為M，且MB＝MC，證明：△ADE為等邊三角形． 證明：(1)由題設知A，B，C，D四點共圓，所以∠D＝∠CBE. 由已知得∠CBE＝∠E，故∠D＝∠E. (2)設BC的中點為N，連接MN，則由MB＝MC知MN⊥BC，故O在直線MN上． 又AD不是⊙O的直徑，M為AD的中點，故OM⊥AD，即MN⊥AD. 所以AD∥BC，故∠A＝∠CBE. 又∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E. 由(1)知，∠D＝∠E，所以△ADE為等邊三角形． 12．(2015全國卷Ⅰ)如圖，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的切線，BC交⊙O于點E. (1)若D為AC的中點，證明：DE是⊙O的切線； (2)若OA＝CE，求∠ACB的大?。? 解：(1)如圖，連接AE，由已知得，AE⊥BC，AC⊥AB. 在Rt△AEC中，由已知得，DE＝DC， 故∠DEC＝∠DCE. 連接OE，則∠OBE＝∠OEB. 又∠ACB＋∠ABC＝90， 所以∠DEC＋∠OEB＝90， 故∠OED＝90，DE是⊙O的切線． (2)設CE＝1，AE＝x， 由已知得AB＝2，BE＝. 由射影定理可得，AE2＝CEBE， 所以x2＝， 即x4＋x2－12＝0. 可得x＝， 所以∠ACB＝60.(tan∠ACB＝＝) 1．如圖，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分線，交BC的延長線于點D，延長DA交△ABC的外接圓于點F，連接FB，F(xiàn)C. (1)求證：FB＝FC； (2)求證：FB2＝FAFD； (3)若AB是△ABC外接圓的直徑，∠EAC＝120，BC＝6 cm，求AD的長． 證明：(1)證明：因為AD平分∠EAC，所以∠EAD＝∠DAC. 因為四邊形AFBC內(nèi)接于圓，所以∠DAC＝∠FBC. 因為∠EAD＝∠FAB＝∠FCB， 所以∠FBC＝∠FCB，所以FB＝FC. (2)證明：因為∠FAB＝∠FCB＝∠FBC， ∠AFB＝∠BFD，所以△FBA∽△FDB， 所以＝，所以FB2＝FAFD. (3)解：因為AB是圓的直徑，所以∠ACB＝90， 又∠EAC＝120，所以∠ABC＝30， ∠DAC＝∠EAC＝60，因為BC＝6， 所以AC＝BCtan∠ABC＝2， 所以AD＝＝4(cm)． 2．(2015新課標全國卷Ⅱ)如圖，O為等腰三角形ABC內(nèi)一點，⊙O與△ABC的底邊BC交于M，N兩點，與底邊上的高AD交于點G，且與AB，AC分別相切于E，F(xiàn)兩點． (1)證明：EF∥BC； (2)若AG等于⊙O的半徑，且AE＝MN＝2，求四邊形EBCF的面積． 解：(1)由于△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，所以AD是∠CAB的平分線．又因為⊙O分別與AB，AC相切于E，F(xiàn)，所以AE＝AF，故AD⊥EF.從而EF∥BC. (2)由(1)知，AE＝AF，AD⊥EF， 故AD是EF的垂直平分線． 又EF為⊙O的弦，所以O在AD上． 連接OE，OM，則OE⊥AE. 由AG等于⊙O的半徑得AO＝2OE， 所以∠OAE＝30.因此△ABC和△AEF都是等邊三角形． 因為AE＝2，所以AO＝4，OE＝2. 因為OM＝OE＝2，DM＝MN＝，所以OD＝1， 于是AD＝5，AB＝. 所以四邊形EBCF的面積為 ()2－(2)2＝.