高中物理 第十一章 3 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的回復(fù)力和能量教材梳理教案 新人教版選修3-41

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簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的回復(fù)力和能量 皰丁巧解牛 知識(shí)巧學(xué) 一、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的回復(fù)力 1.定義：振動(dòng)物體偏離平衡位置后，所受到的使它回到平衡位置的力叫做回復(fù)力. 回復(fù)力是根據(jù)力的效果命名的，它可以是一個(gè)力，也可以是多個(gè)力的合力，還可以由某個(gè)力的分力提供.例如：如圖11-3-1，水平方向的彈簧振子，彈力充當(dāng)回復(fù)力.如圖11-3-2所示，豎直方向的彈簧振子彈力和重力的合力充當(dāng)回復(fù)力.如圖11-3-3，m隨M一起振動(dòng)，m的回復(fù)力是靜摩擦力. 圖11-3-1 圖11-3-2 圖11-3-3 深化升華 回復(fù)力是根據(jù)力的作用效果命名的，它可以是彈力，也可以是其他力（包括摩擦力），或幾個(gè)力的合力或某個(gè)力的分力.進(jìn)行受力分析時(shí)，不要憑空多畫(huà)一個(gè)力——回復(fù)力. （1）回復(fù)力的大?。号c偏離平衡位置的位移大小成正比. （2）回復(fù)力的方向：總是指向平衡位置. 聯(lián)想發(fā)散 位移方向總是背離平衡位置，回復(fù)力方向總是指向平衡位置，所以回復(fù)力的方向總是與位移方向相反. （3）回復(fù)力的效果：總是使質(zhì)點(diǎn)回到平衡位置. 2.簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)特征 回復(fù)力F=-kx, 即回復(fù)力的大小跟位移大小成正比，“-”號(hào)表示回復(fù)力與位移的方向相反. 深化升華 （1）如果質(zhì)點(diǎn)所受的力與它偏離平衡位置位移的大小成正比，并且總是指向平衡位置，則質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)就是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng). （2）回復(fù)力F=-kx中的k是比例系數(shù)，并非彈簧的勁度系數(shù)，其值由振動(dòng)系統(tǒng)決定，對(duì)水平彈簧振子，回復(fù)力僅由彈簧彈力提供，k即為勁度系數(shù)，由彈簧決定，與振幅無(wú)關(guān)，其單位是N/m. （3）回復(fù)力為零合外力不為零（如沿圓弧振動(dòng)時(shí)，物體經(jīng)平衡位置回復(fù)力為零，但合外力不為零）. 3.簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)特征：a=-. 簡(jiǎn)諧振動(dòng)是一種變加速的往復(fù)運(yùn)動(dòng)，“—”號(hào)表示加速度a方向與位移x方向相反. 4.在簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)中，位移、回復(fù)力、加速度和速度的變化關(guān)系. 如下表所示（參照?qǐng)D11-3-4）： 圖11-3-4 振子的運(yùn)動(dòng) A→O O→A′ A′→O O→A 位移 方向水平向左，不斷減小 方向水平向右，不斷增大 水平向右，不斷減小 水平向左，不斷增大 回復(fù)力 方向水平向右，大小不斷減小 水平向左，不斷增大 水平向左，不斷減小 水平向右，不斷增大 加速度 水平向右，不斷減小 水平向左，不斷增大 水平向左，不斷減小 水平向右，不斷增大 速度 水平向右，不斷增大 水平向右，不斷減小 水平向左，不斷增大 水平向左，不斷減小 深化升華 “端點(diǎn)”是運(yùn)動(dòng)的轉(zhuǎn)折點(diǎn)，速度必定為零，平衡位置時(shí)速度最大. 學(xué)法一得 （1）振動(dòng)中的位移ｘ都是以平衡位置為起點(diǎn)的，方向總是從平衡位置指向末位置；（2）加速度a的變化與回復(fù)力的變化是一致的，位移、回復(fù)力、加速度三個(gè)物理量同步變化，與速度的變化步調(diào)相反. 二、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的能量 1.概述：簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的能量：做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體在振動(dòng)中經(jīng)過(guò)某一位置時(shí)所具有的勢(shì)能和動(dòng)能之和，稱(chēng)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的能量. 2.做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體能量的變化規(guī)律：只有動(dòng)能和勢(shì)能的相互轉(zhuǎn)化，機(jī)械能守恒. 振動(dòng)過(guò)程是一個(gè)動(dòng)能和勢(shì)能不斷轉(zhuǎn)化的過(guò)程.如圖11-3-5所示的水平彈簧振子，振子在AB之間往復(fù)運(yùn)動(dòng)，在一個(gè)周期內(nèi)的能量轉(zhuǎn)化過(guò)程是： 圖11-3-5 A→O彈力做正功，彈性勢(shì)能轉(zhuǎn)化為動(dòng)能； O→B彈力做負(fù)功，動(dòng)能轉(zhuǎn)化為彈性勢(shì)能； B→O彈力做正功，彈性勢(shì)能轉(zhuǎn)化為動(dòng)能； O→A彈力做負(fù)功，動(dòng)能轉(zhuǎn)化為彈性勢(shì)能. 不考慮阻力，彈簧振子振動(dòng)過(guò)程中只有彈力做功，在任意時(shí)刻的動(dòng)能與勢(shì)能之和不變，即機(jī)械能守恒. 聯(lián)想發(fā)散 對(duì)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)來(lái)說(shuō)，一旦供給系統(tǒng)一定的能量，使它開(kāi)始振動(dòng)，它就以一定的振幅永不停息地持續(xù)振動(dòng)，簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)是一種理想化的振動(dòng). 3.簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的機(jī)械能由振幅決定. 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)中的能量跟振幅有關(guān)，振幅越大，振動(dòng)的能量越大.在簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)中，振動(dòng)的能量保持不變，所以振幅保持不變，只要沒(méi)有能量損耗，它將永不停息地振動(dòng)下去，因此簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)又稱(chēng)等幅振動(dòng). 要點(diǎn)提示 實(shí)際運(yùn)動(dòng)都有一定的能量損耗，所以簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)是一種理想化的振動(dòng). 深化升華 振幅是描述振動(dòng)強(qiáng)弱的物理量，也是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體能量大小的標(biāo)志，是描述簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)能量的特征物理量. 4.在振動(dòng)一個(gè)周期內(nèi)，動(dòng)能和勢(shì)能間完成兩次周期性變化，經(jīng)過(guò)平衡位置時(shí)動(dòng)能最大，勢(shì)能最?。唤?jīng)過(guò)最大位移處時(shí)，勢(shì)能最大，動(dòng)能最小. 振動(dòng)勢(shì)能可以是重力勢(shì)能（例如單擺），可以是彈性勢(shì)能（例如水平方向振動(dòng)的彈簧振子），也可以是重力勢(shì)能和彈性勢(shì)能之和（例如沿豎直方向振動(dòng)的彈簧振子）. 深化升華 和以前學(xué)習(xí)勢(shì)能時(shí)一樣都要選取零勢(shì)能位置.我們約定振動(dòng)勢(shì)能以平衡位置為零勢(shì)能位置. 典題熱題 知識(shí)點(diǎn)一 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)過(guò)程中基本物理量的變化 例1彈簧振子在光滑水平面上做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，在振子向平衡位置運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中( ) A.振子所受的回復(fù)力逐漸增大 B.振子的位移逐漸增大 C.振子的速度逐漸減小 D.振子的加速度逐漸減小 解析：振子位移是指由平衡位置指向振動(dòng)物體所在位置的位移，因而向平衡位置運(yùn)動(dòng)時(shí)位移逐漸減小，而回復(fù)力與位移成正比，故回復(fù)力也減小，由牛頓第二定律a=F/m得，加速度也減小，物體向著平衡位置運(yùn)動(dòng)時(shí)，回復(fù)力與速度方向一致，故物體的速度逐漸增大，正確答案選D. 答案：D 方法歸納 分析回復(fù)力變化時(shí)，首先要弄清回復(fù)力的來(lái)源，是由哪些因素引起的，由哪些力構(gòu)成，如本題是F=-kx. 例2如圖11-3-6所示為某一質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)圖象，由圖象可知在t1和t2兩時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)的速度v1、v2，加速度a1、a2的正確關(guān)系為( ) 圖11-3-6 A.v1＜v2，方向相同 B.v1＜v2，方向相反 C.a1＞a2，方向相同 D.a1＞a2，方向相反 解析：在t1時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)向下向平衡位置運(yùn)動(dòng)，在t2時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)向下遠(yuǎn)離平衡位置運(yùn)動(dòng)，所以v1與v2的方向相同，但由于在t1時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)離平衡位置較遠(yuǎn)，所以v1＜v2，a1＞a2；質(zhì)點(diǎn)的加速度方向總是指向平衡位置的，因而可知在t1時(shí)刻加速度方向向下，在t2時(shí)刻加速度方向向上.正確選項(xiàng)為A、D. 答案：AD 巧解提示 處理圖象問(wèn)題時(shí)一定要把圖象還原為質(zhì)點(diǎn)的實(shí)際振動(dòng)過(guò)程來(lái)分析，圖象不是振動(dòng)問(wèn)題的運(yùn)動(dòng)軌跡. 知識(shí)點(diǎn)二 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的能量 例3 如圖11-3-7所示，一彈簧振子在A、B間做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，平衡位置為O，已知振子的質(zhì)量為M，若振子運(yùn)動(dòng)到B處時(shí)將一質(zhì)量為m的物體放在M的上面，且m和M無(wú)相對(duì)運(yùn)動(dòng)而一起運(yùn)動(dòng)，下述正確的是（ ） 圖11-3-7 A.振幅不變 B.振幅減小 C.最大動(dòng)能不變 D.最大動(dòng)能減少 解析：當(dāng)振子運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，M的動(dòng)能為零，放上m，系統(tǒng)的總能量為彈簧所儲(chǔ)存的彈性勢(shì)能Ep，由于簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)過(guò)程中系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，即振幅不變，故A選項(xiàng)正確，當(dāng)M和m運(yùn)動(dòng)至平衡位置O時(shí)，M和m的動(dòng)能和即為系統(tǒng)的總能量，此動(dòng)能最大，故最大動(dòng)能不變，C選項(xiàng)正確. 答案：AC 方法歸納 分析簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的能量問(wèn)題，要弄清運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的受力情況和運(yùn)動(dòng)的情況，弄清是什么能之間的轉(zhuǎn)化及轉(zhuǎn)化關(guān)系等. 例4 做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的彈簧振子，振子質(zhì)量為m，最大速度為v，則下列說(shuō)法正確的是（ ） A.從某時(shí)刻算起，在半個(gè)周期的時(shí)間內(nèi)，回復(fù)力做的功一定為零 B.從某時(shí)刻算起，在半個(gè)周期的時(shí)間內(nèi)，回復(fù)力做的功可能是零到mv2之間的某一個(gè)值 C.從某一時(shí)刻算起，在半個(gè)周期的時(shí)間內(nèi)，速度變化量一定為零 D.從某一時(shí)刻算起，在半個(gè)周期的時(shí)間內(nèi)，速度變化量的大小可能是零到2v之間的某一值 解析：振子在半個(gè)周期內(nèi)剛好到達(dá)與初位置關(guān)于平衡位置對(duì)稱(chēng)的位置，兩位置速度大小相等，故由動(dòng)能定理知，回復(fù)力做的功一定為零，則A選項(xiàng)正確，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；但由于速度反向（初位置在最大位移處時(shí)速度均為零），所以在半個(gè)周期內(nèi)速度變化量的大小為初速度大小的兩倍，因此在半個(gè)周期內(nèi)速度變化量大小應(yīng)為0到2v之間的某個(gè)值，則C選項(xiàng)錯(cuò)，D選項(xiàng)正確. 答案：AD 方法歸納 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)過(guò)程中回復(fù)力為變力，因此求回復(fù)力的功應(yīng)選擇動(dòng)能定理；由于速度變化量與速度均為矢量，故計(jì)算時(shí)應(yīng)特別注意方向. 知識(shí)點(diǎn)三 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)與力學(xué)的綜合 例5 如圖11-3-8所示，一質(zhì)量為M的無(wú)底木箱，放在水平地面上，一輕質(zhì)彈簧一端懸于木箱的上邊，另一端掛著用細(xì)線(xiàn)連接在一起的兩物體A和B，mA=mB=m，剪斷A、B間的細(xì)線(xiàn)后，A做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)A振動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，木箱對(duì)地面的壓力為_(kāi)___________________. 圖11-3-8 解析：本題考查簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)及物體受力情況的分析.剪斷細(xì)線(xiàn)前A的受力情況： 重力：mg，向下；細(xì)線(xiàn)拉力：F拉=mg，向下；彈簧對(duì)A的彈力：F=2 mg，向上.此時(shí)彈簧的伸長(zhǎng)量為Δx==. 剪斷細(xì)線(xiàn)后，A做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其平衡位置在彈簧的伸長(zhǎng)量為Δx=處，最低點(diǎn)即剛剪斷細(xì)線(xiàn)時(shí)的位置，離平衡位置的距離為，由簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)知最高點(diǎn)離平衡位置的距離也為，所以最高點(diǎn)的位置恰好在彈簧的原長(zhǎng)處，此時(shí)彈簧對(duì)木箱作用力為零，所以此時(shí)木箱對(duì)地面的壓力為Mg. 答案：Mg 方法歸納 在一些力學(xué)綜合題目的處理中，如果能充分考慮簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱(chēng)性，可收到事半功倍的效果. 例6如圖11-3-9所示，A、B疊放在光滑水平地面上，B與自由長(zhǎng)度為L(zhǎng)0的輕彈簧相連，當(dāng)系統(tǒng)振動(dòng)時(shí)，A、B始終無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，已知mA=3m，mB=m，當(dāng)振子距平衡位置的位移x=時(shí)系統(tǒng)的加速度為a，求A、B間摩擦力Ff與位移x的函數(shù)關(guān)系. 圖11-3-9 解析：設(shè)彈簧的勁度系數(shù)為k，以A、B整體為研究對(duì)象，系統(tǒng)在水平方向上做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其中彈簧的彈力作為系統(tǒng)的回復(fù)力，所以對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)到距平衡位置時(shí)有：k=(mAmBa，由此得k=. 當(dāng)系統(tǒng)的位移為x時(shí)，A、B間的靜摩擦力為Ff，此時(shí)A、B具有共同加速度a′，對(duì)系統(tǒng)有：kx=（mA+mB）a′ ① k=，a′=x. ② 對(duì)A有：Ff=mAa′. ③ ②代入③得,Ff=x. 答案：Ff=x. 方法歸納 本題綜合考查了受力分析、胡克定律、牛頓定律和回復(fù)力等概念，解題關(guān)鍵是合理選取研究對(duì)象，在不同的研究對(duì)象中回復(fù)力不同.此題最后要求把摩擦力Ff與位移x的關(guān)系用函數(shù)來(lái)表示，要將物理規(guī)律與數(shù)學(xué)有機(jī)結(jié)合. 問(wèn)題探究 交流討論探究 問(wèn)題 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)圖象有哪些應(yīng)用？ 探究過(guò)程: 張晴：可以確定振動(dòng)物體在任一時(shí)刻的位移. 李小鵬：確定振動(dòng)的振幅.圖象中最大位移的絕對(duì)值就是振幅. 王冬：確定振動(dòng)的周期和頻率.振動(dòng)圖象上一個(gè)完整的正弦（或余弦）圖形在時(shí)間軸上拉開(kāi)的“長(zhǎng)度”表示周期. 劉霞：確定各時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向.某時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向的判斷，可以根據(jù)下一時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的位置進(jìn)行判斷. 趙軍：比較不同時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)加速度的大小和方向.加速度的大小可以根據(jù)位移的大小進(jìn)行比較，方向始終指向平衡位置. 探究結(jié)論:任一時(shí)刻的位移，振幅，周期；各時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向；比較不同時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)加速度的大小和方向. 思維發(fā)散探究 問(wèn)題 怎樣判斷一個(gè)振動(dòng)是否為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)? 探究思路：分析一個(gè)振動(dòng)是否為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，關(guān)鍵是判斷它的回復(fù)力是否滿(mǎn)足其大小與位移成正比，方向總與位移方向相反.證明思路為：確定物體靜止時(shí)的位置——即平衡位置.考查振動(dòng)物體在任一點(diǎn)受到回復(fù)力的特點(diǎn)是否滿(mǎn)足：F=-kx.具體處理時(shí)可以先找力與位移大小關(guān)系，再說(shuō)明方向關(guān)系，也可以先規(guī)定正方向同時(shí)考慮大小與方向關(guān)系. 還要知道F=-kx中的k是個(gè)比例系數(shù)，是由振動(dòng)系統(tǒng)本身決定的，不僅僅是指彈簧的勁度系數(shù)，關(guān)于這點(diǎn)，在學(xué)過(guò)本章的第四節(jié)“單擺”后可以理解得更清楚一些. 證明一個(gè)振動(dòng)是否是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，還可從運(yùn)動(dòng)學(xué)角度看其加速度a是否滿(mǎn)足a=-，或從位移與時(shí)間的關(guān)系是否符合正弦規(guī)律來(lái)判斷. 探究結(jié)論:方法一：（動(dòng)力學(xué)角度）回復(fù)力是否滿(mǎn)足其大小與位移成正比，方向總與位移方向相反. 方法二：（運(yùn)動(dòng)學(xué)角度）1.從位移與時(shí)間的關(guān)系看是否符合正弦規(guī)律；2.看位移時(shí)間圖象是否為正弦曲線(xiàn).