高中數(shù)學(xué) 第二講 直線與圓的位置關(guān)系 學(xué)業(yè)分層測評7 圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理 新人教A版選修4-1

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【課堂新坐標(biāo)】2016-2017學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二講 直線與圓的位置關(guān)系 學(xué)業(yè)分層測評7 圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理 新人教A版選修4-1 (建議用時：45分鐘) [學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)] 一、選擇題 1．如圖2213，ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，延長BC到E，已知∠BCD∶∠ECD＝3∶2，那么∠BOD等于(　　) 圖2213 A．120　　 B．136 C．144 D．150 【解析】　設(shè)∠BCD＝3x，∠ECD＝2x， ∴5x＝180，∴x＝36， 即∠BCD＝108，∠ECD＝72， ∴∠BAD＝72，∴∠BOD＝2∠BAD＝144. 【答案】　C 2．如圖2214，在⊙O中，弦AB的長等于半徑，∠DAE＝80，則∠ACD的度數(shù)為(　　) 圖2214 A．30 B．45　　　 C．50　　　 D．60 【解析】　連接OA，OB， ∵∠BCD＝∠DAE＝80，∠AOB＝60， ∴∠BCA＝∠AOB＝30， ∴∠ACD＝∠BCD－∠BCA＝80－30＝50. 【答案】　C 3．圓內(nèi)接四邊形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是(　　) A．4∶2∶3∶1 B．4∶3∶1∶2 C．4∶1∶3∶2 D．以上都不對 【解析】　由四邊形ABCD內(nèi)接于圓，得∠A＋∠C＝∠B＋∠D，從而只有B符合題意． 【答案】　B 4．如圖2215，四邊形ABCD為圓內(nèi)接四邊形，AC為BD的垂直平分線，∠ACB＝60，AB＝a，則CD等于(　　) 圖2215 A.a B.a C.a D.a 【解析】　∵AC為BD的垂直平分線， ∴AB＝AD＝a，AC⊥BD. ∵∠ACB＝60，∴∠ADB＝60， ∴AB＝AD＝BD，∴∠ACD＝∠ABD＝60， ∴∠CDB＝30， ∴∠ADC＝90，∴CD＝tan 30AD＝a. 【答案】　A 5．如圖2216所示，圓內(nèi)接四邊形ABCD的一組對邊AD，BC的延長線相交于點(diǎn)P，對角線AC和BD相交于點(diǎn)Q，則圖中共有相似三角形的對數(shù)為(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：07370035】 圖2216 A．4 B．3 C．2 D．1 【解析】　利用圓周角和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理，可得△PCD∽△PAB，△QCD∽△QBA，△AQD∽△BQC，△PAC∽△PBD.因此共4對． 【答案】　A 二、填空題 6．如圖2217，以AB＝4為直徑的圓與△ABC的兩邊分別交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，∠ACB＝60，則EF＝________. 圖2217 【解析】　如圖，連接AE. ∵AB為圓的直徑， ∴∠AEB＝∠AEC＝90. ∵∠ACB＝60， ∴∠CAE＝30， ∴CE＝AC. ∵∠C＝∠C，∠CFE＝∠B， ∴△CFE∽△CBA， ∴＝， ∵AB＝4，CE＝AC，∴EF＝2. 【答案】　2 7．四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，BC是直徑，＝40，則∠D＝__________. 【解析】　如圖，連接AC.∵＝40.BC是⊙O的直徑， ∴∠ACB＝20，∠BAC＝90， ∴∠B＝180－∠BAC－∠ACB＝70， ∴∠D＝180－∠B＝110. 【答案】　110 8．如圖2218，四邊形ABCD是圓O的內(nèi)接四邊形，延長AB和DC相交于點(diǎn)P，若＝，＝，則的值為________． 圖2218 【解析】　由于∠PBC＝∠PDA，∠P＝∠P， 則△PAD∽△PCB ，∴＝＝. 又＝，＝，∴＝， ∴＝，∴＝， ∴＝. 【答案】　 三、解答題 9．如圖2219，A，B，C，D四點(diǎn)在同一圓上，AD的延長線與BC的延長線交于E點(diǎn)，且EC＝ED. 圖2219 (1)證明：CD∥AB； (2)延長CD到F，延長DC到G，使得EF＝EG，證明：A，B，G，F(xiàn)四點(diǎn)共圓． 【證明】　(1)因為EC＝ED，所以∠EDC＝∠ECD. 因為A，B，C，D四點(diǎn)在同一圓上， 所以∠EDC＝∠EBA， 故∠ECD＝∠EBA，所以CD∥A B. (2)由(1)知，AE＝BE，∠EDF＝∠ECG，因為EF＝EG，故∠EFD＝∠EGC，從而∠FED＝∠GEC. 連接AF，BG，則△EFA≌△EGB，故∠FAE＝∠GBE. 又CD∥AB，∠EDC＝∠ECD， 所以∠FAB＝∠GBA，所以∠AFG＋∠GBA＝180. 故A，B，G，F(xiàn)四點(diǎn)共圓． 10．如圖2220，已知P為正方形ABCD的對角線BD上一點(diǎn)，通過P作正方形的邊的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，G，H.你能判斷出E，F(xiàn)，G，H是否在同一個圓上嗎？試說明你的猜想． 【導(dǎo)學(xué)號：07370036】 圖2220 【解】　猜想：E，F(xiàn)，G，H四個點(diǎn)在以O(shè)為圓心的圓上．證明如下： 如圖，連接OE，OF，OG，OH. 在△OBE，△OBF，△OCG，△OAH中， OB＝OC＝OA. ∵PEBF為正方形， ∴BE＝BF＝CG＝AH， ∠OBE＝∠OBF＝∠OCG＝∠OAH＝45. ∴△OBE≌△OBF≌△OCG≌△OAH. ∴OE＝OF＝OG＝OH. 由圓的定義可知：E，F(xiàn)，G，H在以O(shè)為圓心的圓上． [能力提升] 1．已知四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，下列結(jié)論中正確的有(　　) ①如果∠A＝∠C，則∠A＝90； ②如果∠A＝∠B，則四邊形ABCD是等腰梯形； ③∠A的外角與∠C的外角互補(bǔ)； ④∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是1∶2∶3∶4. A．1個　　　　 B．2個 C．3個 D．4個 【解析】　由“圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)”可知：①相等且互補(bǔ)的兩角必為直角；②兩相等鄰角的對角也相等(亦可能有∠A＝∠B＝∠C＝∠D的特例)；③互補(bǔ)兩內(nèi)角的外角也互補(bǔ)；④兩組對角之和的份額必須相等(這里1＋3≠2＋4)．因此得出①③正確，②④錯誤． 【答案】　B 2．如圖2221，以△ABC的一邊AB為直徑的圓交AC邊于D，交BC邊于E，連接DE，BD與AE交于點(diǎn)F.則sin∠CAE的值為(　　) 圖2221 A.　　　　 B. C. D. 【解析】　根據(jù)圓周角定理，易得∠AEB＝90，進(jìn)而可得∠AEC＝90. 在Rt△AEC中，由銳角三角函數(shù)的定義，可得sin∠CAE＝，由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，可得∠CED＝∠CAB，∠CDE＝∠CBA，可得△CDE∽△CBA，則有＝，故有sin∠CAE＝. 【答案】　D 3．如圖2222，AB＝10 cm，BC＝8 cm，CD平分∠ACB，則AC＝__________，BD＝__________. 圖2222 【解析】　∠ACB＝90，∠ADB＝90. 在Rt△ABC中，AB＝10，BC＝8， ∴AC＝＝6. 又∵CD平分∠ACB， 即∠ACD＝∠BCD， ∴AD＝BD， ∴BD＝＝5. 【答案】　6　5 4.如圖2223，銳角△ABC的內(nèi)心為I，過點(diǎn)A作直線BI的垂線，垂足為H，點(diǎn)E為內(nèi)切圓I與邊CA的切點(diǎn)． 圖2223 (1)求證：四點(diǎn)A，I，H，E共圓； (2)若∠C＝50，求∠IEH的度數(shù)． 【解】　(1)證明：由圓I與邊AC相切于點(diǎn)E， 得IE⊥AE， 結(jié)合IH⊥AH，得∠AEI＝∠AHI＝90. 所以四點(diǎn)A，I，H，E共圓． (2)由(1)知四點(diǎn)A，I，H，E共圓，得∠IEH＝∠HAI. 在△HIA中，∠HIA＝∠ABI＋∠BAI＝∠B＋∠A＝(∠B＋∠A) ＝(180－∠C)＝90－∠C. 結(jié)合IH⊥AH，得∠HAI＝90－∠HIA＝∠C， 所以∠IEH＝∠C. 由∠C＝50，得∠IEH＝25.