高中數(shù)學 第三章 三角恒等變形 3.2.1 3.2.2 兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)學案 北師大版必修

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2．1　兩角差的余弦函數(shù) 2．2　兩角和與差的正弦、余弦函數(shù) 1．了解兩角差的余弦公式的推導過程． 2．能利用兩角差的余弦公式導出兩角差的正弦公式，兩角和的正弦、余弦公式．(重點) 3．會利用公式解決簡單的化簡求值問題．(難點) [基礎初探] 教材整理　兩角和與差的正弦、余弦函數(shù) 閱讀教材P118～P120練習以上部分，完成下列問題． 1．兩角差的余弦公式 cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.(Cα－β) 2．兩角和的余弦公式 cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.(Cα＋β) 3．兩角和與差的正弦公式 (1)sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ.(Sα＋β)， (2)sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ.(Sα－β)． 判斷(正確的打“√”，錯誤的打“”) (1)兩角和與差的余弦公式中，角α，β是任意的．(　　) (2)sin(α＋β)＝sin α＋sin β一定不成立．(　　) (3)sin(α－β)＝sin βcos α－sin αcos β.(　　) (4)存在α，β，使cos(α－β)＝cos α＋cos β.(　　) 【解析】　(1)√. (2).如當α＝，β＝－時，則sin(α＋β)＝0. sin α＋sin β＝sin ＋sin＝0， ∴當α＝，β＝－時，sin(α＋β)＝sin α＋sin β. (3).sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β. (4)√.如α＝，β＝時， cos(α－β)＝cos α＋cos β. 【答案】　(1)√　(2)　(3)　(4)√ [質疑手記] 預習完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流： 疑問1：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________ 疑問2：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________ 疑問3：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________ [小組合作型] 給角求值 　求值：(1)sin 15＋cos 15； (2)sin 119sin 181－sin 91sin 29. 【精彩點撥】　解答本題首先把非特殊角向特殊角轉化成創(chuàng)造條件逆用公式，然后再應用公式求解． 【自主解答】　(1)法一：sin 15＋cos 15 ＝sin(45－30)＋cos(45－30) ＝sin 45cos 30－cos 45 sin 30＋cos 45cos 30＋ sin 45 sin 30 ＝－＋＋＝. 法二：sin 15＋cos 15 ＝ ＝sin(15＋45) ＝sin 60＝. (2)原式＝sin(29＋90)sin(1＋180)－sin(1＋90)sin 29 ＝cos 29(－sin 1)－cos 1sin 29 ＝－(sin 29 cos 1＋cos 29 sin 1) ＝－sin(29＋1)＝－sin 30＝－. 1．解決此類問題的關鍵是將非特殊角的三角函數(shù)求值問題，轉化為特殊角的三角函數(shù)求值問題． 2．化為特殊角的和與差的形式，公式中只有兩個角，運用公式時，務必熟記公式的結構特征和符號規(guī)律． [再練一題] 1．求值：(1)cos(x＋27)cos(x－18)＋sin(x＋27) sin(x－18)； (2)cos 105＋sin 195的值． 【解】　(1)cos(x＋27)cos(x－18)＋sin(x＋27)sin(x－18) ＝cos[(x＋27)－(x－18)] ＝cos 45 ＝. (2)cos 105＋sin 195＝cos 105－sin 15 ＝cos(60＋45)－sin(60－45) ＝cos 60cos 45－sin 60sin 45－sin 60cos 45＋cos 60sin 45 ＝－－＋ ＝. 給值求值 　已知<β<α<，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－.求sin 2α的值． 【精彩點撥】　由于2α＝(α－β)＋(α＋β)，故可用兩角和的正弦公式求解． 【自主解答】　∵<β<α<， ∴0<α－β<，π<α＋β<， ∴sin(α－β)＝＝， cos(α＋β)＝－＝－. ∴sin 2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)] ＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β) ＝＋ ＝－. 1．給值求值問題主要有兩類：一是直接利用公式展開后求值．二是變角求值．即將問題中的角表示成已知角的和或差整體求值．在計算中要注意根據(jù)角的取值范圍確定三角函數(shù)值的符號． 2．常見的變角技巧： 2α＝(α＋β)＋(α－β)， 2β＝(α＋β)－(α－β)， α＝(α＋β)－β，β＝(α＋β)－α等． [再練一題] 2．已知α，β是銳角，且sin α＝，cos(α＋β)＝－，求sin β的值. 【導學號：66470067】 【解】　∵α是銳角，且sin α＝， ∴cos α＝＝＝. 又∵sin(α＋β)＝＝ ＝， ∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β) sin α＝－＝. [探究共研型] 給值求角問題 探究1　給值求角的實質是什么？ 【提示】　給值求角即求該角的某種三角函數(shù)值． 探究2　給值求角的關鍵是什么？ 【提示】　關鍵是變角，把所求角用含已知角的式子表示． 探究3　常用的角的變換技巧有哪些？ 【提示】　互余或互補關系的應用，如－α與＋α互余，＋α與π－α互補等． 　已知α∈，β∈，且cos(α－β)＝，sin β＝－，求α. 【精彩點撥】　先計算sin α后再根據(jù)α∈確定角α大?。? 【自主解答】　∵α∈，β∈， ∴α－β∈(0，π)． ∵cos(α－β)＝， ∴sin(α－β)＝. ∵β∈，sin β＝－，∴cos β＝， ∴sin α＝sin[(α－β)＋β] ＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β ＝＋＝. 又∵α∈，∴α＝. 1．解決這類問題，關鍵有兩點：(1)求出所求角的某種三角函數(shù)值；(2)確定角的范圍．一旦做好這兩個環(huán)節(jié)，結合三角函數(shù)的性質與圖像，便可求解． 2．確定求所求角的哪種三角函數(shù)值，要根據(jù)具體題目，結合所給角的范圍確定. 注意本題解答中如果求出sin(α＋β)＝，可能就會導致α＋β＝或. [再練一題] 3．已知α，β都是銳角，且sin α＝，sin β＝.求α＋β的值． 【解】　因為α，β都是銳角，所以0<α<，0<β<， 0<α＋β<π，又sin α＝，sin β＝， 所以cos α＝＝，cos β＝， 所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝－＝. 又0<α＋β<π， 所以α＋β＝. 1．cos 66cos 36＋cos 24cos 54的值為(　　) A．0　　　　　 B． C. D．－ 【解析】　cos 66cos 36＋cos 24cos 54 ＝cos 66cos 36＋sin 66sin 36 ＝cos(66－36)＝cos 30 ＝. 【答案】　C 2．若a＝(cos 60，sin 60)，b＝(cos 15，sin 15)，則ab＝________. 【解析】　ab＝cos 60 cos 15＋sin 60sin 15 ＝cos(60－15) ＝cos 45 ＝. 【答案】　 3．cos 345的值為________. 【導學號：66470068】 【解析】　cos 345＝cos(360－15)＝cos 15 ＝cos(45－30) ＝cos 45cos 30＋sin 45sin 30 ＝. 【答案】　 4．若cos α＝－，α是第三象限的角，則sin＝________. 【解析】　因為α為第三象限的角，所以sin α＝－＝－， 所以sin＝sin αcos＋cos αsin＝ －＋＝－. 【答案】?。? 5．已知sin＝，求. 【解】　 ＝ ＝(cos α－sin α) ＝2 ＝2sin ＝. 我還有這些不足： (1)______________________________________________________________ (2)______________________________________________________________ 我的課下提升方案： (1)______________________________________________________________ (2)______________________________________________________________