高中數(shù)學 第二章 點、直線、平面之間的位置關(guān)系 2.3.1 直線與平面垂直的判定課時作業(yè) 新人教A版必修2

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2.3.1　直線與平面垂直的判定 【選題明細表】 知識點、方法 題號 線面垂直的定義及判定定理的理解 1、2、3、5 線面垂直的判定及證明 4、8、11 直線與平面所成的角 7、9 綜合問題 6、10、12 基礎(chǔ)鞏固 1.已知直線a、b和平面α,下列推論中錯誤的是(　D　) (A)?a⊥b (B)?b⊥α (C)?a∥α或a?α (D)?a∥b 解析:當a∥α,b∥α時,a與b可能平行,也可能相交或異面,即D推理錯誤.故選D. 2.(2014高考遼寧卷)已知m,n表示兩條不同直線,α表示平面,下列說法正確的是(　B　) (A)若m∥α,n∥α,則m∥n (B)若m⊥α,n?α,則m⊥n (C)若m⊥α,m⊥n,則n∥α (D)若m∥α,m⊥n,則n⊥α 解析:對A,m,n還可能異面、相交,故A不正確.對C,n還可能在平面α內(nèi),故C不正確.對D,n還可能在α內(nèi),故D不正確.對B,由線面垂直的定義可知正確.故選B. 3.下列條件中,能使直線m⊥平面α的是(　D　) (A)m⊥b,m⊥c,b⊥α,c⊥α (B)m⊥b,b∥α (C)m∩b=A,b⊥α (D)m∥b,b⊥α 解析:由線線平行及線面垂直的判定定理知選項D正確. 故選D. 4.如圖,P為△ABC所在平面α外一點,PB⊥α,PC⊥AC,則△ABC的形狀為(　B　) (A)銳角三角形 (B)直角三角形 (C)鈍角三角形 (D)不確定 解析:由PB⊥α,AC?α得PB⊥AC, 又AC⊥PC,PC∩PB=P, 所以AC⊥平面PBC,AC⊥BC. 故選B. 5.(2015唐山高二期末)△ABC所在平面α外一點P到三角形三頂點的距離相等,那么點P在α內(nèi)的射影一定是△ABC的(　A　) (A)外心 (B)內(nèi)心 (C)重心 (D)以上都不對 解析: 由題意PA=PB=PC,PO⊥平面ABC,所以PO⊥OA,PO⊥OB,PO⊥OC,所以由HL定理知Rt△POA≌Rt△POB≌Rt△POC. 于是OA=OB=OC,所以O(shè)為三邊中垂線的交點,O是三角形的外心, 故選A. 6.(2015太原五中高二月考)已知在矩形ABCD中,AB=2,BC=a,PA⊥平面ABCD,若在BC上存在點Q滿足PQ⊥DQ,則a的最小值是(　D　) (A)1 (B) (C)2 (D)4 解析:假設(shè)在BC邊上存在點Q,使得PQ⊥QD, 連接AQ(圖略), 因為PA⊥平面ABCD,所以PA⊥QD, 又由于PQ⊥QD,所以QD⊥平面APQ, 則QD⊥AQ,即∠AQD=90, 易得△ABQ∽△QCD, 設(shè)BQ=x,所以有x(a-x)=8, 即x2-ax+8=0,(*) 所以當Δ=a2-32≥0時,(*)方程有解, 因此,當a≥4時,存在符合條件的點Q, 所以a的最小值是4,故選D. 7.(2015杭州市重點中學高二聯(lián)考)如圖,在三棱柱ABCA′B′C′中,底面ABC是正三角形,AA′⊥底面ABC,且AB=1,AA′=2,則直線BC′與平面ABB′A′所成的角的正弦值為　　　　. 解析:如圖所示, 取A′B′的中點D,連接C′D,BD. 因為底面△A′B′C′是正三角形, 所以C′D⊥A′B′. 因為AA′⊥底面ABC,所以A′A⊥C′D. 又AA′∩A′B′=A′, 所以C′D⊥側(cè)面ABB′A′, 所以∠C′BD是直線BC′與平面ABB′A′所成的角. 因為等邊△A′B′C′的邊長為1,C′D=. 在Rt△BB′C′中,BC′==. 所以直線BC′與平面ABB′A′所成的角的正弦值==. 答案: 8.如圖,已知△ABC中,∠ACB=90,SA⊥平面ABC,AD⊥SC于D,求證:AD⊥平面SBC. 證明:因為∠ACB=90, 所以BC⊥AC. 又SA⊥平面ABC, 所以SA⊥BC. 又AC∩SA=A,所以BC⊥平面SAC. 因為AD?平面SAC,所以BC⊥AD. 又SC⊥AD,SC∩BC=C,所以AD⊥平面SBC. 能力提升 9.(2015唐山玉田縣林南倉中學高二期末)如圖,四面體ABCD的各棱長均相等,AD⊥平面α于點A,點B、C、D均在平面α外,且在平面α的同一側(cè),線段BC的中點為E,則直線AE與平面α所成角的正弦值為(　A　) (A) (B) (C) (D) 解析:如圖,設(shè)四面體ABCD的棱長為a, 則△ABC為邊長為a的正三角形, 又E為BC邊的中點, 所以AE⊥BC,則AE=a. 取AD的中點M,連接BM、CM, 則BM⊥AD,CM⊥AD, 又BM∩CM=M, 所以AD⊥平面BCM, 故平面BCM∥平面α, 所以平面BCM到平面α的距離為, 所以E到平面α的距離為. 則直線AE與平面α所成角的正弦值sin α===,故選A. 10.(2015廣東河源高二期中)如圖,四棱錐SABCD的底面為正方形,SD⊥底面ABCD,給出下列結(jié)論:①AC⊥SB;②AB∥平面SCD;③SA與平面ABD所成的角等于SC與平面ABD所成的角;④AC⊥SO.正確結(jié)論的序號是　　　　. 解析:連接SO,如圖所示, 因為四棱錐SABCD的底面為正方形, 所以AC⊥BD. 因為SD⊥底面ABCD, 所以SD⊥AC, 因為SD∩BD=D,所以AC⊥平面SBD, 因為SB?平面SBD,所以AC⊥SB,則①正確; 因為AB∥CD,AB?平面SCD,CD?平面SCD, 所以AB∥平面SCD,則②正確; 因為SD⊥底面ABCD, 所以∠SAD和∠SCD分別是SA與平面ABD所成的角、SC與平面ABD所成的角, 因為AD=CD,SD=SD, 所以∠SAD=∠SCD,則③正確; 因為AC⊥平面SBD,SO?平面SBD, 所以AC⊥SO,則④正確. 答案:①②③④ 11.(2015北京市房山區(qū)高二期中)如圖,已知△ABC是正三角形,EA、CD都垂直于平面ABC,且EA=AB=2a,DC=a,F是BE的中點,求證: (1)FD∥平面ABC; (2)AF⊥平面EDB. 證明:(1)因為F是BE的中點,取BA的中點M, 連接FM,MC, 則FM∥EA,FM=EA=a, 因為EA、CD都垂直于平面ABC, 所以CD∥EA,所以CD∥FM, 又CD=a=FM, 所以四邊形FMCD是平行四邊形, 所以FD∥MC, FD?平面ABC,MC?平面ABC, 所以FD∥平面ABC. (2)因為M是AB的中點,△ABC是正三角形, 所以CM⊥AB. 又EA垂直于平面ABC,所以CM⊥AE, 又AE∩AB=A,所以CM⊥平面EAB, 因為AF?平面EAB, 所以CM⊥AF,又CM∥FD,從而FD⊥AF, 因F是BE的中點,EA=AB, 所以AF⊥EB. EB,FD是平面EDB內(nèi)兩條相交直線, 所以AF⊥平面EDB. 探究創(chuàng)新 12.如圖(1),在Rt△ABC中,∠C=90,D,E分別為AC,AB的中點,點F為線段CD上的一點.將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1F⊥CD,如圖(2). (1)求證:DE∥平面A1CB; (2)求證:A1F⊥BE; (3)線段A1B上是否存在點Q,使A1C⊥平面DEQ?說明理由. (1)證明:因為D,E分別為AC,AB的中點, 所以DE∥BC. 又因為DE?平面A1CB, 所以DE∥平面A1CB. (2)證明:由已知得AC⊥BC且DE∥BC, 所以DE⊥AC. 所以DE⊥A1D,DE⊥CD. 所以DE⊥平面A1DC. 而A1F?平面A1DC, 所以DE⊥A1F. 又因為A1F⊥CD, 所以A1F⊥平面BCDE. 所以A1F⊥BE. (3)解:線段A1B上存在點Q,使A1C⊥平面DEQ. 理由如下: 如圖,分別取A1C,A1B的中點P,Q, 則PQ∥BC. 又因為DE∥BC, 所以DE∥PQ. 所以平面DEQ即為平面DEP. 由(2)知,DE⊥平面A1DC, 所以DE⊥A1C. 又因為P是等腰三角形DA1C底邊A1C的中點, 所以A1C⊥DP. 所以A1C⊥平面DEP. 從而A1C⊥平面DEQ. 故線段A1B上存在點Q,使得A1C⊥平面DEQ.