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【課堂新坐標(biāo)】2016-2017學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明 學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)6 分析法及其應(yīng)用 新人教A版選修1-2
(建議用時(shí)：45分鐘)
[學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)]
一、選擇題
1．若a，b∈R，則>成立的一個(gè)充分不必要條件是( )
A．a(chǎn)b>0 B．b>a
C．a(chǎn)
，但>不能推出a的一個(gè)充分不必要條件．
【答案】 C
2．求證：－1>－.
證明：要證－1>－，
只需證＋>＋1，
即證7＋2＋5>11＋2＋1，即證>，
∵35>11，
∴原不等式成立．
以上證明應(yīng)用了( )
A．分析法
B．綜合法
C．分析法與綜合法配合使用
D．間接證法
【解析】 該證明方法符合分析法的定義，故選A.
【答案】 A
3．(2016汕頭高二檢測(cè))要證：a2＋b2－1－a2b2≤0，只要證明( )
A．2ab－1－a2b2≤0
B．a(chǎn)2＋b2－1－≤0
C.－1－a2b2≤0
D．(a2－1)(b2－1)≥0
【解析】 要證a2＋b2－1－a2b2≤0，只要證明(a2－1)＋b2(1－a2)≤0，只要證明(a2－1)(1－b2)≤0，即證(a2－1)(b2－1)≥0.
【答案】 D
4．在不等邊三角形中，a為最大邊，要想得到∠A為鈍角的結(jié)論，三邊a，b，c應(yīng)滿(mǎn)足什么條件( )
A．a(chǎn)2b2＋c2 D．a(chǎn)2≤b2＋c2
【解析】 由余弦定理得
cos A＝<0，
∴b2＋c2－a2<0，
即b2＋c2b>c，且a＋b＋c＝0，求證：0 B．a(chǎn)－c>0
C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0
【解析】 由題意知0
?a2－ab＋a2－b2>0?a(a－b)＋(a＋b)(a－b)>0
?a(a－b)－c(a－b)>0?(a－b)(a－c)>0，故選C.
【答案】 C
二、填空題
6．(2016煙臺(tái)高二檢測(cè))設(shè)A＝＋，B＝(a>0，b>0)，則A，B的大小關(guān)系為_(kāi)_______．
【解析】 ∵A－B＝－＝＝≥0，∴A≥B.
【答案】 A≥B
7．(2016西安高二檢測(cè))如果a>b，則實(shí)數(shù)a，b應(yīng)滿(mǎn)足的條件是________.
【導(dǎo)學(xué)號(hào)：19220024】
【解析】 要使a>b成立，只需(a)2>(b)2，只需a3>b3>0，即a，b應(yīng)滿(mǎn)足a>b>0.
【答案】 a>b>0
8．如圖225，四棱柱ABCDA1B1C1D1的側(cè)棱垂直于底面，滿(mǎn)足________時(shí)，BD⊥A1C(寫(xiě)上一個(gè)條件即可)．
圖225
【解析】 要證BD⊥A1C，只需證BD⊥平面AA1C.因?yàn)锳A1⊥BD，只要再添加條件AC⊥BD，即可證明BD⊥平面AA1C，從而有BD⊥A1C.
【答案】 AC⊥BD(或底面為菱形)
三、解答題
9．設(shè)a，b>0，且a≠b，求證：a3＋b3>a2b＋ab2.
【證明】 法一：分析法
要證a3＋b3>a2b＋ab2成立．
只需證(a＋b)(a2－ab＋b2)>ab(a＋b)成立，
又因a＋b>0，
只需證a2－ab＋b2>ab成立，
只需證a2－2ab＋b2>0成立，
即需證(a－b)2>0成立．
而依題設(shè)a≠b，則(a－b)2>0顯然成立，
由此命題得證．
法二：綜合法
a≠b?a－b≠0?(a－b)2>0?a2－2ab＋b2>0?a2－ab＋b2>ab.
注意到a，b>0，a＋b>0，由上式即得
(a＋b)(a2－ab＋b2)>ab(a＋b)．
∴a3＋b3>a2b＋ab2.
10．(2016深圳高二檢測(cè))已知三角形的三邊長(zhǎng)為a，b，c，其面積為S，求證：a2＋b2＋c2≥4S.
【證明】 要證a2＋b2＋c2≥4S，
只要證a2＋b2＋(a2＋b2－2abcos C)≥2absin C，
即證a2＋b2≥2absin(C＋30)，
因?yàn)?absin(C＋30)≤2ab，
只需證a2＋b2≥2ab，
顯然上式成立．所以a2＋b2＋c2≥4S.
[能力提升]
1．已知a，b，c，d為正實(shí)數(shù)，且<，則( )
A.<<
B.<<
C.<<
D．以上均可能
【解析】 先取特殊值檢驗(yàn)，∵<，
可取a＝1，b＝3，c＝1，d＝2，
則＝，滿(mǎn)足<<.
∴B，C不正確．
要證<，∵a，b，c，d為正實(shí)數(shù)，
∴只需證a(b＋d)(a>0，b>0)
C.－<－(a≥3)
D.＋>2
【解析】 對(duì)于A，∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac，∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca；
對(duì)于B，∵(＋)2＝a＋b＋2，()2＝a＋b，∴＋>；
對(duì)于C，要證－<－(a≥3)成立，只需證明＋<＋，兩邊平方得2a－3＋2<2a－3＋2，即<，兩邊平方得a2－3a1＋成立的正整數(shù)p的最大值是________.
【導(dǎo)學(xué)號(hào)：19220025】
【解析】 由＋2>1＋，得<＋2－1，
即p<(＋2－1)2，
所以p<12＋4－4－2，
由于12＋4－4－2≈12.7，因此使不等式成立的正整數(shù)p的最大值是12.
【答案】 12
4．(2016唐山高二檢測(cè))已知a，b，c是不全相等的正數(shù)，且0abc.
∵a，b，c是不全相等的正數(shù)，
∴≥>0，≥>0，≥>0，
∴>＝abc.
即>abc成立．
∴l(xiāng)ogx＋logx＋logx
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高中數(shù)學(xué)
第二章
推理與證明
學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)6
分析法及其應(yīng)用
新人教A版選修1-2
第二
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