高中數(shù)學(xué) 第2講 證明不等式的基本方法 1 比較法、綜合法與分析法課后練習(xí) 新人教A版選修4-5
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2016-2017學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第2講 證明不等式的基本方法 1 比較法、綜合法與分析法課后練習(xí) 新人教A版選修4-5 一、選擇題 1.設(shè)02,∴a-2>0, P=a+=a-2++2≥2+2=4. 又Q=x2-2≤-2=4.∴P≥Q. 答案: A 4.已知a,b∈R,則“a+b>2,ab>1”是“a>1,b>1”的( ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 解析: ∵a>1,b>1?a+b>2,ab>1 a+b>2,ab>1?/ a>1,b>1 舉例說明a=3,b=. 答案: B 二、填空題 5.設(shè)a>b>0,x=-,y=-,則x,y的大小關(guān)系是x________y. 解析: ∵a>b>0, ∴x-y=--(-) =- =<0. 答案: < 6.在△ABC中,a,b,c分別是∠A,∠B,∠C的對邊,若∠C=90,則的取值范圍是________. 解析: 由題意知c2=a2+b2≥2ab, 即≤. ∴==≤. (當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號). 又三角形中a+b>c.∴1<≤. 答案: (1,] 三、解答題 7.設(shè)a≥b>0,求證:3a3+2b3≥3a2b+2ab2. 證明: 3a3+2b3-(3a2b+2ab2)=3a2(a-b)+2b2(b-a)=(3a2-2b2)(a-b).因為a≥b>0,所以a-b≥0,3a2-2b2>0, 從而(3a2-2b2)(a-b)≥0,即3a3+2b3≥3a2b+2ab2. 8.已知a,b都是正實數(shù),且a+b=2.求證:+≥1. 解答:證明: 因為a,b都是正實數(shù),所以原不等式等價于 a2(b+1)+b2(a+1)≥(a+1)(b+1), 即a2b+a2+ab2+b2≥ab+a+b+1. 等價于a2+b2+ab(a+b)≥ab+a+b+1, 將a+b=2代入,只需要證明a2+b2+ab=(a+b)2=4≥ab+3,即ab≤1. 而由已知a+b≥2,可得ab≤1成立,所以原不等式成立. 另證:因為a,b都是正實數(shù),所以+≥a,+≥b. 兩式相加得+++≥a+b, 因為a+2=2,所以-≥1. 9.設(shè)a,b,c是不全相等的正實數(shù). 求證:lg+lg+lg>lg a+lg b+lg c. 證明: 方法一:要證:lg+lg+lg>lg a+lg b+lg c 只需證:lg>lg(abc) 只需證:>abc ∵≥>0,≥>0,≥>0, ∴≥abc>0成立. ∵a,b,c為不全等的正數(shù),∴上式中等號不成立. ∴原不等式成立. 方法二:∵a,b,c∈{正實數(shù)}, ∴≥>0,≥>0,≥>0, 又∵a,b,c為不全相等的實數(shù), ∴>abc, ∴l(xiāng)g>lg(abc), 即lg+lg+lg>lg a+lg b+lg c.
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