高中數(shù)學(xué) 模塊綜合測(cè)試 新人教A版選修4-4
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模塊綜合測(cè)試 一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分,每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1.下列有關(guān)坐標(biāo)系的說法,錯(cuò)誤的是( ) A.在直角坐標(biāo)系中,通過伸縮變換圓可以變成橢圓 B.在直角坐標(biāo)系中,平移變換不會(huì)改變圖形的形狀和大小 C.任何一個(gè)參數(shù)方程都可以轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程和極坐標(biāo)方程 D.同一條曲線可以有不同的參數(shù)方程 解析: 直角坐標(biāo)系是最基本的坐標(biāo)系,在直角坐標(biāo)系中,伸縮變形可以改變圖形的形狀,但是必須是相近的圖形可以進(jìn)行伸縮變化得到,例如圓可以變成橢圓;而平移變換不改變圖形和大小而只改變圖形的位置;對(duì)于參數(shù)方程,有些比較復(fù)雜的是不能化成普通方程的,同一條曲線根據(jù)參數(shù)選取的不同可以有不同的參數(shù)方程. 答案: C 2.把函數(shù)y=sin2x的圖象經(jīng)過________變化,可以得到函數(shù)y=sinx的圖象.( ) A.橫坐標(biāo)縮短為原來的倍,縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍 B.橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍,縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍 C.橫坐標(biāo)縮短為原來的倍,縱坐標(biāo)縮短為原來的倍 D.橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍,縱坐標(biāo)縮短為原來的 解析: 本題主要考查直角坐標(biāo)系的伸縮變換,根據(jù)變換的方法和步驟可知,把函數(shù)y=sin2x的圖象的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍可得y=sinx的圖象,再把縱坐標(biāo)縮短為原來的,得到y(tǒng)=sinx的圖象. 答案: D 3.極坐標(biāo)方程ρ=2sin的圖形是( ) 解析: ∵ρ=2sin=2sinθcos+2cosθsin=(sinθ+cosθ), ∴ρ2=ρsinθ+ρcosθ, ∴x2+y2=x+y, ∴2+2=1, ∴圓心. 結(jié)合題中四個(gè)圖形,可知選C項(xiàng). 答案: C 4.將參數(shù)方程(θ為參數(shù))化為普通方程為( ) A.y=x-2 B.y=x+2 C.y=x-2(2≤x≤3) D.y=x+2(0≤y≤1) 解析: 由知x=2+y(2≤x≤3) 所以y=x-2 (2≤x≤3). 答案: C 5.在極坐標(biāo)系中,曲線ρ=4sin(ρ∈R)關(guān)于( ) A.直線θ=成軸對(duì)稱 B.直線θ=成軸對(duì)稱 C.點(diǎn)成中心對(duì)稱 D.極點(diǎn)成中心對(duì)稱 解析: 將原方程變形為ρ=4cos, 即ρ=4cos,該方程表示以為圓心,以2為半徑的圓,所以曲線關(guān)于直線θ=成軸對(duì)稱. 答案: B 6.經(jīng)過點(diǎn)M(1,5)且傾斜角為的直線,以定點(diǎn)M到動(dòng)點(diǎn)P的位移t為參數(shù)的參數(shù)方程是( ) A. B. C. D. 解析: 根據(jù)直線參數(shù)方程的定義,易得, 即. 答案: D 7.x2+y2=1經(jīng)過伸縮變換,后所得圖形的焦距( ) A.4 B.2 C.2 D.6 解析: 變換后方程變?yōu)椋海?, 故c2=a2-b2=9-4=5,c=,所以焦距為2. 答案: C 8.已知直線(t為參數(shù))與圓x2+y2=8相交于B、C兩點(diǎn),則|BC|的值為( ) A.2 B. C.7 D. 解析: ?(t′為參數(shù)). 代入x2+y2=8,得t′2-3t′-3=0, ∴|BC|=|t′1-t′2|= ==,故選B. 答案: B 9.已知P點(diǎn)的柱坐標(biāo)是,點(diǎn)Q的球面坐標(biāo)為,根據(jù)空間坐標(biāo)系中兩點(diǎn)A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)之間的距離公式|AB|=,可知P、Q之間的距離為( ) A. B. C. D. 解析: 首先根據(jù)柱坐標(biāo)和空間直角坐標(biāo)之間的關(guān)系,把P點(diǎn)的柱坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為空間直角坐標(biāo)(,,1),再根據(jù)球面坐標(biāo)與空間直角坐標(biāo)之間的關(guān)系把Q點(diǎn)的球坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為空間直角坐標(biāo),代入兩點(diǎn)之間的距離公式即可得到距離為. 答案: B 10.如果直線ρ=與直線l關(guān)于極軸對(duì)稱,則直線l的極坐標(biāo)方程是( ) A.ρ= B.ρ= C.ρ= D.ρ= 解析: 由ρ=知ρcosθ+2ρsinθ=1,∴x+2y=1. 答案: A 11.圓心在原點(diǎn),半徑為2的圓的漸開線的參數(shù)方程是( ) A.(φ為參數(shù)) B.(θ為參數(shù)) C.(φ為參數(shù)) D.(θ為參數(shù)) 解析: 圓心在原點(diǎn),半徑為2的圓的漸開線的參數(shù)方程為 答案: A 12.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,Ω是一個(gè)與x軸的正半軸、y軸的正半軸分別相切于點(diǎn)C、D的定圓所圍成的區(qū)域(含邊界),A、B、C、D是該圓的四等分點(diǎn).若點(diǎn)P(x,y)、點(diǎn)P′(x′,y′)滿足x≤x′,且y≥y′,則稱P優(yōu)于P′.如果Ω中的點(diǎn)Q滿足:不存在Ω中的其他點(diǎn)優(yōu)于Q,那么所有這樣的點(diǎn)Q組成的集合是劣弧( ) A. B. C. D. 解析: ∵x≤x′且y≥y′, ∴點(diǎn)P(x,y)在點(diǎn)P′(x′,y′)的左上方. ∵Ω中不存在優(yōu)于Q的點(diǎn), ∴點(diǎn)Q組成的集合是劣弧,故選D. 答案: D 二、填空題(本大題共4小題,每小題4分,共16分.把正確答案填在題中橫線上) 13.對(duì)于任意實(shí)數(shù),直線y=x+b與橢圓(0≤θ<2π)恒有公共點(diǎn),則b的取值范圍是________. 解析: 橢圓可化為+=1 把y=x+b代入得5x2+2bx+b2-16=0 Δ=4b2-20(b2-16)≥0 解之得:-2≤b≤2. 答案: [-2,2] 14.直線(t為參數(shù))與圓(φ為參數(shù))相切,則此直線的傾斜角α=________. 解析: 直線 :y=xtanα,圓:(x-4)2+y2=4, 如圖,sinα==, ∴α=或π. 答案: 或π. 15.已知直線l的參數(shù)方程(t為參數(shù)),若以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=2sin.則圓的直角坐標(biāo)方程為__________,直線l和圓C的位置關(guān)系為__________(填相交、相切、相離). 解析: (1)消去參數(shù)t,得直線l的普通方程為y=2x+1.ρ=2sin即ρ=2(sinθ+cosθ),兩邊同乘以ρ得ρ2=2(ρsinθ+ρcosθ),消去參數(shù)θ,得⊙C的直角坐標(biāo)方程為(x-1)2+(y-1)2=2. (2)圓心C到直線l的距離d==<, 所以直線l和⊙C相交. 答案: (x-1)2+(y-1)2=2;相交 16.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程為(參數(shù)t∈R),圓C的參數(shù)方程為(參數(shù)θ∈[0,2π]),則圓C的圓心坐標(biāo)為______,圓心到直線l的距離為______. 解析: 直線和圓的方程分別是x+y-6=0,x2+(y-2)2=22,所以圓心為(0,2),其到直線的距離為d==2. 答案: (0,2) 2 三、解答題(本大題共6小題,共74分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟) 17.(12分)(1)化ρ=cosθ-2sinθ.為直角坐標(biāo)形式并說明曲線的形狀; (2)化曲線F的直角坐標(biāo)方程:x2+y2-5-5x=0為極坐標(biāo)方程. 解析: (1)ρ=cosθ-2sinθ兩邊同乘以ρ得 ρ2=ρcosθ-2ρsinθ ∴x2+y2=x-2y 即x2+y2-x+2y=0 即2+(y+1)2=2 表示的是以為圓心,半徑為的圓. (2)由x=ρcosθ,y=ρsinθ得 x2+y2-5-5x=0的極坐標(biāo)方程為: ρ2-5ρ-5ρcosθ=0. 18.(12分)在極坐標(biāo)系中,已知圓C的圓心C,半徑為1.Q點(diǎn)在圓周上運(yùn)動(dòng),O為極點(diǎn). (1)求圓C的極坐標(biāo)方程; (2)若P在直線OQ上運(yùn)動(dòng),且滿足=,求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程. 解析: (1)設(shè)M(ρ,θ)為圓C上任意一點(diǎn), 如圖,在△OCM中,|OC|=3,|OM|=ρ,|CM|=1,∠COM=, 根據(jù)余弦定理, 得1=ρ2+9-2ρ3 cos,化簡(jiǎn)整理, 得ρ2-6ρcos+8=0為圓C的軌跡方程. (2)設(shè)Q(ρ1,θ1), 則有ρ-6ρ1cos+8=0① 設(shè)P(ρ,θ),則OQ∶QP=ρ1∶(ρ-ρ1) =2∶3?ρ1=ρ, 又θ1=θ,即 代入①得ρ2-6ρcos(θ-)+8=0, 整理得ρ2-15ρcos+50=0為P點(diǎn)的軌跡方程. 19.(12分)如圖所示,已知點(diǎn)M是橢圓+=1(a>b>0)上的第一象限的點(diǎn),A(a,0)和 B(0,b)是橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn),O為原來,求四邊形MAOB的面積的最大值. 解析: 方法一:M是橢圓+=1(a>b>0)上在第一象限的點(diǎn), 由橢圓+=1的參數(shù)方程為(φ為參數(shù)), 故可設(shè)M(acosφ,bsinφ), 其中0<φ<,因此, S四邊形MAOB=S△MAO+S△MOB =OAyM+OBxM =ab(sinφ+cosφ) =absin. 所以,當(dāng)φ=時(shí),四邊形MAOB面積的最大值為ab. 方法二:設(shè)M(xM,yM),xM>0,yM>0,則 yM=b,S四邊形MAOB=S△MAO+S△MOB =OAyM+OBxM =ab+bxM =b(+xM) =b =b ≤b =ab. 20.(12分)如圖,自雙曲線x2-y2=1上一動(dòng)點(diǎn)Q引直線l:x+y=2的垂線,垂足為N,求線段QN中點(diǎn)P的軌跡方程. 解析: 設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(secφ,tanφ),(φ為參數(shù)). ∵QN⊥l, ∴可設(shè)直線QN的方程為x-y=λ① 將點(diǎn)Q的坐標(biāo)代入①得:λ=secφ-tanφ 所以線段QN的方程為x-y=secφ-tnaφ② 又直線l的方程為x+y=2.③ 由②③解得點(diǎn)N的橫坐標(biāo)xN= 設(shè)線段QN中點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y), 則x==,④ 4④-②得 3x+y-2=2secφ.⑤ 4④-3②得 x+3y-2=2tanφ.⑥ ⑤2-⑥2化簡(jiǎn)即得所求的軌跡方程為 2x2-2y2-2x+2y-1=0. 21.(12分)已知直線l:x-y+9=0和橢圓C:(θ為參數(shù)). (1)求橢圓C的兩焦點(diǎn)F1,F(xiàn)2的坐標(biāo); (2)求以F1,F(xiàn)2為焦點(diǎn)且與直線l有公共點(diǎn)M的橢圓中長(zhǎng)軸最短的橢圓的方程. 解析: (1)由橢圓的參數(shù)方程消去參數(shù)θ得橢圓的普通方程為+=1, 所以a2=12,b2=3,c2=a2-b2=9. 所以c=3.故F1(-3,0),F(xiàn)2(3,0). (2)因?yàn)?a=|MF1|+|MF2|, 所以只需在直線l:x-y+9=0上找到點(diǎn)M使得|MF1|+|MF2|最小即可. 點(diǎn)F1(-3,0)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)是F1′(-9,6), |MF1|+|MF2|=|MF1′|+|MF2|=|F1′F2| ==6, 故a=3. 又c=3,b2=a2-c2=36. 此時(shí)橢圓方程為+=1. 22.(14分)已知橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在y軸上且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,短軸長(zhǎng)為2,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).當(dāng)m為何值時(shí),直線l被橢圓截得的弦長(zhǎng)為? 解析: 橢圓方程為+x2=1,化直線參數(shù)方程為(t′為參數(shù)). 代入橢圓方程得 (m+t′)2+42=4?8t′2+4mt′+5m2-20=0 當(dāng)Δ=80m2-160m2+640=640-80m2>0, 即-2- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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