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1、專題能力訓(xùn)練12 空間幾何體
專題能力訓(xùn)練第30頁 ?
一、能力突破訓(xùn)練
1.球的體積為43π,平面α截球O的球面所得圓的半徑為1,則球心O到平面α的距離為( )
A.1 B.2 C.3 D.6
答案:B
解析:依題意,設(shè)該球的半徑為R,則有4π3R3=43π,解得R=3,因此球心O到平面α的距離d=R2-12=2.
2.已知圓柱的高為1,它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上,則該圓柱的體積為( )
A.π B.3π4 C.π2 D.π4
答案:B
解析:設(shè)圓柱的底面半徑為r,球的半徑為R,且R=1,
由圓柱兩個底面的圓周在同一個球的球面上可知,
r,R
2、及圓柱的高的一半構(gòu)成直角三角形.
∴r=12-122=32.
∴圓柱的體積為V=πr2h=34π×1=3π4.
故選B.
3.在棱長為3的正方體ABCD-A1B1C1D1中,P在線段BD1上,且BPPD1=12,M為線段B1C1上的動點(diǎn),則三棱錐M-PBC的體積為( )
A.1 B.32
C.92 D.與M點(diǎn)的位置有關(guān)
答案:B
解析:∵BPPD1=12,∴點(diǎn)P到平面BC1的距離是D1到平面BC1距離的13,即為D1C13=1.
∵M(jìn)為線段B1C1上的點(diǎn),∴S△MBC=12×3×3=92,
∴VM-PBC=VP-MBC=13×92×1=32.
4.已知平面α截球O的球面
3、得圓M,過圓心Μ的平面β與α的夾角為π6,且平面β截球O的球面得圓N.已知球Ο的半徑為5,圓M的面積為9π,則圓N的半徑為( )
A.3 B.13
C.4 D.21
答案:B
解析:如圖,∵OA=5,AM=3,∴OM=4.
∵∠NMO=π3,
∴ON=OM·sinπ3=23.
又OB=5,
∴NB=OB2-ON2=13,故選B.
5.已知三棱柱ABC-A'B'C'的側(cè)棱垂直于底面,各頂點(diǎn)都在同一球面上,若該棱柱的體積為3,AB=2,AC=1,∠BAC=60°,則此球的表面積是( )
A.2π B.4π
C.8π D.10π
答案:C
解析:根據(jù)余弦定理可知,B
4、C=3,則∠ACB=90°.如圖,點(diǎn)E,F分別是斜邊AB,A'B'的中點(diǎn),點(diǎn)O為EF的中點(diǎn),則點(diǎn)O為三棱柱外接球的球心,連接OA.
設(shè)三棱柱的高為h,V=12×1×3×h=3,解得h=2,R2=OA2=12AB2+12h2,
代入可得R2=1+1=2,所以此球的表面積為S=4πR2=8π.
6.已知三棱錐A-BCD內(nèi)接于半徑為5的球O中,AB=CD=4,則三棱錐A-BCD的體積的最大值為( )
A.43 B.83 C.163 D.323
答案:C
解析:如圖,過CD作平面ECD,使AB⊥平面ECD,交AB于點(diǎn)E,設(shè)點(diǎn)E到CD的距離為EF,當(dāng)球心在EF上時,EF最大,此時E,F
5、分別為AB,CD的中點(diǎn),且球心O為EF的中點(diǎn),所以EF=2,所以Vmax=13×12×4×2×4=163,故選C.
7.在四面體ABCD中,AB=CD=6,AC=BD=4,AD=BC=5,則四面體ABCD的外接球的表面積為 .?
答案:77π2
解析:構(gòu)造一個長方體,使得它的三條面對角線長分別為4,5,6,設(shè)長方體的三條邊長分別為x,y,z,則x2+y2+z2=772,而長方體的外接球就是四面體的外接球,所以S=4πR2=77π2.
8.如圖所示,圖中陰影部分繞AB旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的體積為 .?
答案:140π3
解析:由題知,旋轉(zhuǎn)一周后形成的幾何體是
6、一個圓臺去掉一個半球,其中圓臺的體積為V=13×(π×22+π×22×π×52+π×52)×4=52π,半球的體積V=12×43×π×23=16π3,則所求體積為52π-16π3=140π3.
9.已知圓錐的頂點(diǎn)為S,母線SA,SB所成角的余弦值為78,SA與圓錐底面所成角為45°.若△SAB的面積為515,則該圓錐的側(cè)面積為 .?
答案:402π
解析:設(shè)O為底面圓圓心,
∵cos∠ASB=78,
∴sin∠ASB=1-782=158.
∴S△ASB=12×|AS|·|BS|·158=515.
∴SA2=80.∴SA=45.
∵SA與圓錐底面所成的角為45°,∠S
7、OA=90°,
∴SO=OA=22SA=210.
∴S圓錐側(cè)=πrl=45×210×π=402π.
10.已知正四棱錐P-ABCD中,PA=23,則當(dāng)該正四棱錐的體積最大時,它的高h(yuǎn)等于 .?
答案:2
解析:設(shè)正四棱錐P-ABCD的底面邊長為a,
∵PA=23,∴2a22+h2=12,即a22+h2=12,
故a2=24-2h2,∴正四棱錐P-ABCD的體積V=13a2h=8h-23h3(h>0),∴V'=8-2h2.
令V'>0,得02,∴當(dāng)h=2時,正四棱錐P-ABCD的體積取得最大值.
11.如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1
8、中,AB=16,BC=10,AA1=8,點(diǎn)E,F分別在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4,過點(diǎn)E,F的平面α與此長方體的面相交,交線圍成一個正方形.
(1)在圖中畫出這個正方形(不必說明畫法和理由);
(2)求平面α把該長方體分成的兩部分體積的比值.
解:(1)交線圍成的正方形EHGF如圖所示.
(2)作EM⊥AB,垂足為M,則AM=A1E=4,EB1=12,EM=AA1=8.
因?yàn)镋HGF為正方形,
所以EH=EF=BC=10.
于是MH=EH2-EM2=6,AH=10,HB=6.
因?yàn)殚L方體被平面α分成兩個高為10的直棱柱,
所以其體積的比值為9779也正確
9、.
12.如圖所示,等腰三角形ABC的底邊AB=66,高CD=3,點(diǎn)E是線段BD上異于點(diǎn)B,D的動點(diǎn),點(diǎn)F在BC邊上,且EF⊥AB,現(xiàn)沿EF將△BEF折起到△PEF的位置,使PE⊥AE,記BE=x,V(x)表示四棱錐P-ACFE的體積,求V(x)的最大值.
解:因?yàn)镻E⊥EF,PE⊥AE,EF∩AE=E,
所以PE⊥平面ABC.
因?yàn)镃D⊥AB,FE⊥AB,
所以EF∥CD,
所以EFCD=BEBD,
即EF3=x36,
所以EF=x6,
所以S△ABC=12×66×3=96,
S△BEF=12×x×x6=612x2,
所以V(x)=13×96-612x2x=63x9
10、-112x2(00,V(x)單調(diào)遞增;
當(dāng)6
11、三角形ABC的中心為O.D,E,F為圓O上的點(diǎn),△DBC,△ECA,△FAB分別是以BC,CA,AB為底邊的等腰三角形,沿虛線剪開后,分別以BC,CA,AB為折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D,E,F重合,得到三棱錐.當(dāng)△ABC的邊長變化時,所得三棱錐體積(單位:cm3)的最大值為 .?
答案:415
解析:如圖所示,連接OD,交BC于點(diǎn)G.由題意知OD⊥BC,OG=36BC.
設(shè)OG=x,則BC=23x,DG=5-x,
三棱錐的高h(yuǎn)=DG2-OG2=25-10x+x2-x2=25-10x.
因?yàn)镾△ABC=12×23x×3x=33x2,
所以三棱錐的體
12、積V=13S△ABC·h=3x2·25-10x=3·25x4-10x5.
令f(x)=25x4-10x5,x∈0,52,則f'(x)=100x3-50x4.令f'(x)=0,可得x=2,
則f(x)在(0,2)單調(diào)遞增,在2,52單調(diào)遞減,
所以f(x)max=f(2)=80.
所以V≤3×80=415,所以三棱錐體積的最大值為415.
15.若三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上,SA⊥平面ABC,SA=215,AB=1,AC=2,∠BAC=60°,則球O的表面積為 .?
答案:64π
解析:如圖,三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上,因?yàn)锳B=1,AC=2
13、,∠BAC=60°,
所以BC=3,
所以∠ABC=90°.
所以△ABC截球O所得的圓O'的半徑r=1.
設(shè)OO'=x,球O的半徑為R,則R2=x2+12,R2=(SA-x)2+12,
所以x2+1=(215-x)2+1,
解得x=15,R2=(15)2+12,R=4.
所以球O的表面積為4πR2=64π.
16.如圖①,在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,沿對角線AC把矩形折成二面角D-AC-B(如圖②),并且點(diǎn)D在平面ABC內(nèi)的射影落在AB上.
(1)證明:AD⊥平面DBC;
(2)若在四面體D-ABC內(nèi)有一球,問:當(dāng)球的體積最大時,球的半徑是多少?
(1
14、)證明設(shè)D在平面ABC內(nèi)的射影為H,則H在AB上,連接DH,如圖,
則DH⊥平面ABC,得DH⊥BC.
又AB⊥BC,AB∩DH=H,
所以BC⊥平面ADB,故AD⊥BC.
又AD⊥DC,DC∩BC=C,
所以AD⊥平面DBC.
(2)解當(dāng)球的體積最大時,易知球與三棱錐D-ABC的各面相切,設(shè)球的半徑為R,球心為O,
則VD-ABC=13R(S△ABC+S△DBC+S△DAC+S△DAB).
由已知可得S△ABC=S△ADC=6.
過點(diǎn)D作DG⊥AC于點(diǎn)G,連接GH,如圖,可知HG⊥AC.
易得DG=125,HG=2720,DH=DG2-HG2=374,S△DAB=12×4×374=372.
在△DAB和△BCD中,
因?yàn)锳D=BC,AB=DC,DB=DB,
所以△DAB≌△BCD,
故S△DBC=372,VD-ABC=13×6×374=372.
則R36+372+6+372=372,
于是(4+7)R=372,
所以R=372×(4+7)=47-76.
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