（浙江專用）2020版高考數學大一輪復習 第十章 計數原理與古典概率 第8講 離散型隨機變量的均值與方差練習（含解析）

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1、第8講 離散型隨機變量的均值與方差 [基礎達標] 1．若隨機變量X的分布列為，其中C為常數，則下列結論正確的是(　　) X C P 1 A．E(X)＝D(X)＝0 B．E(X)＝C，D(X)＝0 C．E(X)＝0，D(X)＝C D．E(X)＝D(X)＝C 解析：選B.E(X)＝C×1＝C，D(X)＝(E(X)－C)2×1＝0，故選B. 2．(2019·稽陽市聯(lián)誼學校高三聯(lián)考)隨機變量ξ的分布列如下，且滿足E(ξ)＝2，則E(aξ＋b)的值為(　　) ξ 1 2 3 P a b c A.0 B．1 C．2 D．無法確定，與a，b有關 解析：

2、選B.因為E(ξ)＝2，則a＋2b＋3c＝2，又a＋b＋c＝1，聯(lián)立兩式可得a＝c，2a＋b＝1，E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b＝2a＋b＝1. 3．(2018·高考浙江卷)設0

3、)等于(　　) A．5 B．8 C．10 D．16 解析：選B.因為E(X)＝(2＋4＋6＋8＋10)＝6， 所以D(X)＝[(－4)2＋(－2)2＋02＋22＋42]＝8. 5．設擲1枚骰子的點數為ξ，則(　　) A．E(ξ)＝3.5，D(ξ)＝3.52 B．E(ξ)＝3.5，D(ξ)＝ C．E(ξ)＝3.5，D(ξ)＝3.5 D．E(ξ)＝3.5，D(ξ)＝ 解析：選B.隨機變量ξ的分布列為 ξ 1 2 3 4 5 6 P 從而E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝3.5， D(ξ)＝(1－3.5)2×＋(2－3.5)

4、2×＋(3－3.5)2×＋(4－3.5)2×＋(5－3.5)2×＋(6－3.5)2×＝. 6．如圖，將一個各面都凃了油漆的正方體，切割為125個同樣大小的小正方體，經過攪拌后，從中隨機取一個小正方體，記它的涂漆面數為X，則X的均值E(X)＝(　　) A． B． C． D． 解析：選B.依題意得X的取值可能為0，1，2，3，且P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝.故E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 7．(2019·嘉興市一中高考適應性考試)隨機變量X的分布列如下表，且E(X)＝2，則D(2X－3)＝(　　) X 0 2 a P

5、 p A.2 B．3 C．4 D．5 解析：選C.由題意可得：＋p＋＝1，解得p＝，因為E(X)＝2，所以0×＋2×＋a×＝2，解得a＝3.D(X)＝(0－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×＝1.D(2X－3)＝4D(X)＝4.故選C. 8．(2019·嘉興質檢)簽盒中有編號為1，2，3，4，5，6的六支簽，從中任意取3支，設X為這3支簽的號碼之中最大的一個，則X的數學期望為(　　) A．5 B．5.25 C．5.8 D．4.6 解析：選B.由題意可知，X可以取3，4，5，6， P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝， P(X＝5)＝＝，P(X＝6)＝＝. 由數學期望

6、的定義可求得E(X)＝3×＋4×＋5×＋6×＝5.25. 9．罐中有6個紅球，4個白球，從中任取1球，記住顏色后再放回，連續(xù)摸取4次，設X為取得紅球的次數，則X的方差D(X)的值為(　　) A． B． C． D． 解析：選B.因為是有放回地摸球，所以每次摸球(試驗)摸得紅球(成功)的概率均為，連續(xù)摸4次(做4次試驗)，X為取得紅球(成功)的次數，則X～B，所以D(X)＝4××＝. 10．已知甲盒中僅有1個球且為紅球，乙盒中有m個紅球和n個藍球(m≥3，n≥3)，從乙盒中隨機抽取i(i＝1，2)個球放入甲盒中． (1)放入i個球后，甲盒中含有紅球的個數記為ξi(i＝1，2)； (2

7、)放入i個球后，從甲盒中取1個球是紅球的概率記為pi(i＝1，2)，則(　　) A．p1>p2，E(ξ1)E(ξ2) C．p1>p2，E(ξ1)>E(ξ2) D．p10，所以p1>p2. 11．某射擊運動員在一次射擊比賽中所得環(huán)數ξ的分布列如下：

8、 ξ 3 4 5 6 P x 0.1 0.3 y 已知ξ的均值E(ξ)＝4.3，則y的值為____________． 解析：由題意知，x＋0.1＋0.3＋y＝1，又E(ξ)＝3x＋4×0.1＋5×0.3＋6y＝4.3，兩式聯(lián)立解得y＝0.2. 答案：0.2 12．已知X的分布列為 X －1 0 1 P 且Y＝aX＋3，E(Y)＝，則a的值為__________． 解析：E(X)＝－1×＋0×＋1×＝－，E(Y)＝E(aX＋3)＝aE(X)＋3＝－a＋3＝，所以a＝2. 答案：2 13．設口袋中有黑球、白球共9個．從中任取2個球，若

9、取到白球個數的數學期望為，則口袋中白球的個數為________． 解析：設白球有m個，則取得白球的數學期望是×0＋×1＋×2＝， 即＋×2＝， 解得m＝3. 答案：3 14．隨機變量ξ的分布列如下表： ξ －1 0 1 P a b c 其中a，b，c成等差數列．若E(ξ)＝，則D(ξ)的值是________． 解析：由題意可得 解得 所以D(ξ)＝×＋×＋×＝. 答案： 15．已知隨機變量ξ的分布列為 ξ －1 0 1 P 那么ξ的數學期望E(ξ)＝________，設η＝2ξ＋1，則η的數學期望E(η)＝________．

10、 解析：由離散型隨機變量的期望公式及性質可得， E(ξ)＝－1×＋0×＋1×＝－， E(η)＝E(2ξ＋1)＝2E(ξ)＋1＝2×＋1＝. 答案：－　 16．(2019·浙江新高考沖刺卷)某中學的十佳校園歌手有6名男同學，4名女同學，其中3名來自1班，其余7名來自其他互不相同的7個班，現從10名同學中隨機選擇3名參加文藝晚會，則選出的3名同學來自不同班級的概率為________，設X為選出3名同學中女同學的人數，則該變量X的數學期望為________． 解析：設“選出的3名同學是來自互不相同班級”為事件A，則P(A)＝＝. 隨機變量X的所有可能取值為0，1，2，3，P(X＝k)＝

11、(k＝0，1，2，3)． 所以隨機變量X的分布列為 X 0 1 2 3 P 隨機變量X的數學期望E(X)＝0＋1×＋2×＋3×＝. 答案：　 17．從4雙不同鞋子中任取4只，則其中恰好有一雙的不同取法有________種，記取出的4只鞋子中成雙的鞋子對數為X，則隨機變量X的數學期望E(X)＝________． 解析：①從4雙不同鞋子中任取4只，則其中恰好有一雙的不同取法有CCCC＝48. ②X＝0，1，2，P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝. X的分布列為 X 0 1 2 P E(X)＝0＋1×＋2×＝

12、. 答案：48　 [能力提升] 1．袋中有20個大小相同的球，其中記上0號的有10個，記上n號的有n個(n＝1，2，3，4)，現從袋中任取一球，X表示所取球的標號． (1)求X的分布列、期望和方差； (2)若Y＝aX＋b，E(Y)＝1，D(Y)＝11，試求a，b的值． 解：(1)X的取值為0，1，2，3，4，其分布列為 X 0 1 2 3 4 P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝1.5， D(X)＝(0－1.5)2×＋(1－1.5)2×＋(2－1.5)2×＋(3－1.5)2×＋(4－1.5)2×＝2.75. (2)由D(Y)＝

13、a2D(X)得2.75a2＝11，得a＝±2， 又E(Y)＝aE(X)＋b， 所以當a＝2時，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2； 當a＝－2時，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4， 所以或 2．設袋子中裝有a個紅球，b個黃球，c個藍球，且規(guī)定：取出一個紅球得1分，取出一個黃球得2分，取出一個藍球得3分． (1)當a＝3，b＝2，c＝1時，從該袋子中任取(有放回，且每球取到的機會均等)2個球，記隨機變量ξ為取出此2球所得分數之和，求ξ的分布列； (2)從該袋子中任取(每球取到的機會均等)1個球，記隨機變量η為取出此球所得分數．若Eη＝，Dη＝，求a∶b∶c. 解：(1)由題意得ξ＝

14、2，3，4，5，6. 故P(ξ＝2)＝＝， P(ξ＝3)＝＝， P(ξ＝4)＝＝， P(ξ＝5)＝＝， P(ξ＝6)＝＝. 所以ξ的分布列為 ξ 2 3 4 5 6 P (2)由題意知η的分布列為 η 1 2 3 P 所以Eη＝＋＋＝， Dη＝(1－)2·＋(2－)2·＋(3－)2·＝， 化簡得 解得a＝3c，b＝2c，故a∶b∶c＝3∶2∶1. 3．C1：y＝ax＋b，a，b∈{1，2，3，4，5}，C2：x2＋y2＝2. (1)求C1，C2有交點的概率P(A)； (2)求交點個數的數學期望E(ξ)．

15、 解：(1)設圓心(0，0)到直線ax－y＋b＝0的距離為d，若C1，C2有交點，則d＝≤?b2≤2(a2＋1)． 當b＝1時，a＝1，2，3，4，5；當b＝2時，a＝1，2，3，4，5；當b＝3時，a＝2，3，4，5；當b＝4時，a＝3，4，5；當b＝5時，a＝4，5.共5＋5＋4＋3＋2＝19種情況， 所以P(A)＝＝. (2)當交點個數為0時，直線與圓相離，有6種情況； 當交點個數為1時，直線與圓相切，b2＝2(a2＋1)，只有a＝1，b＝2這1種情況； 當交點個數為2時，由(1)知直線與圓相交，有18種情況． 所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝. 4．(2019·溫州八校

16、聯(lián)考)某公司準備將1 000萬元資金投入到市環(huán)保工程建設中，現有甲、乙兩個建設項目供選擇．若投資甲項目一年后可獲得的利潤ξ1(萬元)的概率分布列如下表所示： ξ1 110 120 170 P m 0.4 n 且ξ1的期望E(ξ1)＝120；若投資乙項目一年后可獲得的利潤ξ2(萬元)與該項目建設材料的成本有關，在生產的過程中，公司將根據成本情況決定是否在第二和第三季度進行產品的價格調整，兩次調整相互獨立且調整的概率分別為p(0＜p＜1)和1－p .若乙項目產品價格一年內調整次數X(次)與ξ2的關系如下表所示： X 0 1 2 ξ2 41.2 117.6

17、204 (1)求m，n的值； (2)求ξ2的分布列； (3)若E(ξ1)＜E(ξ2)，則選擇投資乙項目，求此時p的取值范圍． 解：(1)由題意得 解得m＝0.5，n＝0.1. (2)ξ2的可能取值為41.2，117.6，204， P(ξ2＝41.2)＝(1－p)[1－(1－p)]＝p(1－p)， P(ξ2＝117.6)＝p[1－(1－p)]＋(1－p)(1－p)＝p2＋(1－p)2， P(ξ2＝204)＝p(1－p)， 所以ξ2的分布列為 ξ2 41.2 117.6 204 P p(1－p) p2＋(1－p)2 p(1－p) (3)由(2)可得： E(ξ2)＝41.2p(1－p)＋117.6[p2＋(1－p)2]＋204p(1－p)＝－10p2＋10p＋117.6， 由E(ξ1)＜E(ξ2)， 得120＜－10p2＋10p＋117.6， 解得：0.4＜p＜0.6， 即當選擇投資乙項目時，p的取值范圍是(0.4，0.6)． 10