（文理通用）江蘇省2020高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 理科附加題 第5講 數(shù)學(xué)歸納法練習(xí)

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1、第5講 數(shù)學(xué)歸納法 1．已知數(shù)列{an}滿足a1＝0，a2＝1，當(dāng)n∈N*時，an＋2＝an＋1＋an.求證：數(shù)列{an}的第4m＋1項(m∈N*)能被3整除． 證明：(1)當(dāng)m＝1時，a4m＋1＝a5＝a4＋a3＝(a3＋a2)＋(a2＋a1)＝(a2＋a1)＋2a2＋a1＝3a2＋2a1＝3＋0＝3. 即當(dāng)m＝1時，第4m＋1項能被3整除．故命題成立． (2)假設(shè)當(dāng)m＝k時，a4k＋1能被3整除，則當(dāng)m＝k＋1時， a4(k＋1)＋1＝a4k＋5＝a4k＋4＋a4k＋3＝2a4k＋3＋a4k＋2 ＝2(a4k＋2＋a4k＋1)＋a4k＋2＝3a4k＋2＋2a4k＋1. 顯

2、然，3a4k＋2能被3整除，又由假設(shè)知a4k＋1能被3整除． ∴3a4k＋2＋2a4k＋1能被3整除． 即當(dāng)m＝k＋1時，a4(k＋1)＋1也能被3整除．命題也成立． 由(1)和(2)知，對于n∈N*，數(shù)列{an}中的第4m＋1項能被3整除． 2．設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，滿足Sn＝2nan＋1－3n2－4n，n∈N*，且S3＝15. (1)求a1，a2，a3的值． (2)求數(shù)列{an}的通項公式． 解：(1)由已知得 解得a1＝3，a2＝5，a3＝7. (2)猜測an＝2n＋1. 由Sn＝2nan＋1－3n2－4n得 Sn－1＝2(n－1)an－3(n－1)2－4

3、(n－1)(n≥2)， 當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1，所以兩式相減， 整理得an＝2nan＋1－2(n－1)an－6n－1， an＋1＝an＋，又a2＝5，a1＝3，滿足式子， 建立了an與an＋1的遞推關(guān)系(n∈N*)． 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：an＝2n＋1. ①當(dāng)n＝1時，a1＝3，成立． ②假設(shè)n＝k時成立，即ak＝2k＋1成立， 那么n＝k＋1時， ak＋1＝ak＋＝(2k＋1)＋ ＝2k＋3＝2(k＋1)＋1， 所以當(dāng)n＝k＋1時也成立． 由①②可知，對于n∈N*，有an＝2n＋1， 所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n＋1. 3．已知數(shù)列{an}滿

4、足an＝＋＋…＋(n∈N*)． (1)求a1，a2，a3的值； (2)對任意正整數(shù)n，an小數(shù)點后第一位數(shù)字是多少？請說明理由． 解：(1)a1＝，a2＝，a3＝. (2)a1，a2小數(shù)點后第一位數(shù)字均為5，a3小數(shù)點后第一位數(shù)字為6. 下證：對任意正整數(shù)n(n≥3)，均有0.6＜an＜0.7， 注意到an＋1－an＝＋－＝＞0， 故對任意正整數(shù)n(n≥3)，有an≥a3＞0.6. 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：對任意正整數(shù)n(n≥3)，有an≤0.7－. ①當(dāng)n＝3時，有a3＝＝0.7－＝0.7－≤0.7－，命題成立； ②假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*，k≥3)時，命題成立， 即ak≤

5、0.7－， 則當(dāng)n＝k＋1時，ak＋1＝ak＋≤0.7－＋. ∵－－ ＝－＞0， ∴－＞， ∴ak＋1≤0.7－＋≤0.7－， ∴n＝k＋1時，命題也成立； 綜合①②可知，任意正整數(shù)n(n≥3)，an≤0.7－. 由此，對正整數(shù)n(n≥3)，0.6＜an＜0.7， 此時an小數(shù)點后第一位數(shù)字均為6. 所以a1，a2小數(shù)點后第一位數(shù)字均為5， 當(dāng)n≥3，n∈N*時，an小數(shù)點后第一位數(shù)字均為6. 4．(2019·啟東聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝x2－ax＋ln(x＋1)(a∈R)． (1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)上恒有f′(x)＞x，求實數(shù)a的取值范圍； (2)已知

6、c1＞0，且cn＋1＝f′(cn)(n＝1,2，…)，在(1)的條件下，證明數(shù)列{cn}是單調(diào)遞增數(shù)列． 解：(1)因為f′(x)＝2x－a＋， 由f′(x)＞x，得2x－a＋＞x， 即a＜x＋(0＜x＜1)． 又y＝x＋＝x＋1＋－1＞1(因為x＋1＞1)， 所以a＜1，即實數(shù)a的取值范圍為(－∞，1)． (2)證明：①當(dāng)n＝1時，c2＝f′(c1)＝2c1－a＋， 又因為c1＞0, 所以c1＋1＞1，且a＜1， 所以c2－c1＝c1－a＋＝c1＋1＋－(a＋1)＞2－(a＋1)＝1－a＞0. 所以c2＞c1，即當(dāng)n＝1時結(jié)論成立． ②假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*)時，有ck＋

7、1＞ck，且ck＞0， 則當(dāng)n＝k＋1時， ck＋2－ck＋1＝ck＋1－a＋＝ck＋1＋1＋－(a＋1)＞2－(a＋1)＝1－a＞0. 所以ck＋2＞ck＋1， 即當(dāng)n＝k＋1時結(jié)論成立． 由①②知數(shù)列{cn}是單調(diào)遞增數(shù)列． 5．猜想：集合M＝{x|x≤n，x∈N*}(n∈N*)的所有子集均可排成一行，使得任意兩個相鄰子集的元素個數(shù)相差1. 請你分別取n＝1,2,3加以驗證，并判斷猜想是否對任意的正整數(shù)n都成立，若不是，請說明理由；若是，請給出證明． 解：當(dāng)n＝1時，M＝{1}的2個子集排成一行：?，{1}，元素個數(shù)相差1，成立； 當(dāng)n＝2時，M＝{1,2}的4個子集排成

8、一行：?，{1}，{1,2}，{2}，任意兩個相鄰的子集的元素個數(shù)相差1，猜想成立； 當(dāng)n＝3時，M＝{1,2,3}的8個子集排成一行： ?，{1}，{1,2}，{2}，{2,3}，{1,2,3}，{1,3}，{3}，任意兩個相鄰的子集的元素個數(shù)相差1，猜想成立， 對任意的正整數(shù)n，猜想成立，證明如下： ①當(dāng)n＝1時，已證； ②假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*)時， 集合M＝{1,2，…，k}的2k個子集排成一行： M1，M2，…，M2k，任意兩個相鄰子集的元素個數(shù)相差1. 則當(dāng)n＝k＋1時，集合M＝{1,2，…，k，k＋1}的2k＋1個子集排成一行： M1，M2，…，M2k，M2k∪{k＋1}，…，M2∪{k＋1}，M1∪{k＋1}， 任意兩個相鄰的子集的元素個數(shù)相差1, 故當(dāng)n＝k＋1時，結(jié)論也成立． 由①②知，猜想成立． - 4 -