七年級數(shù)學下冊 4 三角形教案 （新版）北師大版
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第四章 三角形 1.理解三角形及有關概念,會畫任意三角形的高、中線、角平分線. 2.了解三角形的穩(wěn)定性,理解三角形兩邊的和大于第三邊,會根據(jù)三條線段的長度判斷它們能否構成三角形. 3.會證明三角形內(nèi)角和等于180,了解三角形外角的性質(zhì). 4.了解圖形的全等,理解全等三角形的概念和性質(zhì),經(jīng)歷探索三角形全等條件的過程,掌握兩個三角形全等的條件,能應用三角形的全等解決一些實際問題. 5.在分別給出兩角一夾邊、兩邊一夾角和三邊的條件下,能夠利用尺規(guī)作出三角形. 1.在觀察、操作、推理、歸納等探索過程中,發(fā)展學生的合情推理能力,逐步養(yǎng)成數(shù)學推理的習慣. 2.在靈活運用知識解決有關問題的過程中,體驗并掌握探索、歸納圖形性質(zhì)的推理方法,進一步發(fā)展初步的演繹推理能力和有條理表達的能力. 1.體會數(shù)學與現(xiàn)實生活的聯(lián)系,增強克服困難的勇氣和信心. 2.感受數(shù)學來源于生活又服務于生活,激發(fā)學習數(shù)學的興趣. 3.使學生進一步形成數(shù)學來源于實踐,反過來又服務于實踐的辯證唯物主義觀點. 三角形是最簡單、最基本的幾何圖形,在生產(chǎn)實踐、科學研究和社會生活中隨處可見.它不僅是研究其他圖形的基礎,在解決實際問題中也有著廣泛的應用.因此,探索和掌握它的基本性質(zhì)對于更好地認識現(xiàn)實世界、發(fā)展空間觀念和推理能力都是非常重要的. 學生在前面學習“相交線和平行線”的過程中,積累了一些初步的數(shù)學活動經(jīng)驗,空間觀念、幾何直觀與推理能力得到了初步的培養(yǎng),這都為三角形的學習提供了有力的條件.本章的設計在總體上來看需要學生掌握以下內(nèi)容:在生動的問題情境、豐富的數(shù)學活動中,理解三角形的有關概念;在動手動腦的數(shù)學活動中,探索三角形全等的條件,感悟數(shù)學的分類思想;以直觀認識為基礎進行簡單的說理,將幾何直觀與簡單說理相結合,逐步而又恰當?shù)靥岣邔W生數(shù)學推理能力,借助三角形和全等三角形的有關結論解決一些簡單的實際問題.為此,教材本章安排了5節(jié)內(nèi)容: 第1節(jié)“認識三角形”,介紹三角形的有關概念、符號表示、三角形的重要線段,以及三角形三邊之間的關系、內(nèi)角和等基本性質(zhì). 第2節(jié)“圖形的全等”、第3節(jié)“探索三角形全等的條件”,在認識全等圖形的基礎上,理解全等三角形的概念和性質(zhì),接著通過所設計的一系列的實踐活動,探索三角形全等的條件. 第4節(jié)“用尺規(guī)作三角形”、第5節(jié)“利用三角形全等測距離”,教材以用尺規(guī)作三角形和利用三角形全等測距離,體現(xiàn)全等三角形的應用. 教材中關于推理過程的描述,采用符合自然語言習慣的文字加符號的方式,一方面是降低學習難度,另一方面也為八上學習證明(演繹推理的形式化表述)做鋪墊. 通過本章的學習,學生推理意識的樹立以及推理經(jīng)驗的積累,為今后學習證明打下基礎,在今后的學習中,學生將在直觀認識和簡單說明理由的基礎上,學習從幾個基本事實出發(fā),進行比較嚴格的證明. 【重點】 掌握三角形最基本的性質(zhì),探索并掌握兩個三角形全等的條件,會利用三角形全等測距離. 【難點】 探索三角形全等的條件和運用三角形全等解決問題以及它的說理過程. 1.本章對三角形認識的教學目標與第一學段獲得對簡單平面圖形的直觀經(jīng)驗有所不同,應使學生通過觀察、操作、推理等手段認識三角形.在如落實“三角形任意兩邊的和大于第三邊”“三角形內(nèi)角和是180”等具體目標時,不僅要求學生積極參與各種形式的實踐活動,而且要積極引導學生對活動過程和結果進行判斷分析、推理思考和抽象概括,讓學生在學習知識的過程中提高能力. 2.重視實踐活動,讓學生在探索中獲取知識.教學時,應給予學生充分的時間和空間,通過觀察、操作、有條理的思考、推理和交流,經(jīng)歷從現(xiàn)實空間抽象出幾何圖形、探索圖形性質(zhì)及其變化規(guī)律的過程,獲得對圖形的認識,發(fā)展空間觀念. 3.促進教學中的數(shù)學交流.教師要重視為學生創(chuàng)設交流的情境,提供“數(shù)學對話”的機會,鼓勵學生用耳、用口、用眼、用手去表達自己的思想和接受他人的思想.這樣的過程有助于培養(yǎng)學生的參與意識,學會用不同的方式探索、思考解釋問題,不斷提高自己的思維水平. 4.注重教具、學具和現(xiàn)代教學手段的運用,加強教學的直觀性.幾何圖形的直觀性為各種教學手段的運用提供了廣闊的空間,利用各種教具、學具和現(xiàn)代教學技術,可以使學生認識和探索圖形的過程更具有趣味性和挑戰(zhàn)性,也是進一步發(fā)展學生空間觀念和實踐能力的有效途徑.但在運用各種教學手段時,要注意切合實際,易操作而有實效.一些農(nóng)村學校由于經(jīng)濟困難,不能配備豐富多彩的教學用具,教師必須因地制宜充分挖掘當?shù)刭Y源,積極發(fā)動學生制作.學生在制作過程中不但可以激發(fā)學習的興趣而且可以加深對圖形的認識. 5.對全等三角形概念分析的建議.通過圖片的展示,使學生認識到全等形在生活中是廣泛存在的,并鼓勵學生自己歸納它們的共同特征,引出全等形和全等三角形的概念.教學時應鼓勵學生通過觀察,用自己的語言概括出全等三角形對應元素的確定方法,教師同時運用多媒體技術演示對應元素的確定方法,引導學生總結在這個過程中需注意的問題和其中的規(guī)律. 6.對全等三角形性質(zhì)的教學建議.通過學生對全等三角形的觀察,合作交流,從而得出找全等三角形的對應邊、對應角的性質(zhì),性質(zhì)的熟練應用應該在能準確地判斷全等三角形的對應元素的基礎上.在教學過程中,適當引導學生總結通過全等三角形的性質(zhì)證明線段相等和角相等的常用方法. 7.探索三角形全等的條件是本章的重點內(nèi)容,教學時應先用設問形式創(chuàng)設問題情境,設計一系列實踐活動,遵循啟發(fā)式教學原則,引導學生操作、觀察、探索、交流、發(fā)現(xiàn)、思維,真正把學生放到主體位置,發(fā)展學生的空間觀念,體會分析問題、解決問題的方法,積累數(shù)學活動經(jīng)驗,為以后的證明打下基礎. 1 認識三角形 4課時 2 圖形的全等 1課時 3 探索三角形全等的條件 3課時 4 用尺規(guī)作三角形 1課時 5 利用三角形全等測距離 1課時 回顧與思考 1課時 1 認識三角形 1.掌握三角形的概念,能用適當?shù)姆柋硎救切我约斑@些基本元素. 2.認識等腰三角形,會按邊對三角形分類,掌握三角形三邊的關系. 3.正確理解三角形的角平分線、中線、高線的概念. 4.畫出任意三角形的高. 通過觀察、操作、想象、推理、交流等活動,發(fā)展空間觀念、推理能力和有條理地表達能力. 在學生觀察、操作、思考和交流的過程中,豐富學生的知識,激發(fā)學生進一步探索知識的激情,同時發(fā)展他們的空間觀念. 【重點】 1.三角形三邊關系的探究和歸納. 2.了解三角形的中線,角平分線的定義并掌握其性質(zhì),會作三角形的中線和角平分線. 3.三角形高線的概念,會畫任意三角形的高. 【難點】 1.三角形的中線,角平分線的定義及其性質(zhì)的應用. 2.畫鈍角三角形、夾鈍角的兩邊上的高和掌握三角形高的應用. 第課時 1.掌握三角形的概念,能用適當?shù)姆柋硎救切我约斑@些基本元素. 2.經(jīng)歷實驗活動的過程,得出“三角形內(nèi)角和等于180”,能應用三角形內(nèi)角和來解決一些簡單的求三角形內(nèi)角和問題. 3.會按角的大小關系對三角形分類;能從所給出的已知角中,判斷出三角形的形狀. 通過觀察、操作、想象、推理、交流等活動,發(fā)展空間觀念,推理和有條理地表達能力. 讓學生在數(shù)學活動中通過相互間的合作與交流,獲得必需的數(shù)學知識,激發(fā)學習興趣,培養(yǎng)學生的相互協(xié)作意識及數(shù)學表達能力. 【重點】 探究發(fā)現(xiàn)和驗證“三角形的內(nèi)角和是180”這一規(guī)律的過程,并歸納總結出規(guī)律. 【難點】 發(fā)展推理能力和有條理地表達能力. 【教師準備】 多媒體課件. 【學生準備】 預習教材P81~83. 導入一: [過渡語] 同學們喜歡看美麗的圖畫嗎?下面請同學們欣賞幾幅優(yōu)美的畫面,找一找這幾幅圖中有什么共同點. 多媒體展示: [處理方式] 三角形是最簡單的多邊形,是一種在我們生活中應用很廣泛的圖形,在生產(chǎn)實踐、科學研究和社會生活中隨處可見,那么今天我們就來認識它. [設計意圖] 通過欣賞三角形有關的圖片,創(chuàng)設一種寬松、和諧的學習氛圍,讓學生以輕松、愉快的心態(tài)進入探究新知的過程.使學生能從生活中抽象出幾何圖形,感受到我們生活在幾何圖形的世界之中.培養(yǎng)學生善于觀察生活、樂于探索研究的學習品質(zhì),學生能很好地找出生活中的三角形的實例,如植物的三角形刺,還有圖片中的房屋結構、熱帶魚的形狀、戰(zhàn)機的外形等,這些充分體現(xiàn)了學生走進生活、感受數(shù)學的高漲熱情,在課堂上用源于學生身邊的事物抽象出的三角形視頻和圖片展開教學,從而更大地激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣. 導入二: 【活動內(nèi)容】 (多媒體出示) 猜謎語:“形狀似如山,穩(wěn)定性能堅.三竿首位連,學問不簡單.”(打一圖形名稱)欣賞圖片認識生活中的三角形. [處理方式] 教師播放幻燈片,學生猜出謎底后欣賞圖片,認識生活中的三角形,從而引出新課.引導性語言:三角形是最簡單的多邊形,在生產(chǎn)實踐、科學研究和社會生活中隨處可見.它不僅是研究其他多邊形的基礎,在解決實際問題中也有廣泛的應用.因此,探索和掌握它的基本性質(zhì)對于更好地認識現(xiàn)實世界、發(fā)展空間觀念和推理能力都是非常重要的. [設計意圖] 利用學生感興趣的猜謎語和熟悉的生活圖片入手,貼近學生的生活,培養(yǎng)學生的學習興趣,激發(fā)學生的求知欲,讓學生在不知不覺中感受學習數(shù)學的樂趣,這也為新課的學習做好鋪墊. [過渡語] 三角形是一種最常見的幾何圖形之一.同學們,還記得三角形有哪些要素嗎?下面讓我們一起探個究竟. 探究活動1 認識三角形及其基本要素 思路一 觀察下面屋頂?shù)慕Y構: 出示問題: (1)你能從左圖中找出4個不同的三角形嗎?與你的同伴交流各自找到的三角形. (2)這些三角形有什么共同的特點? [處理方式] 學生自主學習及回答問題,引導學生歸納三角形的概念、基本要素(邊、角、頂點).不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形.三角形可以用符號“△”表示,頂點是A,B,C的三角形,記作△ABC.有時△ABC的三邊也用a,b,c表示.頂點A所對的邊BC用a表示,邊AC,邊AB分別用b,c表示. 通過自學知道三角形ABC有三個角,分別為∠A,∠B,∠C.三條邊分別為AB,BC,AC.三個頂點分別是A,B,C. [設計意圖] 通過學生的自主學習及回答問題,引導學生歸納三角形的概念、基本要素(邊、角、頂點)等基礎知識,體會用符號表示三角形的必要性,培養(yǎng)了學生自學、觀察、分析能力及歸納總結的能力. 【即時訓練】 根據(jù)右圖填空: (1)圖中共有 個三角形,它們是 ; (2)以AD為邊的三角形有 ; (3)在△ABD,△ABE,△ABC中∠B的對邊分別是 . [設計意圖] 通過知識反饋進一步認識了三角形及其基本要素,鞏固了三角形的表示法. 思路二 [過渡語] 請同學們打開課本81頁,獨立思考,完成以下問題,并與同伴交流. (1)三角形的概念: 由不在 的三條線段 相接所組成的圖形叫做 . (2)理解三角形的構成要素及符號表示: 三角形有 條邊, 個內(nèi)角和 個頂點.“三角形”可以用符號 表示,如圖中頂點是A,B,C的三角形,記作 .△ABC的三邊為 ,有時也用 來表示. [處理方式] 學生自主學習,在導學案上完成后再展示說明,學生之間互相補充.教師適時點評,強調(diào)三角形的概念要任意三條線段: (1)不在同一直線上; (2)首尾順次相接. [設計意圖] 本活動的設計意在引導學生通過自主學習、 合作交流,對三角形的概念從感性認識上升到理性認識. 【即時訓練】 圖中有 個三角形,它們分別是 . 探究活動2 三角形的內(nèi)角和 思路一 [過渡語] 請你來當法官:仔細閱讀三角形紅和三角形藍的對話,看看誰說的有道理. 三角形藍和三角形紅見面了. 藍炫耀地說:“我的面積比你大,所以我的內(nèi)角和也比你大!” 紅不服氣地說:“那可不好說噢,你自己量量看!” 同學們,它們誰說的有道理? 在小學的時候我們用量角器量三角形的各角度數(shù)和用把三角形的三個角撕下來拼在一起的方法驗證了“三角形三個內(nèi)角的和是180”的結論.現(xiàn)在,我們只撕下三角形的一個角,同樣可以得到一樣的結論,看看小明的做法,你能說出其中的道理嗎? (1)剪一個三角形紙片,如圖(1),它的三個內(nèi)角分別為∠1,∠2,∠3. (2)將∠1撕下,按圖(2)所示進行擺放,其中∠1的頂點與∠2的頂點重合,它的一條邊與∠2的一條邊重合,此時∠1的另一條邊b與∠3的邊a平行嗎?為什么? (3)如圖(3)所示,將∠3與∠2的公共邊延長,它與b所夾的角為∠4,∠3與∠4有什么大小關系?為什么?現(xiàn)在你能夠確定三角形的內(nèi)角和了嗎? [處理方式] 在圖(2)中,根據(jù)內(nèi)錯角相等兩直線平行可知∠1的另一條邊b與∠3的邊a平行,根據(jù)兩直線平行,同旁內(nèi)角互補可知∠2+∠1+∠3=180,所以可以得到三角形的內(nèi)角和等于180. 在圖(3)中,根據(jù)內(nèi)錯角相等兩直線平行可知∠1的另一條邊b與∠3的邊a平行,根據(jù)兩直線平行同位角相等可知∠3=∠4,因為∠2,∠1,∠4組成一個平角,所以∠2+∠1+∠4=180,由于三角形的三個角分別與∠2,∠1,∠4相等,所以可以得到三角形的內(nèi)角和等于180.結論:三角形三個內(nèi)角的和等于180. 教師引導過A點作EF∥BC,根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯角相等知∠1=∠B,∠2=∠C.又因為∠1+∠2+∠3=180,所以∠BAC+∠B+∠C=180. [設計意圖] 通過小組討論、直觀教具演示等手段,激發(fā)了學生學習的興趣,另一方面使學生通過多角度思考、分析、說理、操作加深學生對三角形內(nèi)角和為180的理解,從而突出和解決了本節(jié)課的重點,同時在教學中注重在直觀操作的基礎上進行簡單的推理,使學生學會用一定的方式有條理地表達推理過程,為今后的幾何證明打下基礎. 思路二 以4人合作小組為單位,充分利用課前準備的任意三角形紙片,探索驗證三角形內(nèi)角和為180的方法.然后各小組選派代表展示設計的方案并陳述理由. [處理方式] 1.可讓學生合作探究,教師到各小組巡回指導,參與他們的討論. 2.鼓勵學生提出疑問,但是并不急于評判他們的答案,而是有針對性的啟發(fā)和指導,引導學生在操作中自覺思考. 3.讓學生們主動思考能否利用平行線的有關事實說明理由. 4.讓學生展示不同的驗證方法. [設計意圖] 充分利用學生已有的知識和經(jīng)驗,并通過多角度思考、分析、說理、操作加深學生對三角形內(nèi)角和為180的理解,從而突出和解決了本節(jié)課的重點,同時在教學中注重在直觀操作的基礎上進行簡單的推理,使學生學會用一定的方式有條理地表達推理過程,為今后的幾何證明打下基礎. 探究活動3 三角形分類 [過渡語] 下面我們共同做一個猜角的游戲,觀察圖(1)中的女孩所拿的三角形被遮住的兩個內(nèi)角是什么角?男孩呢?試著說說理由. (學生帶著濃厚的興趣來完成游戲,完成后讓學生先在小組內(nèi)討論交流) 圖(2)中的男孩所拿的三角形被遮住的兩個內(nèi)角是什么角?將所得的結果與圖(1)的結果進行比較. [處理方式] 根據(jù)上面的問題我們把三角形按角的大小分為三類:(1)銳角三角形;(2)直角三角形;(3)鈍角三角形.自學并討論怎樣判斷一個三角形是銳角三角形、直角三角形以及鈍角三角形,直角三角形有什么特殊的表示法?它的兩個銳角之間有什么關系?它的三條邊的名稱是什么? 經(jīng)過自學和討論知道了三個內(nèi)角都是銳角的三角形是銳角三角形,有一個內(nèi)角是直角的三角形是直角三角形,有一個內(nèi)角是鈍角的三角形是鈍角三角形. 如圖所示. 通常我們用符號“Rt△ABC”表示直角三角形ABC.把直角所對的邊稱為直角三角形的斜邊,夾直角的兩條邊稱為直角邊.根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180,可知∠A+∠B+∠C=180,又因為∠C=90,所以∠A+∠B=90,由此可知直角三角形的兩個銳角互余. [設計意圖] 通過在游戲中對問題的解決,使學生有成就感,樹立了學好數(shù)學的信心.特殊三角形的特殊性質(zhì)與其形狀有關——直角三角形兩個銳角互余.通過對三角形分類的學習,使學生了解數(shù)學分類的基本思想.當只露出一個內(nèi)角為銳角時,引導學生發(fā)現(xiàn)三種情況都是可以的,即兩個銳角,一個銳角一個直角,一個鈍角一個銳角,從而使學生初步體會反證法的思想,為后面進一步研究反證法奠定基礎. [知識拓展] 在一個三角形中,如果有一個角是鈍角(或直角),這個三角形就是鈍角(或直角)三角形,但是在知道一個三角形的一個角是銳角時,卻不能斷定它是銳角三角形,因為任何三角形,包括鈍角三角形和直角三角形都有銳角.直角三角形兩個銳角互余. 1.三角形:不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形. 2.三角形三個內(nèi)角的和等于180. 3.三個內(nèi)角都是銳角的三角形是銳角三角形,有一個內(nèi)角是直角的三角形是直角三角形,有一個內(nèi)角是鈍角的三角形是鈍角三角形. 4.直角三角形的兩個銳角互余. 1.如圖所示,三角形的個數(shù)是 ( ) A.3 B.4 C.2 D.6 解析:共有6個,分別為△ABD,△ABE,△ABC,△ADE,△ADC,△AEC.故選D. 2.如圖所示,以∠C為內(nèi)角的三角形有 和 ,在這兩個三角形中,∠C的對邊分別為 和 . 答案:△ACD △ACB AD AB 3.直角三角形的一個銳角為70,另一個銳角為 . 解析:根據(jù)直角三角形兩銳角互余得到另一銳角為20.故填20. 4.在△ABC中,∠A=80,∠B=20,則△ABC是 三角形. 答案:銳角等腰 第1課時 探究活動1 認識三角形及其基本要素 探究活動2 三角形的內(nèi)角和 探究活動3 三角形分類 一、教材作業(yè) 【必做題】 教材第84頁習題4.1知識技能第1,2,3題. 【選做題】 教材第84頁習題4.1問題解決第5題. 二、課后作業(yè) 【基礎鞏固】 1.三角形三個內(nèi)角中,銳角最多可以是 ( ) A.0個 B.1個 C.2個 D.3個 2.如圖所示,△ABC中,∠A=60,∠C=80,∠B= . 3.如圖所示,AD⊥BC,∠1=40,∠2=30,則∠B= ,∠C= . 4.在空白處填入“銳角”“直角”或“鈍角”. (1)如果三角形的三個內(nèi)角都相等,那么這個三角形是 三角形; (2)如果三角形的兩個內(nèi)角都小于40,那么這個三角形是 三角形. 【能力提升】 5.(2015菏澤中考)將一副直角三角尺按如圖所示方式放置,若∠AOD=20,則∠BOC的大小為 ( ) A.140 B.160 C.170 D.150 6.如圖所示,已知△ABC中,∠1=27,∠2=85,∠3=38,求∠4的度數(shù). 【拓展探究】 7.一個零件的形狀如圖所示,按規(guī)定∠A等于90,∠B和∠C分別等于32和21.檢驗工人只量得∠BDC=148,就斷定這個零件不合格,請你說明零件不合格的理由. 【答案與解析】 1.D(解析:根據(jù)三角形內(nèi)角和為180度可知在直角三角形和鈍角三角形中都只有2個銳角,而銳角三角形的三個內(nèi)角都是銳角.故選D.) 2.40(解析:根據(jù)三角形內(nèi)角和為180度可知∠B=180- 60- 80=40.) 3.50 60(解析:因為AD⊥BC,所以△ABD和△ACD分別為直角三角形,所以∠B=90- 40=50,∠C=90- 30=60.) 4.(1)銳角 (2)鈍角 5.B(解析:因為將一副直角三角尺按如圖所示方式放置,∠AOD=20,所以∠COA=90- 20=70,所以∠BOC=90+70=160.故選B.) 6.解:由三角形內(nèi)角和公式可求出∠ACB=180- ∠1- ∠3=115,由∠BCD為∠ACB的補角,得∠BCD=180- ∠ACB=65,∠CFD與∠2是對頂角,所以∠CFD=∠2=85,再根據(jù)三角形內(nèi)角和公式得∠4=180- ∠BCD- ∠CFD=30. 7.解:延長CD交AB于E,則∠DEB=180- ∠DEA=∠A+∠C=111,∠BDC=180- ∠BDE=∠DEB+∠B=143,即合格零件的∠BDC應為143,而此零件這個角為148,因此可以判定這個零件不合格. 1.注意把握說理要求的度,只要求口頭說明,不要求書面證明,鼓勵他們用自己的語言進行講述. 2.在教學過程中學生在教師創(chuàng)設的情境下,自己動手操作、動腦思考、動口表達、探索未知領域、尋找客觀真理、成為發(fā)現(xiàn)者,學生自始至終地參與這一探索過程,發(fā)展了學生的創(chuàng)新精神和實踐能力.通過有條理地表達三角形內(nèi)角和為180的推理過程,為今后的幾何證明打下基礎. 處理探究“三角形三個內(nèi)角的和等于180”時操作說理有點倉促,不應怕學生說錯,要注意課堂的生成.自主學習時間過短,應注意自主的實效性. 應注重學生幾何語言的培養(yǎng),對課堂生成的問題,應予以重視,可以激勵學生課后繼續(xù)探究,將課內(nèi)學習延伸到課外,不斷開闊學生的視野. 隨堂練習(教材第83頁) 1.解:如圖所示. 2.解:(1)直角三角形. (2)銳角三角形也是等腰三角形. (3)鈍角三角形. 習題4.1(教材第84頁) 知識技能 1.提示:∠A=90,∠B=60,∠C=30. 2.(1)銳角 (2)直角 (3)鈍角 3.提示:60. 4.解:(1)有3個直角三角形.分別是Rt△ABC,Rt△ACD,Rt△BCD.Rt△ABC的直角邊為AC,BC,斜邊為AB;Rt△ACD的直角邊為AD,CD,斜邊為AC;Rt△BCD的直角邊為CD,BD,斜邊為BC. (2)∠1和∠A互余;∠2和∠A相等. 問題解決 5.提示:∠ACB=40.當輪船距離燈塔C最近時,∠ACB=60. 在小學數(shù)學學習的基礎上,本課從探索三角形的概念入手,具體介紹三角形的有關概念,通過熟悉的情境,找出熟悉的圖形并進行交流,感悟需要用符號來表示三角形,體會用符號來表示三角形的必要性.通過學習小組的交流活動,引導學生探究出按角將三角形分類,滲透分類的思想.通過讓學生拼圖、說理等活動讓學生探究出三角形的內(nèi)角和為180,進一步通過簡單的推理得出“直角三角形的兩個銳角互余”,使學生感覺知識的形成很自然,激發(fā)學生學好數(shù)學的勇氣;學生在教師的引導下,先自主學習,再合作交流,在感悟中逐步提高對三角形的認識. 第課時 1.讓學生認識等腰三角形,會按邊對三角形分類;掌握三角形三邊的關系. 2.能運用三邊關系解決生活中的實際問題.結合具體實例,進一步掌握三角形三條邊的關系. 通過觀察、操作、推理、交流等活動,發(fā)展學生的空間觀念,推理能力和有條理的表達能力. 學生通過觀察、操作、交流和反思,獲得必需的數(shù)學知識,激發(fā)學生的學習興趣. 【重點】 三角形三邊關系的探究和歸納. 【難點】 應用三角形的三邊關系解決簡單的實際問題. 【教師準備】 多媒體課件. 【學生準備】 預習教材P85~86. 導入一: [過渡語] 上節(jié)課我們對三角形有了初步認識,按三角形內(nèi)角的大小把三角形進行分類,仔細想一想,完成下面的問題. 1.下圖中有幾個三角形?將找到的三角形表示出來. 2.觀察下面的三角形,并把它們的標號填入相應的橢圓框內(nèi). [處理方式] 第一題讓三名學生到黑板板演,其他學生在練習本上完成.教師巡視,適時點撥,防止遺漏或重復.學生完成后及時點評,借助多媒體展示學生出現(xiàn)的問題并進行矯正. 三角形除了按角進行分類之外,還可以怎么分?試一試. [設計意圖] 學生能夠根據(jù)上節(jié)課的內(nèi)容,將所給的三角形按角進行分類,及時檢查學生對上節(jié)課內(nèi)容的掌握情況,又通過復習引起學生回憶,為本節(jié)學習提供鋪墊和思想基礎. 導入二: [過渡語] 上節(jié)課,我們學習了三角形的定義,哪位同學來說一下三角形的定義是什么? [處理方式] 學生思考,并說出三角形的定義.師出示三道題目. 1.在右圖中你能用符號表示三角形嗎? 2.右圖中的三角形的三個頂點分別是 ,三條邊分別是 ,三個內(nèi)角分別是 . 3.觀察下面的三角形,這些三角形能不能按邊長分類呢? [設計意圖] 本活動在于滲透分類的數(shù)學思想,使學生在操作的過程中感悟分類的方法,做到不重復、不遺漏. [過渡語] 三角形除了可以按角分類之外,按邊長分有什么分法嗎?如何分?想一想、試一試. 探究活動1 認識等腰三角形和等邊三角形 思路一 如圖所示.把一張長方形紙片按圖中的虛線對折,并剪去陰影部分,再把它展開,得△ABC. 探索: 問題1 AC和AB有什么關系?這個三角形有什么特點?(學生討論) 有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形. 等腰三角形中,相等的兩邊都叫做腰,另一邊叫做底邊,兩腰的夾角叫做頂角,腰和底邊的夾角叫做底角. 當三角形的三條邊都相等時,它是什么三角形? (等邊三角形) 問題2 從定義上你能看出等腰三角形與等邊三角形的關系嗎?如果把三角形按邊分類應該怎樣來劃分? 三角形按邊分類: 三角形 [處理方式] 問題1學生先動手實驗,然后對所得到的圖形進行討論,教師則通過課件展示出等腰三角形和等邊三角形定義及有關概念,學生記憶.同時引出本節(jié)課課題“認識三角形2”.問題2先讓小組討論,教師補充,最后由教師課件展出三角形按邊分類. [設計意圖] 通過對等腰三角形的認識,引出等腰三角形的定義以及三角形按邊分類,進一步體現(xiàn)數(shù)學分類的思想. 思路二 [過渡語] 觀察圖中的五個三角形并測量,你能發(fā)現(xiàn)它們各自的邊長之間有什么關系嗎? [處理方式] 教師安排分組測量,并將學生給出的測量結果出示在課件上.(1)(4)(5)的三邊都不相等.(2)有兩邊相等的是等腰三角形.(3)三邊都相等的是等邊三角形. 板書等腰三角形、等邊三角形的定義.等邊三角形也叫正三角形.等腰三角形的邊與角都有特定的名稱,相等的兩邊叫腰,不等的邊叫底.腰和底的夾角叫底角,兩腰的夾角叫頂角. 三角形按邊共分兩大類. 等腰三角形與普通三角形;等腰三角形里分為底邊和腰不相等的等腰三角形與等邊三角形. [處理方式] 課件展示. 三角形 [設計意圖] 通過設置這些動手測量,共同探討的活動,既滿足了學生的探究欲望,也讓學生在高昂的學習興趣中學到了知識,體驗到了成功.將三角形按邊分類,在于滲透分類的數(shù)學思想,使學生在操作的過程中感悟分類的方法. 探究活動2 三角形三邊之間的關系 思路一 【情境探究】 (1)元宵節(jié)的晚上,房梁上亮起了彩燈,裝有黃色彩燈的電線與裝有紅色彩燈的電線哪根長呢?說明你的理由. [處理方式] 可讓學生在小組中討論交流,引導學生進行觀察、測量,然后選代表進行回答. (2)利用你得到的結論填空: AB+AC BC. AB+BC AC. AC+BC AB. (3)在一個三角形中,任意兩邊之和與第三邊的長度有怎樣的關系?為什么? [處理方式] 讓學生在小組中討論交流,教師可引導學生各自畫一個三角形,然后進行測量,從而得出結論:三角形任意兩邊之和大于第三邊. 說明:學生在考察兩邊之和與第三邊的數(shù)量關系時,可能對具體的三角形采用測量方法,教師應予以肯定,但是又不要停留在幾何直觀和操作測量階段,此時可以提出問題,將學生對問題的思考引向深入.教師可以這樣的提出問題:你的結論是通過測量幾個三角形得出的?對任意一個三角形,你能肯定它的任意兩邊之和都大于第三邊嗎?能說明你的理由嗎?從而將學生對問題的思考從特殊推廣到一般,從直觀提升到推理.在探究過程中,可設置必要的過渡,引導學生回憶所學過的“兩點之間線段最短”的結論,并鼓勵他們利用這個結論說明自己的發(fā)現(xiàn).對三角形三邊之間的數(shù)量關系,教師要引導學生注意結論中“任意”二字的含義. [設計意圖] 通過設計“比較彩燈電線長度”的情境,目的是引出三角形三邊之間數(shù)量關系的問題. 思路二 【測量探究】 分別量出下面三個三角形的三邊長度,并填入空格內(nèi). (1)a= ,b= ,c= . (2)a= ,b= ,c= . (3)a= ,b= ,c= . 根據(jù)你的測量結果,計算三角形的任意兩邊之差,并與第三邊比較,完成填空: (1)a- b c,c- b a,c- a b. (2)b- a c,c- a b,b- c a. (3)a- c b,a- b c,b- c a. 你能得到什么結論?再畫一些三角形試一試. [處理方式] 學生在小組中進行測量,計算,并討論交流,得出結論:三角形任意兩邊之差小于第三邊.教師可參與到學生的討論中,適當給學生引導. 說明:對于三角形任意兩邊之差與第三邊的數(shù)量關系,學生只要能通過測量、比較等操作活動,歸納得出結論即可,不必運用不等式的性質(zhì)進行說明.但教師可以在引導學生對結論進行驗證的基礎上,指出這個結論對一般三角形也是成立的. [設計意圖] 在測量過程中培養(yǎng)學生合作交流意識,在交流中認識三角形三邊差的關系. 思路三 【實驗探究】 (多媒體展示) 準備好長度分別為:4 cm,6 cm,10 cm,12 cm的小棒各一根. 實驗要求: 1.任意選三根小棒首尾相連,看能否圍成三角形. 2.把任意兩邊的長度加起來,再與第三邊進行比較.(用式子表示) 3.小組討論,你發(fā)現(xiàn)了什么? 4.將實驗結果填寫在探究報告單上. [處理方式] 學生以小組為單位進行動手操作,并通過討論交流進一步驗證三角形三邊之間的數(shù)量關系,然后選代表進行解答. [設計意圖] 通過實驗探究讓學生在實驗、操作中進一步驗證所得到的結論,豐富學生對三角形三邊之間的數(shù)量關系的體驗和理解,并使學生在自主活動和相互交流中獲得知識,體驗樂趣. [知識拓展] 1.等腰三角形的兩個底角相等,等邊三角形是特殊的等腰三角形,三個角都是60. 2.三角形兩邊之和大于第三條邊可以根據(jù)“連接兩點的所有線中,線段最短”得出.這里的“兩邊”泛指三角形的任意兩邊. 例題講解 有兩根長度分別為5 cm和8 cm的木棒,用長度為2 cm的木棒與它們能擺成三角形嗎?為什么?長度為13 cm的木棒呢? 〔解析〕 可讓學生獨立完成,選兩個代表在黑板板書,并讓他們進行講解. 解:取長度為2 cm的木棒時,由于2+5=7,小于8,出現(xiàn)了兩邊之和小于第三邊的情況,所以它們不能擺成三角形. 取長度為13 cm的木棒時,由于8+5=13,出現(xiàn)了兩邊之和等于第三邊的情況,所以它們也不能擺成三角形. 1.有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形. 2.三角形按邊分為: 三角形 3.三角形任意兩邊之和大于第三邊. 4.三角形任意兩邊之差小于第三邊. 1.下列長度的三條線段,不能構成三角形的是 ( ) A.3 cm,8 cm,4 cm B.4 cm,9 cm,6 cm C.15 cm,20 cm,8 cm D.9 cm,15 cm,8 cm 解析:由三角形的三條邊的關系可知,3+4=7,小于8,不符合題意,故選項A不能構成三角形.故選A. 2.現(xiàn)有四根木棒,長度分別為4 cm,6 cm,8 cm,10 cm,從中任取三根木棒,能組成三角形的個數(shù)為 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:共有4種方案:①取4 cm,6 cm,8 cm,能構成三角形;②取4 cm,8 cm,10 cm,能構成三角形;③取4 cm,6 cm,10 cm,不能構成三角形,此種情況不成立;④取6 cm,8 cm,10 cm,能構成三角形.所以有3種方案符合要求.故選C. 3.若等腰三角形一邊長為7 cm,另一邊長為5 cm,則第三邊長為 . 解析:若腰長為7 cm,另一邊長為5 cm,7+5=12,大于7,則第三邊長為7 cm;若腰長為5 cm,另一邊長為7 cm,5+5=10,大于7,則第三邊長為5 cm.故填7 cm或5 cm. 4.下面分別是三根小木棒的長度,用它們能擺成三角形嗎? (1)7 cm,5 cm,11 cm; (2)5 cm,8 cm,4 cm; (3)4 cm,3 cm,7 cm. 解析:只要滿足兩條較短線段之和大于最長邊就能構成三角形. 解:(1)因為7+5=12,12大于11,所以能擺成三角形. (2)因為5+4=9,9大于8,所以能擺成三角形. (3)因為4+3=7,7=7,所以不能擺成三角形. 第2課時 探究活動1 認識等腰三角形和等邊三角形 探究活動2 三角形三邊之間的關系 例題講解 例題 一、教材作業(yè) 【必做題】 教材第86頁習題4.2知識技能第1題;問題解決第2題. 【選做題】 教材第86頁習題4.2問題解決第3題. 二、課后作業(yè) 【基礎鞏固】 1.等腰三角形兩邊長為9和5,則這個三角形的周長是 . 2.已知一個三角形的三邊a=7,b=3,第三邊c是一個正整數(shù),滿足這些條件的三角形共有 種,當c= 時,所作出的三角形的周長最長. 3.一個三角形的兩邊長分別為4和8,則第三邊長x的取值如何? 【能力提升】 4.若△ABC的三邊為a,b,c,化簡|a+b+c|+|a- b- c|. 【拓展探究】 5.如圖所示,已知A,B兩個村在河的同側,要在河邊建一個水站向兩個村供水,為了使水站到兩村距離之和最小,則水站應該建在哪里? 【答案與解析】 1.19或23(解析:根據(jù)等腰三角形的性質(zhì),分兩種情況:①當腰長為5時,②當腰長為9時,解答出即可.根據(jù)題意,①當腰長為5時,周長=5+5+9=19;②當腰長為9時,周長=9+9+5=23.) 2.5 9(解析:根據(jù)三邊關系可得7- 3
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