高考數(shù)學（精講+精練+精析）專題10_2 雙曲線試題 理（含解析）

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專題10.2 雙曲線 【三年高考】 1. 【2016高考新課標1卷】已知方程表示雙曲線,且該雙曲線兩焦點間的距離為4,則n的取值范圍是( ) （A） （B） （C） （D） 【答案】A 2．【2016高考新課標2理數(shù)】已知是雙曲線的左，右焦點，點在上，與軸垂直，,則的離心率為（ ） （A） （B） （C） （D）2 【答案】A 【解析】因為垂直于軸，所以，因為，即，化簡得，故雙曲線離心率.選A. 3．【2016高考天津理數(shù)】已知雙曲線（b>0），以原點為圓心，雙曲線的實半軸長為半徑長的 圓與雙曲線的兩條漸近線相交于A、B、C、D四點，四邊形的ABCD的面積為2b，則雙曲線的方程為（ ） （A）（B）（C）（D） 【答案】D 4．【2016年高考北京理數(shù)】雙曲線（，）的漸近線為正方形OABC的邊OA，OC所在的直線，點B為該雙曲線的焦點，若正方形OABC的邊長為2，則_______________. 【答案】2 【解析】∵是正方形，∴，即直線方程為，此為雙曲線的漸近線，因此，又由題意，∴，．故填：2． 5．【2016高考上海理數(shù)】雙曲線的左、右焦點分別為，直線過且與雙曲線交于兩點. （1）若的傾斜角為，是等邊三角形，求雙曲線的漸近線方程； （2）設，若的斜率存在，且，求的斜率. 【解析】（1）設．由題意，，，，因為是等邊三角形，所以，即，解得．故雙曲線的漸近線方程為． （2）由已知，，．設，，直線．顯然． 由，得．因為與雙曲線交于兩點，所以，且．設的中點為．由即，知，故．而，，，所以，得，故的斜率為． 6. 【2015高考福建，理3】若雙曲線 的左、右焦點分別為，點在雙曲線上，且，則 等于（?。? A．11 　　　 B．9 C．5 　　　D．3 【答案】B 【解析】由雙曲線定義得，即，解得，故選B． 7.【2015高考新課標1，理5】已知M（）是雙曲線C：上的一點，是C上的兩個焦點，若，則的取值范圍是( ) （A）（-，） （B）（-，） （C）（，） （D）（，） 【答案】A 8.【2015高考湖北，理8】將離心率為的雙曲線的實半軸長和虛半軸長同時增加個單位長度，得到離心率為的雙曲線，則（ ） A．對任意的， B．當時，；當時， C．對任意的， D．當時，；當時， 【答案】D 【解析】依題意，，， 因為，由于，，， 所以當時，，，，，所以； 當時，，，而，所以，所以. 所以當時，；當時，. 9.【2015高考重慶，理10】設雙曲線（a>0,b>0）的右焦點為1，過F作AF的垂線與雙曲線交于B,C兩點，過B,C分別作AC，AB的垂線交于點D.若D到直線BC的距離小于，則該雙曲線的漸近線斜率的取值范圍是　　　　（　?。? A、 B、 C、 D、 【答案】A 10.【2014新課標1，理4】已知是雙曲線：的一個焦點，則點到的一條漸近線的距離為 （ ） . .3 . . 【答案】A 【解析】化為標準方程為：，則焦點（，0）到漸近線方程為距離為=，故選A. 11. 【2014天津，理5】已知雙曲線的一條漸近線平行于直線：，雙曲線的一個焦點在直線上，則雙曲線的方程為（　?。? （A）　　 （B） （C）　 　（D） 【答案】A 【解析】依題意得，所以，，雙曲線的方程為 ，故選A. 12.【2014江西，理20】如圖，已知雙曲線:()的右焦點,點分別在的兩條漸近線上，軸，∥(為坐標原點）. （1） 求雙曲線的方程； （2） 過上一點的直線與直線相交于點，與直線相交于點，證明點在上移動時，恒為定值，并求此定值 . 【三年高考命題回顧】 縱觀前三年各地高考試題, 對雙曲線的考查以選擇、填空為主，主要側重以下幾點：(1)雙曲線定義的應用；（2）求雙曲線的標準方程．(3)以雙曲線的方程為載體，研究與參數(shù)及漸近線有關的問題，其中離心率和漸近線是考查的重點和熱點，高考題中以選擇、填空題為主，分值為5分，難度為容易題和中檔題. 【2017年高考復習建議與高考命題預測】 由前三年的高考命題形式可以看出 , 雙曲線的定義、標準方程、幾何性質性質問題是高考考試的重點，每年必考，一般是小題形式出現(xiàn),解答題很少考查,主要以利用性質求雙曲線方程，求焦點三角形的周長與面積，求弦長，求雙曲線的離心率,最值或范圍問題，過定點問題，定值問題等, 直線與雙曲線的位置關系，難度一般不是太大, 故預測2016年高考仍會延續(xù)這種情形，以雙曲線的方程與性質為主．備考時應熟練掌握雙曲線的定義、求雙曲線標準方程的方法，能靈活運用雙曲線定義及幾何性質確定基本元素.另外，要深入理解參數(shù)的關系、漸近線及其幾何意義，應注意與向量、直線、圓等知識的綜合. 【2017年高考考點定位】 高考對雙曲線的考查有兩種主要形式：一是考雙曲線的定義與標準方程；二是考查雙曲線的幾何性質；三是考查直線與雙曲線的簡單位置關系，從涉及的知識上講，常平面幾何、平面向量、方程數(shù)學、不等式等知識相聯(lián)系，字母運算能力和邏輯推理能力是考查是的重點. 【考點1】雙曲線的定義與標準方程 【備考知識梳理】 1.雙曲線的定義：把平面內與兩定點的距離之差的絕對值等于常數(shù)（小于）的點的軌跡叫做雙曲線，這兩個定點叫雙曲線的焦點，兩焦點之間的距離叫焦距，符號表述為：(). 注意：（1）當時，軌跡是直線去掉線段.(2)當時，軌跡不存在. 2.雙曲線的標準方程：（1） 焦點在軸上的雙曲線的標準方程為；焦點在y軸上的雙曲線的標準方程為.給定橢圓，要根據(jù)的正負判定焦點在哪個坐標軸上，焦點在分母為正的那個坐標軸上. (2)雙曲線中關系為：. 【規(guī)律方法技巧】 1.利用雙曲線的定義可以將雙曲線上一點到兩焦點的距離進行轉化，對雙曲線上一點與其兩焦點構成的三角形問題，常用雙曲線的定義與正余弦定理去處理. 2.求雙曲線的標準方程方法 (1)定義法：若某曲線（或軌跡）上任意一點到兩定點的距離之差（或距離之差的絕對值）為常數(shù)（常數(shù)小于兩點之間的距離），符合雙曲線的定義，該曲線是以這兩定點為焦點，定值為實軸長的雙曲線，從而求出雙曲線方程中的參數(shù)，寫出雙曲線的標準方程，注意是距離之差的絕對值是雙曲線的兩只，是距離之差是雙曲線的一只，要注意是哪一只. (2)待定系數(shù)法，用待定系數(shù)法求雙曲線標準方程，一般分三步完成，①定性-確定它是雙曲線；②定位-判定中心在原點，焦點在哪條坐標軸上；③定量-建立關于基本量的關系式，解出參數(shù)即可求出雙曲線的標準方程. 3.若雙曲線的焦點位置不定，應分焦點在x軸上和焦點在y軸上，也可設雙曲線的方程為，其中異號且都不為0，可避免分類討論和繁瑣的計算. 4.若已知雙曲線的漸近線方程為，則可設雙曲線的標準方程為（）可避免分類討論. 【考點針對訓練】 1. 【2016年江西師大附中?？肌恳阎行脑谠c的雙曲線的離心率等于,其中一條準線方程，則雙曲線 的方程是（ ） A . B． C． D． 【答案】B 2. 【2016屆寧夏石嘴山三中高三下三?！窟^雙曲線的左焦點，作圓的切線交雙曲線右支于點P，切點為T，的中點為M，則_____________． 【答案】 【考點2】雙曲線的幾何性質 【備考知識梳理】 1.雙曲線的幾何性質 焦點在x軸上 焦點在y軸上 圖形 標準方程 焦點 (c,0) (0，c) 焦距 |F1F2|＝2c(c2＝a2+b2) 范圍 |x|≥a；y∈R x∈R；|y|≥a 頂點 實軸頂點(a,0)，虛軸頂點(0，b) 實軸頂點(0，a)，虛軸頂點(b,0) 對稱性 曲線關于x軸、y軸、原點對稱 曲線關于x軸、y軸、原點對稱 離心率 e＝∈(1，+)，其中c＝ 漸近線 2.等軸雙曲線： 實軸與虛軸相等的雙曲線叫等軸雙曲線，，其標準方程為，離心率為，漸近線為. 【規(guī)律方法技巧】 1.求解與雙曲線性質有關的問題時要結合圖像進行分析，圍繞雙曲線中的“六點”（兩個頂點、兩個焦點、虛軸的兩個端點），“四線”（兩條對稱軸，兩條漸近線），“兩形”（中心、焦點、虛軸端點構成的特征三角形，雙曲線上一點與兩個交點構成的三角形），研究它們之間的關系，挖掘出它們之間的內在聯(lián)系. 2.雙曲線取值范圍實質實質是雙曲線上點的橫坐標、縱坐標的取值范圍，在求解一些最值、取值范圍以及存在性、判斷性問題中有著重要的應用. 3.求離心率問題，關鍵是先根據(jù)題中的已知條件構造出的等式或不等式，結合化出關于的式子，再利用，化成關于的等式或不等式，從而解出的值或范圍.離心率與的關系為：=. 4.雙曲線的漸近線方程為，可變形為，即，所以雙曲線的漸近線方程可以看作把其標準方程中的1換為0得來的. 4.橢圓的通徑（過焦點垂直于焦點所在對稱軸的直線被橢圓截得的弦叫通徑）長度為，是過橢圓焦點的直線被橢圓所截得弦長的最小值. 5. 雙曲線上一點到雙曲線一個焦點的距離的取值范圍為[). 【考點針對訓練】 1. 【2016年湖北安慶一中高三一模測試】設點、分別是雙曲線（,）的右頂點和右焦點,直線交雙曲線的一條漸近線于點．若是等腰三角形,則此雙曲線的離心率為（ ） A． B． C． D． 【答案】D . 解得 .故選D. 2. 【2016年河北石家莊高三二模】已知雙曲線的一條漸近線方程為，則實數(shù)的值為______. 【答案】 【考點3】直線與雙曲線的位置關系 【備考知識梳理】 設雙曲線的方程為，直線，將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，消去y得到關于x的方程. (1) 若≠0，當△＞0時，直線與雙曲線有兩個交點.當△=0時，直線與雙曲線有且只有一個公共點，此時直線與雙曲線相切. 當△＜0時，直線與雙曲線無公共點. （2）當=0時，直線與雙曲線只有一個交點，此時直線與雙曲線的漸近線平行. 【規(guī)律方法技巧】 1. 直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元后得到一元二次方程，則一元二次方程的根是直線和橢圓交點的橫坐標或縱坐標，常設出交點坐標，用根與系數(shù)關系將橫坐標之和與之積表示出來，這是進一步解題的基礎． 2．直線y＝kx＋b(k≠0)與橢圓相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，則弦長|AB|＝ |x1－x2|＝ ＝|y1－y2|＝. 3．對中點弦問題常用點差法和參數(shù)法. 【考點針對訓練】 1. 【2016年江西師大附中鷹潭一中聯(lián)考】過雙曲線的右焦點作一條直線，當直線斜率為1時，直線與雙曲線左、右兩支各有一個交點；當直線斜率為3時，直線與雙曲線右支有兩個不同的交點，則雙曲線離心 率的取值范圍為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 2. 【2016屆黑龍江大慶實驗中學高三考前訓練一】雙曲線的左、右焦點分別為、，過的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于、兩點.若為等邊三角形，則該雙曲線的離心率為________． 【答案】 【解析】根據(jù)雙曲線的定義，可得，∵是等邊三角形，即，∴，即，又∵，∴，∵中，，，，∴，即，解之得，由此可得雙曲線的離心率，故答案為：. 【應試技巧點撥】 １．焦點三角形問題的求解技巧 (1)所謂焦點三角形，就是以雙曲線的焦點為頂點，另一個頂點在雙曲線上的三角形． (2)解決此類問題要注意應用三個方面的知識：①雙曲線的定義；②勾股定理或余弦定理；③基本不等式與三角形的面積公式． ２．離心率的求法 雙曲線的離心率就是的值，有些試題中可以直接求出的值再求離心率，在有些試題中不能直接求出的值，由于離心率是個比值，因此只要能夠找到一個關于或的方程，通過這個方程解出或，利用公式求出，對雙曲線來說，，對橢圓來說，. 3． 有關弦的問題 (1)有關弦長問題，應注意運用弦長公式及根與系數(shù)的關系，“設而不求”；有關焦點弦長問題，要重視雙曲線的定義的運用，以簡化運算． ①斜率為的直線與雙曲線的交于兩點，，則所得弦長或，其中求與時通常使用根與系數(shù)的關系，即作如下變形： ，. ②當斜率不存在時，可求出交點坐標，直接運算(利用兩點間距離公式)． (2)弦的中點問題 有關弦的中點問題，應靈活運用“點差法”，“設而不求法”來簡化運算． 4.求解雙曲線的的離心率，基本思路有兩種：一是根據(jù)圓錐曲線的定義、方程、性質等分別求出，然后根據(jù)離心率的定義式求解；二是根據(jù)已知條件構造關于的方程，多為二次齊次式，然后通過方程的變形轉化為離心率e的方程求解，要靈活利用橢圓、雙曲線的定義求解相關參數(shù)． 二年模擬 1. 【2016屆邯鄲市一中高三十研】中心在原點，對稱軸為坐標軸的雙曲線的兩條漸近線與圓：都相切，則雙曲線的離心率是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 2. 【2016年江西省九江市三?！窟^雙曲線的左焦點作圓⊙的切線，且點為，延長交雙曲線右支于點，若為的中點，，則雙曲線的離心率為（ ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如圖所示，設雙曲線的右焦點為，依題意可得，，則∴，即. 3. 【2016屆云南省玉溪一中高三下第八次月考】已知雙曲線的左頂點與拋物線的焦點的距離為4，且雙曲線的一條漸近線與拋物線的準線的交點坐標為，則雙曲線的焦距為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 4. 【2016年河南省商丘市高三三?！?已知拋物線與雙曲線的一個交點為，為拋物線的焦點，若，則該雙曲線的漸近線方程為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依題意,拋物線焦點,設,因為,所以,所以,代入得,所以令,得雙曲線的漸近線為,即. 5..【2016年湖南師大附中高三三?！恳阎cP為雙曲線－＝1(a>0，b>0)右支上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左右焦點，且|F1F2|＝，G為三角形PF1F2的內心，若S△GPF1＝S△GPF2＋λS△GF1F2成立， 則λ的值為（ ） A. B．2－1 C.＋1 D.－1 【答案】D 6. 【2016屆陜西省安康市高三第三次聯(lián)考】設雙曲線的一條漸近線與直線的一個交點的縱坐標為,若,則雙曲線的離心率的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由題意得，所以，選B. 7. 【2017屆廣州省惠州市高三第一次調研】雙曲線：的實軸的兩個端點為、，點為雙曲線上除、外的一個動點，若動點滿足,則動點的軌跡為（ ） （A）圓 （B）橢圓 （C）雙曲線 （D）拋物線 【答案】C 【解析】設,實軸的兩個頂點, ∵QA⊥PA，∴，可得同理根據(jù)QB⊥PB，可得兩式相乘可得,∵點為雙曲線M上除A、B外的一個動點，，整理得 故選C． 8. 【2016屆河南省禹州市名校高三三?！恳阎c為雙曲線右支上的一點，點分別為雙曲線的左、右焦點，雙曲線的一條漸近線的斜率為，若為的內心，且，則的值為 ． 【答案】 9．【2016屆天津市和平區(qū)高三三模】設雙曲線的半焦距為，原點到直線的距離等于，則的最小值為 ． 【答案】 【解析】由題設原點到直線的距離為,即.而（當且僅當取等號）,所以,即,解之得,即的最小值為. 10. 【2016屆廣東省華南師大附中高三5月測試】已知的邊在直角坐標平面的軸上，的中點為坐標原點，若，，又點在邊上，且滿足，以、為焦點的雙曲線經(jīng)過、兩點． （Ⅰ）求及此雙曲線的方程； （Ⅱ）若圓心為的圓與雙曲線右支在第一象限交于不同兩點，，求點橫坐標取值范圍． 11.【2015屆黑龍江省哈爾濱市三中高三第四次模擬】雙曲線的離心率為2，焦點到漸近線的距離為，則的焦距等于（ ） A．2 B． C． D．4 【答案】D 【解析】∵雙曲線的離心率為2，∴，∵雙曲線的漸近線方程為，不妨設，即，則，，∵焦點到漸近線的距離為，∴，即，解得，則焦距為． 12.【2015屆吉林省實驗中學高三上學期第五次模擬】已知雙曲線的左、右焦點分別是，正三角形的一邊與雙曲線左支交于點，且，則雙曲線的離心率的值是 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】設，則,所以，因此離心率等于，選D． 13.【2015屆浙江省余姚市高三第三次模擬考試】設分別是雙曲線的左、右焦點，是的右支上的點，射線平分,過原點作的平行線交于點,若,則的離心率為（ ） A. B.3 C. D. 【答案】A 14. 【山東省濟南市2015屆高三上學期期末考試】已知是雙曲線的左右兩個焦點，過點與雙曲線的一條漸近線平行的直線交雙曲線另一條漸近線于點M，若點M在以線段為直徑的圓外，則該雙曲線離心率的取值范圍是 A. B. C. D. 【答案】D 15.【2015屆甘肅省天水市一中高三高考信息卷一】我們把離心率的雙曲線稱為黃金雙曲線．如圖是雙曲線的圖象，給出以下幾個說法：①雙曲線是黃金雙曲線；②若，則該雙曲線是黃金雙曲線；③若為左右焦點，為左右頂點，（0，），（0，﹣）且，則該雙曲線是黃金雙曲線；④若經(jīng)過右焦點且，，則該雙曲線是黃金雙曲線．其中正確命題的序號為 ． 【答案】①②③④ 【解析】對于①，，則，，，所以雙曲線是黃金雙曲線；對于②，，整理得，解得，所以雙曲線是黃金雙曲線；對于③，由勾股定理得，整理得由②可知所以雙曲線是黃金雙曲線；對于④由于，把代入雙曲線方程得，解得，，由對稱關系知為等腰直角三角形，，即，由①可知所以雙曲線是黃金雙曲線． 拓展試題以及解析 1.已知是雙曲線的左、右焦點，直線與雙曲線兩條漸近線的左、右交點分別為，若四邊形的面積為，則雙曲線的離心率為（ ） A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． 【答案】A 【入選理由】本題考查雙曲線的方程及其幾何性質,直線與雙曲線的位置關系,面積公式等基礎知識，意在考查分析問題、解決問題的能力、基本運算能力及推理能力，本題是一個常規(guī)題，是高考?？碱}型,故選此題. 2.已知拋物線的焦點與雙曲線的右焦點重合，則（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】拋物線方程化為，∴拋物線的焦點為，雙曲線的右焦點為，∴，∴，故選D. 【入選理由】本題考查拋物線的方程及簡單的幾何性質，雙曲線的性質等基礎知識，意在考查分析問題、解決問題的能力、基本運算能力及推理能力，本題是一個常規(guī)題，是高考?？碱}型,故選此題. 3.在雙曲線中，已知成等差數(shù)列，則該雙曲線的漸近線的斜率等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【入選理由】本題考查雙曲線的方程，雙曲線的性質,等差數(shù)列等基礎知識，意在考查分析問題、解決問題的能力、基本運算能力及推理能力，本題是一個常規(guī)題，是高考?？碱}型,故選此題. 4.設雙曲線與拋物線交于兩點，且，則該雙曲線的焦點到其漸近線的距離為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知得，帶入雙曲線方程得，則，所以雙曲線的漸近線方程為，故該雙曲線的焦點到其漸近線的距離為，故選C． 【入選理由】本題考查拋物線的方程及簡單的幾何性質，雙曲線的方程與簡單性質等基礎知識，意在考查分析問題、解決問題的能力、基本運算能力及推理能力，本題是一個常規(guī)題，是高考常考題型,故選此題. 5.已知雙曲線與兩條平行直線：與：相交所得的平行四邊形的面積為，則雙曲線的離心率為（ ） A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．2 【答案】B 【入選理由】本題考查雙曲線方程,雙曲線的簡單幾何性質直線與雙曲線的位置關系等基礎知識，意在考查數(shù)形結合思想和綜合分析問題解決問題的能力，試題形式新穎，故選此題. 6.已知雙曲線的一條漸近線與拋物線的準線的交點坐標為，且雙曲線與拋物線的一個公共點M的坐標，則雙曲線的方程為—————. 【答案】. 【入選理由】本題考查拋物線的方程及簡單的幾何性質，雙曲線的方程與簡單性質等基礎知識，意在考查分析問題、解決問題的能力、基本運算能力及推理能力，本題是一個常規(guī)題，是高考?？碱}型,故選此題.