高考數(shù)學（精講+精練+精析）專題10_4 圓錐曲線的綜合應用試題 文（含解析）

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專題10.4 圓錐曲線的綜合應用試題 文 【三年高考】 1. 【2016高考四川文科】在平面直角坐標系中，當P(x，y)不是原點時，定義P的“伴隨點”為；當P是原點時，定義P的“伴隨點”為它自身，現(xiàn)有下列命題： ?若點A的“伴隨點”是點，則點的“伴隨點”是點A. ?單元圓上的“伴隨點”還在單位圓上. ?若兩點關于x軸對稱，則他們的“伴隨點”關于y軸對稱 ④若三點在同一條直線上，則他們的“伴隨點”一定共線. 其中的真命題是 . 【答案】②③ 線分別為與的圖象關于軸對稱，所以②正確；③令單位圓上點的坐標為其伴隨點為仍在單位圓上，故③正確；對于④，直線上取點后得其伴隨點消參后軌跡是圓，故④錯誤.所以正確的為序號為②③. 2．【2016高考山東文數(shù)】已知橢圓C:（a>b>0）的長軸長為4，焦距為2. （I）求橢圓C的方程； (Ⅱ)過動點M(0，m)(m>0)的直線交x軸與點N，交C于點A，P(P在第一象限)，且M是線段PN的中點.過點P作x軸的垂線交C于另一點Q，延長線QM交C于點B. (i)設直線PM、QM的斜率分別為k、k，證明為定值. (ii)求直線AB的斜率的最小值. (Ⅱ)(i)設，由，可得 所以 直線PM的斜率 ，直線QM的斜率.此時，所以為定值. (ii)設，直線PA的方程為，直線QB的方程為.聯(lián)立 ，整理得.由可得 ，所以，同理.所以， ，所以 由，可知，所以 ，等號當且僅當時取得.此時，即，符號題意.所以直線AB 的斜率的最小值為 . 3．【2016高考四川文科】已知橢圓E：的一個焦點與短軸的兩個端點是正三角形的三個頂點，點在橢圓E上. (Ⅰ)求橢圓E的方程； (Ⅱ)設不過原點O且斜率為的直線l與橢圓E交于不同的兩點A，B，線段AB的中點為M，直線OM與橢圓E交于C，D，證明：． （II）設直線l的方程為， ，由方程組 得，① 方程①的判別式為，由，即，解得.由①得.所以M點坐標為，直線OM方程為，由方程組得.所以.又.所以. 4．【2016高考上海文科】有一塊正方形菜地,所在直線是一條小河，收貨的蔬菜可送到點或河邊運走。于是，菜地分為兩個區(qū)域和，其中中的蔬菜運到河邊較近，中的蔬菜運到點較近，而菜地內(nèi)和的分界線上的點到河邊與到點的距離相等，現(xiàn)建立平面直角坐標系，其中原點為的中點，點的坐標為（1,0），如圖 （1） 求菜地內(nèi)的分界線的方程 （2） 菜農(nóng)從蔬菜運量估計出面積是面積的兩倍，由此得到面積的“經(jīng)驗值”為。設是上縱坐標為1的點，請計算以為一邊、另一邊過點的矩形的面積，及五邊形的面積，并判斷哪一個更接近于面積的經(jīng)驗值 5．【2015高考新課標1，文5】已知橢圓E的中心為坐標原點，離心率為，E的右焦點與拋物線的焦點重合，是C的準線與E的兩個交點，則 ( ) （A） （B） （C） （D） 【答案】B 6. 【2015高考山東，文21】平面直角坐標系中，已知橢圓：的離心率為，且點（，）在橢圓上. （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）設橢圓：，為橢圓上任意一點，過點的直線交橢圓于兩點，射線交橢圓于點. （i）求的值； (ii)求面積的最大值. 【解析】（I）由題意知又，解得，所以橢圓的方程為 （II）由（I）知橢圓的方程為. （i）設由題意知.因為又，即所以，即 7. 【2015高考陜西，文20】如圖，橢圓經(jīng)過點，且離心率為. (I)求橢圓的方程； (II)經(jīng)過點，且斜率為的直線與橢圓交于不同兩點（均異于點），證明：直線與的斜率之和為2. 【解析】 (I)由題意知，綜合，解得，所以，橢圓的方程為. (II)由題設知，直線的方程為，代入，得 ，由已知，設，，則，從而直線與的斜率之和 . 8. 【2015高考重慶，文21】如題（21）圖，橢圓（>>0）的左右焦點分別為,,且過的直線交橢圓于P,Q兩點，且PQ. (Ⅰ)若||=2+，||=2-，求橢圓的標準方程. (Ⅱ)若|PQ|=||，且，試確定橢圓離心率的取值范圍. (2)如題(21)圖，由,得，由橢圓的定義，,進而，于是. 解得，故.由勾股定理得,從而,兩邊除以，得,若記，則上式變成.由，并注意到關于的單調(diào)性，得，即，進而，即. 9. 【2015高考四川，文20】如圖，橢圓E：(a>b>0)的離心率是，點P(0，1)在短軸CD上，且＝－1 (Ⅰ)求橢圓E的方程； (Ⅱ)設O為坐標原點，過點P的動直線與橢圓交于A、B兩點.是否存在常數(shù)λ，使得為定值？若存在，求λ的值；若不存在，請說明理由. A D B C O x y P (Ⅱ)當直線AB斜率存在時，設直線AB的方程為y＝kx＋1，A，B的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，聯(lián)立，得(2k2＋1)x2＋4kx－2＝0，其判別式△＝(4k)2＋8(2k2＋1)＞0，所以，從而＝x1x2＋y1y2＋λ[x1x2＋(y1－1)(y2－1)] ＝(1＋λ)(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝＝－，所以，當λ＝1時，－＝－3，此時，＝－3為定值，當直線AB斜率不存在時，直線AB即為直線CD，此時＝－2－1＝－3，故存在常數(shù)λ＝－1，使得為定值－3. 10.【2014山東，文15】 已知雙曲線的焦距為，右頂點為A，拋物線的焦點為F，若雙曲線截拋物線的準線所得線段長為，且，則雙曲線的漸近線方程為　　　　　　. 【答案】 11.【2014廣東，文20】已知橢圓的一個焦點為，離心率為. （1） 求橢圓C的標準方程； （2） 若動點為橢圓C外一點，且點P到橢圓C的兩條切線相互垂直，求點P的軌跡方程． 【解析】（1）由題意得，，所以，所以，所以橢圓C的標準方程為. 12.【2014湖南，文20】如圖，為坐標原點，雙曲線和橢圓均過點，且以的兩個頂點和的兩個焦點為頂點的四邊形是面積為2的正方形. (1)求的方程； (2)是否存在直線，使得與交于兩點，與只有一個公共點，且？證明你的結(jié)論. 【三年高考命題回顧】 縱觀前三年各地高考試題, 由定義法求曲線的方程、由已知條件直接求曲線的方程、直線與圓錐曲線、圓錐曲線間的綜合等是高考的熱點，題型大多為解答題，難度為中檔題或難題，主要考查求曲線軌跡方程的方法，圓錐曲線的定義與性質(zhì)應用，各圓錐曲線間的聯(lián)系，直線與圓錐曲線間的位置關系及弦長問題、最值問題、定點定值的探索問題等，其中直線與橢圓的位置關系、直線與拋物線的位置關系是考查的重點和熱點，考查的知識點多，能力要求高，尤其是運算變形能力，分析問題與解決綜合問題的能力，是高考中區(qū)分度較大的題目. 【2017年高考復習建議與高考命題預測】 由前三年的高考命題形式,橢圓、雙曲線、拋物線的性質(zhì)綜合問題是高考考試的重點，每年必考，一般是兩小一大的布局，試題難度往往是有一道基礎題，另一道是提高題，難度中等以上，有時作為把關題．考查方面離心率是重點，其它利用性質(zhì)求圓錐曲線方程，求焦點三角形的周長與面積，求弦長，求圓錐曲線中的最值或范圍問題，過定點問題，定值問題等．從近三年的高考試題來看，小題中雙曲線的定義、標準方程及幾何性質(zhì)是高考的熱點，題型大多為選擇題、填空題，難度為中等偏低，主要考查雙曲線的定義及幾何性質(zhì)，考查基本運算能力及等價轉(zhuǎn)化思想，而橢圓、拋物線的性質(zhì)一般，一道小題，一道解答題，難度中等，有時作為把關題存在，而且三大曲線幾乎年年都考，故預測2017求曲線的方程和研究曲線的性質(zhì)、直線與圓錐曲線、圓錐曲線間的綜合等仍是高考的熱點，題型大多為解答題，難度為仍中檔題或難題，仍主要考查求曲線軌跡方程的方法，圓錐曲線的定義與性質(zhì)應用，各圓錐曲線間的聯(lián)系，直線與圓錐曲線間的位置關系及弦長問題、最值問題、定點定值的探索問題等，其中直線與橢圓的位置關系、直線與拋物線的位置關系仍是考查的重點和熱點，考查的知識點仍然較多，能力要求高，尤其是運算變形能力，分析問題與解決綜合問題的能力，仍是高考中區(qū)分度較大的題目，在備考時，熟練掌握求曲線方程的常用方法，掌握直線與圓錐曲線問題的常見題型與解法，加大練習力度，提高運算能力和綜合運用知識分析解決問題能力，要特別關注與向量、導數(shù)等知識的結(jié)合，關注函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想及分類討論思想等數(shù)學思想在解題中的應用． 【2017年高考考點定位】 高考對圓錐曲線綜合問題的考查有三種主要形式：一是考查求曲線方程；二是考查圓錐曲線間的知識運用；三是直線與圓錐曲線的位置關系，這是高考中考查的重點和難點，主要涉及的題型為中點弦問題、最值與取值范圍問題、定點與定值問題、探索性問題，從涉及的知識上講，常與平面向量、函數(shù)與導數(shù)、方程、不等式等知識相聯(lián)系，考查知識點多，運算量大，能力要求高，難度大是這種題型的一大特征. 【考點1】求軌跡方程 【備考知識梳理】 1．曲線與方程 在平面直角坐標系中，如果某曲線C(看作滿足某種條件的點的集合或軌跡)上的點與一個二元方程的實數(shù)解建立了如下的關系： (1)曲線上點的坐標都是這個方程的解； (2)以這個方程的解為坐標的點都在曲線上．那么，這個方程叫做這條曲線的方程；這條曲線叫做這個方程的曲線. 2．直接法求動點的軌跡方程的一般步驟 (1)建系——建立適當?shù)淖鴺讼担? (2)設點——設軌跡上的任一點P(x，y)． (3)列式——列出動點P所滿足的關系式． (4)代換——依條件式的特點，選用距離公式、斜率公式等將其轉(zhuǎn)化為x，y的方程式，并化簡． (5)證明——證明所求方程即為符合條件的動點軌跡方程． 【規(guī)律方法技巧】 1. 求軌跡方程的常用方法一般分為兩大類，一類是已知所求曲線的類型，求曲線方程——先根據(jù)條件設出所求曲線的方程，再由條件確定其待定系數(shù)——待定系數(shù)法；另一類是不知曲線類型常用的方法有： (1)直接法：直接利用條件建立x，y之間的關系F(x，y)＝0； (2)定義法：先根據(jù)條件得出動點的軌跡是某種已知曲線，再由曲線的定義直接寫出動點的軌跡方程； (3)代入法(相關點法)：動點P(x，y)依賴于另一動點Q(x0，y0)的變化而變化，并且Q(x0，y0)又在某已知曲線上，則可先用x，y的代數(shù)式表示x0，y0，再將x0，y0代入已知曲線得要求的軌跡方程； (4)參數(shù)法：當動點P(x，y)坐標之間的關系不易直接找到，也沒有相關動點可用時，可考慮將x，y均用一中間變量(參數(shù))表示，得參數(shù)方程，再消去參數(shù)得普通方程． 2. 求點的軌跡與求軌跡方程是不同的要求，求軌跡時，應先求軌跡方程，然后根據(jù)方程說明軌跡的形狀、位置、大小等 【考點針對訓練】 1. 【2016江省衢州市高三4月教學質(zhì)量檢測】設點是曲線上任意一點，其坐標均滿足，則取值范圍為（ ） A. B. C. D. 【答案】D 2. 【2016江西省高安中學高三命題中心押題】在平面直角坐標系中，兩點的坐標分別為、，動點滿足:直線與直線的斜率之積為． （1）求動點的軌跡方程； （2）設為動點的軌跡的左右頂點，為直線上的一動點（點不在x軸上），連[交的軌跡于點，連并延長交的軌跡于點，試問直線是否過定點？若成立，請求出該定點坐標，若不成立，請說明理由． 【解析】（1）已知，設動點的坐標，所以直線的斜率，直線的斜率（），又，所以，即． （2）設，又，則，故直線的方程為：，代入橢圓方程并整理得：。由韋達定理：即，，同理可解得： 故直線的方程為，即，故直線恒過定點． 【考點2】圓錐曲線間的綜合 【備考知識梳理】 1.要熟記橢圓的定義、標準方程與幾何性質(zhì). 2.要熟練掌握雙曲線的定義、標準方程與幾何性質(zhì). 3.要熟練掌握拋物線的定義、標準方程與幾何性質(zhì). 【規(guī)律方法技巧】 1. 解圓錐曲線間的綜合問題時，要結(jié)合圖像進行分析，理清所涉及到圓錐曲線間基本量之間的關系，實現(xiàn)不同曲線間基本量的轉(zhuǎn)化. 2.熟練掌握橢圓、雙曲線、拋物線的定義、標準方程、簡單幾何性質(zhì)是解題的關鍵. 【考點針對訓練】 1. 【2016江西省高安中學高三命題中心模擬】已知拋物線的焦點與雙曲線的一焦點重合，則該雙曲線的離心率為（ ） A． B． C． D． 【答案】A． 2. 【2016屆寧夏六盤山高中高三四模】橢圓的右焦點為，雙曲線的一條漸近線與橢圓交于兩點，且，則橢圓的離心率為 _____. 【答案】 【考點3】直線與圓錐曲線位置關系的綜合問題 【備考知識梳理】 1.將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，消去y得到關于x的方程. (1) 若≠0，當△＞0時，直線與圓錐曲線有兩個交點. 當△=0時，直線與圓錐曲線有且只有一個公共點，此時直線與雙曲線相切. 當△＜0時，直線與圓錐曲線無公共點. （2）當=0時，若圓錐曲線為雙曲線，則直線與雙曲線只有一個交點，此時直線與雙曲線的漸近線平行；若圓錐曲線為拋物線，則直線與拋物線只有一個交點，此時直線與拋物線的對稱軸平行. （3）設直線與圓錐曲線的交點A（，），B（，），則，. 2. 直線y＝kx＋b(k≠0)與橢圓相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，則弦長|AB|＝ |x1－x2|＝ ＝|y1－y2|＝. 【規(guī)律方法技巧】 1.在處理直線與圓錐曲線的位置關系問題時，常用設而不求法，即常將圓錐曲線與直線聯(lián)立，消去（或）化為關于（或）的一元二次方程，設出直線與圓錐曲線的交點坐標，則交點的橫（縱）坐標即為上述一元二次方程的解，利用根與系數(shù)關系，將，表示出來，注意判別式大于零不能丟，然后根據(jù)問題，再通過配湊將其化為關于與的式子，將，代入再用有關方法取處理，注意用向量法處理共線問題、垂直問題及平行問題. 2.再處理直線與圓錐曲線位置關系問題時，首先確定直線的斜率，若不能確定，則需要分成直線斜率存在與不存在兩種情況討論，也可以將直線方程設為，避免分類討論. 3.定點與定值問題處理方法有兩種： （1）從特殊入手，求出定點（定值），再證明這個定點（定值）與變量無關. (2)直接推理、計算，并在計算過程中消去變量，從而得到定點（定值）. 4.最值問題常見解法有兩種： （1）幾何法：若題中的條件與結(jié)論有明顯的幾何特征和意義，則考慮利用圖形的幾何性質(zhì)來解決，如三角不等式、圓錐曲線的定義等. (2)代數(shù)法：利用相關知識和方法結(jié)合題中的條件，建立目標函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)、不等式或?qū)?shù)知識求出這個函數(shù)的最值. 5.參數(shù)范圍問題常見解法有兩種： （1）不等式法：利用題意結(jié)合圖形列出所討論參數(shù)滿足的不等式（組），通過解不等式（組）解出參數(shù)的范圍，注意判別式大于0不能遺漏. (2)函數(shù)最值法：利用題中條件和相關知識，將所討論參數(shù)表示為某個變量的函數(shù)，通過討論這個函數(shù)的值域求出該參數(shù)的范圍. 6.對探索性問題，先假設存在，依此為基礎推理，若推出矛盾，則不存在，求出值，則存在. 7. 直線與圓錐曲線位置關系中的中點弦問題常用點差法和參數(shù)法. 【考點針對訓練】 1.【2016屆邯鄲市一中高三十研】已知橢圓過點，離心率為，點分別為其左右焦點． （1）求橢圓的標準方程； （2）若上存在兩個點，橢圓上有兩個點滿足三點共線，三點共線，且，求四邊形面積的最小值． （2）當直線斜率不存在時，直線的斜率為0，易得． 當直線2.【2016年江西省九江市三模】如圖所示，已知橢圓，⊙，點是橢圓的左頂點 直線與⊙相切于點. （1）求橢圓的方程； （2）若⊙的切線與橢圓相交于兩點，求面積的取值范圍. 【解析】（1）∵在⊙上，∴.又是⊙的切線，∴，即，解得.∴橢圓的方程為. 【應試技巧點撥】 １．求圓錐曲線方程的方法 求曲線方程的常見方法： (1)直接法：直接法是將動點滿足的幾何條件或者等量關系，直接坐標化，列出等式化簡即得動點軌跡方程 (2)定義法：若動點軌跡的條件符合某一基本軌跡的定義(如橢圓、雙曲線、拋物線、圓等)，可用定義直接探求 (3)相關點法：即利用動點是定曲線上的動點，另一動點依賴于它，那么可尋求它們坐標之間的關系，然后代入定曲線的方程進行求解根據(jù)相關點所滿足的方程，通過轉(zhuǎn)換而求動點的軌跡方程 (4)參數(shù)法：若動點的坐標()中的分別隨另一變量的變化而變化，我們可以以這個變量為參數(shù)，建立軌跡的參數(shù)方程.根據(jù)題中給定的軌跡條件，用一個參數(shù)來分別動點的坐標，間接地把坐標聯(lián)系起來，得到用參數(shù)表示的方程.如果消去參數(shù)，就可以得到軌跡的普通方程. 注意：(1)求曲線的軌跡與求曲線的軌跡方程的區(qū)別：求曲線的軌跡是在求出曲線軌跡方程后，再進一步說明軌跡是什么樣的曲線.(2)求軌跡方程，一定要注意軌跡的純粹性和完備性.要注意區(qū)別“軌跡”與“軌跡方程”是兩個不同的概念. (5)待定系數(shù)法：①頂點在原點，對稱軸為坐標軸的拋物線，可設為或()，避開對焦點在哪個半軸上的分類討論，此時不具有的幾何意義． ②中心在坐標原點，焦點在坐標軸上，橢圓方程可設為 ()，雙曲線方程可設為 ()．這樣可以避免繁瑣的計算． 利用以上設法，根據(jù)所給圓錐曲線的性質(zhì)求出參數(shù)，即得方程． 2．最值或范圍問題的解決方法 解析幾何中的最值問題涉及的知識面較廣，解法靈活多樣，但最常用的方法有以下幾種： (1)利用函數(shù)，尤其是二次函數(shù)求最值； (2)利用三角函數(shù)，尤其是正、余弦函數(shù)的有界性求最值； (3)利用不等式，尤其是基本不等式求最值； (4)利用判別式求最值； (5)利用數(shù)形結(jié)合，尤其是切線的性質(zhì)求最值． 3．求定值問題的方法 定值問題是解析幾何中的一種常見問題，基本的求解方法是：先用變量表示所需證明的不變量，然后通過推導和已知條件，消去變量，得到定值，即解決定值問題首先是求解非定值問題，即變量問題，最后才是定值問題． 4． 有關弦的問題 (1)有關弦長問題，應注意運用弦長公式及根與系數(shù)的關系，“設而不求”；有關焦點弦長問題，要重視圓錐曲線定義的運用，以簡化運算． ①斜率為的直線與圓錐曲線交于兩點，，則所得弦長或，其中求與時通常使用根與系數(shù)的關系，即作如下變形： ，. ②當斜率不存在時，可求出交點坐標，直接運算(利用兩點間距離公式)． (2)弦的中點問題 有關弦的中點問題，應靈活運用“點差法”，“設而不求法”來簡化運算． 5.圓錐曲線的定義反映了它們的基本特征，理解定義是掌握其性質(zhì)的基礎.因此，對于圓錐曲線的定義不僅要熟記，還要深入理解細節(jié)部分：比如橢圓的定義中要求，雙曲線的定義中要求. 6.解決直線與圓錐曲線位置關系問題的步驟： (1)設方程及點的坐標； (2)聯(lián)立直線方程與曲線方程得方程組，消元得方程(注意二次項系數(shù)是否為零)； (3)應用根與系數(shù)的關系及判別式； (4)結(jié)合已知條件、中點坐標公式、斜率公式及弦長公式求解 7.解析幾何解題的基本方法 解決圓錐曲線綜合題，關鍵是熟練掌握每一種圓錐曲線的定義、標準方程、圖形與幾何性質(zhì)，注意挖掘知識的內(nèi)在聯(lián)系及其規(guī)律，通過對知識的重新組合，以達到鞏固知識、提高能力的目的.綜合題中常常離不開直線與圓錐曲線的位置，因此，要樹立將直線與圓錐曲線方程聯(lián)立，應用判別式、韋達定理的意識.解析幾何應用問題的解題關鍵是建立適當?shù)淖鴺讼?，合理建立曲線模型，然后轉(zhuǎn)化為相應的代數(shù)問題作出定量或定性的分析與判斷.常用的方法：數(shù)形結(jié)合法，以形助數(shù)，用數(shù)定形. 在與圓錐曲線相關的綜合題中，常借助于“平面幾何性質(zhì)”數(shù)形結(jié)合(如角平分線的雙重身份――對稱性、利用到角公式)、“方程與函數(shù)性質(zhì)”化解析幾何問題為代數(shù)問題、“分類討論思想”化整為零分化處理、“求值構(gòu)造等式、求變量范圍構(gòu)造不等關系”等等. 8.避免繁復運算的基本方法 可以概括為：回避，選擇，尋求.所謂回避，就是根據(jù)題設的幾何特征，靈活運用曲線的有關定義、性質(zhì)等，從而避免化簡方程、求交點、解方程等繁復的運算.所謂選擇，就是選擇合適的公式，合適的參變量，合適的坐標系等，一般以直接性和間接性為基本原則.因為對普通方程運算復雜的問題，用參數(shù)方程可能會簡單；在某一直角坐標系下運算復雜的問題，通過移軸可能會簡單；在直角坐標系下運算復雜的問題，在極坐標系下可能會簡單“所謂尋求”. 9. 解析幾何與向量綜合時可能出現(xiàn)的向量內(nèi)容： （1）給出直線的方向向量或； （2）給出與相交,等于已知過的中點; （3）給出,等于已知是的中點; （4）給出,等于已知與的中點三點共線; （5） 給出以下情形之一：①；②存在實數(shù)；③若存在實數(shù),等于已知三點共線； （6） 給出，等于已知是的定比分點，為定比，即； （7） 給出,等于已知,即是直角,給出,等于已知是鈍角, 給出,等于已知是銳角； （8）給出,等于已知是的平分線； （9）在平行四邊形中，給出，等于已知是菱形; （10）在平行四邊形中，給出，等于已知是矩形; （11）在中，給出，等于已知是的外心（三角形外接圓的圓心，三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點）； （12）在中，給出，等于已知是的重心（三角形的重心是三角形三條中線的交點）； （13）在中，給出，等于已知是的垂心（三角形的垂心是三角形三條高的交點）； （14）在中，給出等于已知通過的內(nèi)心； （15）在中，給出等于已知是的內(nèi)心（三角形內(nèi)切圓的圓心，三角形的內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點）； （16）在中，給出,等于已知是中邊的中線. 10．定點、定值問題必然是在變化中所表現(xiàn)出來的不變的量，那么就可以用變化的量表示問題的直線方程、數(shù)量積、比例關系等，這些直線方程、數(shù)量積、比例關系不受變化的量所影響的一個點、一個值，就是要求的定點、定值．化解這類問題難點的關鍵就是引進變的參數(shù)表示直線方程、數(shù)量積、比例關系等，根據(jù)等式的恒成立、數(shù)式變換等尋找不受參數(shù)影響的量． 11．解決圓錐曲線中最值、范圍問題的基本思想是建立目標函數(shù)和建立不等關系，根據(jù)目標函數(shù)和不等式求最值、范圍，因此這類問題的難點，就是如何建立目標函數(shù)和不等關系．建立目標函數(shù)或不等關系的關鍵是選用一個合適變量，其原則是這個變量能夠表達要解決的問題，這個變量可以是直線的斜率、直線的截距、點的坐標等，要根據(jù)問題的實際情況靈活處理. 二年模擬 1. 【山西省榆林市高三第二次模擬】已知拋物線的準線與雙曲線交于、兩點，點為拋物線的焦點，若為直角三角形，則雙曲線離心率為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由題意得：而，選C. 2. 【2016年山西四校高三第三次聯(lián)考】已知雙曲線的左、右兩個焦點分別為為其左、右頂點，以線段為直徑的圓與雙曲線的漸近線在第一象限的交點為，且,則雙曲線的離心率 為（ ） A. 　B. 　C. D. 【答案】B 3. 【2016年山西省四校高三聯(lián)考】已知雙曲線的兩頂點為，虛軸兩端點為，兩焦點為，. 若以為直徑的圓內(nèi)切于菱形，則雙曲線的離心率為（ ） A. B. C. D. 【答案】C 4. 【2016屆湖北省武漢市武昌區(qū)高三5月調(diào)研考試】已知橢圓的離心率為，過右焦點且斜率為的直線與相交于兩點，若，則（ ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【解析】因為，所以，所以，，則橢圓方程＝1變?yōu)椋O，又＝3，所以，所以，即．因為在橢圓上，所以 ①， ②． 由①－9②，得，所以，所以，所以，，從而，，所以，，故，故選B． 5. 【2016屆安徽六安一中高三下學期第三次模擬】如圖所示，橢圓的左，右頂點分別為，線段是垂直于橢圓長軸的弦，連接相交于點，則點的軌跡方程為____________． 【答案】 6.【2016屆天津市和平區(qū)高三第四次模擬】已知雙曲線的漸近線上的一點到其右焦點的距離等于2，拋物線過點，則該拋物線的方程為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，右焦點點A在軸右側(cè)，雙曲線的漸近線方程為，設，，解得，有在拋物線上，則，得，該拋物線的方程為.選B. 7. 【2016屆湖北省黃岡中學高三5月一模】已知點是拋物線與圓在第一象限的公共點，且點到拋物線焦點的距離等于，若拋物線上一動點到其準線與到點的距離之和的最小值為，為坐標原點，則直線被圓所截得的弦長為（ ） A．2 B． C． D． 【答案】C 8.【2016年安慶市高三二模】已知圓的圓心是橢圓（）的右焦點,過橢圓的左焦點和上頂點的直線與圓相切． （I）求橢圓的方程； （II）橢圓上有兩點、,、斜率之積為,求的值． 9. 【2016屆浙江省杭州市學軍中學高三5月模擬】已知拋物線，過點 的動直線 與相交于 兩點，拋物線在點 和點 處的切線相交于點 ，直線 與 軸分別相交于點 . （1）寫出拋物線的焦點坐標和準線方程； （2）求證：點 在直線上； （3）判斷是否存在點，使得四邊形為矩形？若存在，求出點 的坐標；若不存在，說明理由. 10. 【2016年江西師大附中高三上學期期末】已知橢圓C：，其右焦點，離心率為． （Ⅰ）求橢圓C的標準方程； （Ⅱ）已知直線與橢圓C交于不同的兩點，且線段的中點不在圓內(nèi)， 求的取值范圍． 11.【2015屆陜西省西安市第一中學高三下學期自主命題二】已知拋物線y2＝8x的焦點F到雙曲線C：漸近線的距離為，點P是拋物線y2 ＝8x上的一動點，P到雙曲線C的上焦點F1（0，c）的距離與到直線x=-2 的距離之和的最小值為3，則該雙曲線的方程為 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由題意可知，拋物線的焦點為，準線方程為，雙曲線C的漸近線方程為，即，所以，即，又點到直線的距離等于點到點的距離，設點到直線的距離為，則，所以，所以，即雙曲線方程為，故選C． 12.【2015屆吉林省吉林市高三第三次模擬考試】已知直線與拋物線交于A，B兩點，點P為直線l上一動點，M，N是拋物線C上兩個動點，若，， 則△PMN的面積的最大值為 . 【答案】 13.【2015屆吉林省東北師大附中高三第四次模擬】我們把焦點相同，且離心率互為倒數(shù)的橢圓和雙曲線稱為一對“相關曲線”．已知是一對相關曲線的焦點，是橢圓和雙曲線在第一象限的交點，當時，這一對相關曲線中橢圓的離心率為（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】A 【解析】設由余弦定理得：，所以，即，選A. 14.【2015屆浙江省桐鄉(xiāng)一中高三下學期聯(lián)盟學校高考仿真測試】已知橢圓 的右焦點為，離心率為．設A，B為橢圓上關于原點對稱的兩點，的中點為M，的中點為N，原點在以線段為直徑的圓上．設直線AB的斜率為k，若，則的取值范圍為 ． 【答案】 15.【2015屆福建省龍巖市一中高三下學期考前模擬】如圖，在平面直角坐標系中，離心率為的橢圓的左頂點為，過原點的直線（與坐標軸不重合）與橢圓交于兩點，直線分別與軸交于兩點．若直線斜率為時，． （Ⅰ）求橢圓的標準方程； （Ⅱ）試問以為直徑的圓是否經(jīng)過定點（與直線的斜率無關）？請證明你的結(jié)論． 拓展試題以及解析 1. 已知橢圓的離心率，半焦距為，拋物線的準線方程為，則橢圓的標準方程為（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 ∵拋物線的準線方程為，∴，即，∵，∴，∴.∴，∴橢圓的標準方程為，選B. 【入選理由】本題主要考查橢圓的方程及幾何性質(zhì), 拋物線的方程及幾何性質(zhì)等基礎知識，意在考查學生分析問題、解決問題的能力、基本運算能力及推理能力，轉(zhuǎn)化與化歸能力，本題是橢圓與 拋物線結(jié)合，體現(xiàn)學科內(nèi)綜合,故選此題. 2.已知雙曲線一焦點與拋物線的焦點F相同，若拋物線的焦點到雙曲線的漸近線的距離為1，P為雙曲線左支上一動點，Q（1,3），則|PF|+|PQ|的最小值為 （ ） A. B. C.4 D. 【答案】D 【入選理由】本題主要考查雙曲線的方程及幾何性質(zhì), 拋物線的方程及幾何性質(zhì)等基礎知識，意在考查學生分析問題、解決問題的能力、基本運算能力及推理能力，轉(zhuǎn)化與化歸能力，數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想,本題是雙曲線與拋物線結(jié)合，體現(xiàn)學科內(nèi)綜合,故選此題. 3．已知拋物線C的頂點為原點，對稱軸為x軸，與橢圓交于M，N兩點，M，N兩點關于x軸對稱，其中M（1,2），過拋物線C焦點的直線與交于在軸上方）兩點，且．則的面積為（ ） A. B. C. D.3 【答案】A 【入選理由】本題主要考查橢圓的方程及幾何性質(zhì), 拋物線的方程及幾何性質(zhì)，三角形面積，解直角三角形等基礎知識，意在考查學生分析問題、解決問題的能力、基本運算能力及推理能力，轉(zhuǎn)化與化歸能力，本題是橢圓與拋物線結(jié)合，體現(xiàn)學科內(nèi)綜合,故選此題. 4.已知橢圓C的一焦點與的焦點重合，點在橢圓C上．直線過點，且與橢圓C交于，兩點． （1）求橢圓C的方程； （2）點滿足,點為坐標原點，延長線段與橢圓C交于點，四邊形能否為平行四邊形？若能，求出此時直線的方程，若不能，說明理由． 【解析】（1）拋物線的焦點為，故得，解得. 所以橢圓的方程為 法二：（1）當直線與軸垂直時，直線的方程為滿足題意；（2）當直線與軸不垂直時，設直線，顯然，，，．將代入得，故，.四邊形為平行四邊形當且僅當線段與線段互相平分，即，則. 由直線，過點，得.則，即解得解得滿足所以直線的方程為時，四邊形為平行四邊形．綜上所述：直線的方程為或 . 【入選理由】本題主要考查橢圓的標準方程及幾何性質(zhì)，拋物線的方程及幾何性質(zhì)，直線方程，直線與橢圓的位置關系，探索性命題等基礎知識，意在考查學生分析問題、解決問題的能力、基本運算能力及推理能力，轉(zhuǎn)化與化歸能力，本題是綜合性較強，體現(xiàn)壓柱題作用，故選此題. 5.已知雙曲線:的漸近線方程為，拋物線的頂點為坐標原點，焦 點在軸上，點為雙曲線與拋物線的一個公共點. （Ⅰ）求雙曲線與拋物線的方程； (Ⅱ) 過拋物線的焦點作兩條相互垂直的直線，，與拋物線分別交于點、，、. (ⅰ)若直線與直線的傾斜角互補（點，不同于點），求直線的斜率； (ⅱ)是否存在常數(shù)，使得？若存在，試求出的值；若不存在，請說明 理由. (Ⅱ)（?。┰O直線的斜率為，顯然，則其方程為.聯(lián)立方程得，消得，，設、，則由根與系數(shù)的關系得:，. 由直線與直線的傾斜角互補可得，即，又，， 故， 故，即，整理得，即，整理得，解得. 6.已知拋物線的焦點為，直線與軸的交點為，與拋物線的交點為，且．已知橢圓的右焦點與拋物線的焦點重合，且離心率為． (Ⅰ)求拋物線和橢圓的標準方程； (Ⅱ)若橢圓的長軸的兩端點為，，點為橢圓上異于，的動點，定直線與直線，分別交于，兩點.請問以為直徑的圓是否經(jīng)過軸上的定點，若存在，求出定點坐標；若不存在，請說明理由. 【解析】(Ⅰ)設，代入，得，∴.又，即，∴． ∴拋物線的標準方程為．在橢圓中，，，∴，．∴橢圓的標準方程為． 【入選理由】本題主要考查橢圓的標準方程及幾何性質(zhì)，拋物線的方程及幾何性質(zhì)，直線方程，直線與橢圓的位置關系，圓的方程等基礎知識，意在考查學生分析問題、解決問題的能力、基本運算能力及推理能力，轉(zhuǎn)化與化歸能力，本題是綜合性較強，體現(xiàn)壓柱題作用，故選此題. 7.已知是橢圓左右焦點，過的直線交橢圓于兩點，△的周長為8，橢圓的離心率為. （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）若直線與橢圓交于且，求證原點到直線的距離為定值． 【解析】（Ⅰ）由橢圓的定義知=8，所以=2，由橢圓的離心率為知，，∴， ∴=3， ∴橢圓的方程為； （Ⅱ）當存在時，設， 【入選理由】本題主要考查橢圓的定義，標準方程及幾何性質(zhì)，直線方程，直線與橢圓的位置關系，向量垂直的充要條件等基礎知識，意在考查學生分析問題、解決問題的能力、基本運算能力及推理能力，轉(zhuǎn)化與化歸能力，本題是綜合性較強，體現(xiàn)壓柱題作用，故選此題. 8．已知橢圓：的一個焦點與拋物線的焦點相同，為橢圓的左、右焦點，為橢圓上任意一點，面積的最大值為1. (1)求橢圓的標準方程； (2)設不過原點的直線：與橢圓交于兩點 ①若直線與的斜率分別為，且，求證：直線過定點，并求出該定點的坐標； ②若直線的斜率是直線斜率的等比中項，求面積的取值范圍. 【解析】（1）由拋物線的方程為得其焦點坐標為，所以可得橢圓中， 當點位于橢圓的短軸端點時的面積最大，此時，所以，又由得，所以橢圓的標準方程為. 【入選理由】本題主要考查橢圓的標準方程，拋物線的方程，直線方程，直線與橢圓的位置關系，三角形面積，等比中項等基礎知識，意在考查學生分析問題、解決問題的能力、基本運算能力及推理能力，轉(zhuǎn)化與化歸能力，本題是綜合性較強，體現(xiàn)壓柱題作用，故選此題.