高考數(shù)學（四海八荒易錯集）專題03 函數(shù)的圖像與性質(zhì) 文

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專題03 函數(shù)的圖像與性質(zhì) 1．(2016課標全國乙)函數(shù)y＝2x2－e|x|在[－2,2]的圖象大致為(　　) 答案　D 解析　f(2)＝8－e2>8－2.82>0，排除A；f(2)＝8－e2<8－2.72<1，排除B；當x>0時，f(x)＝2x2－ex，f′(x)＝4x－ex，當x∈時，f′(x)<4－e0＝0，因此f(x)在上單調(diào)遞減，排除C，故選D. 2．(2016山東)已知函數(shù)f(x)的定義域為R，當x<0時，f(x)＝x3－1；當－1≤x≤1時，f(－x)＝－f(x)；當x>時，f＝f，則f(6)等于(　　) A．－2B．－1C．0D．2 答案　D 3．(2016上海)設(shè)f(x)，g(x)，h(x)是定義域為R的三個函數(shù)，對于命題：①若f(x)＋g(x)，f(x)＋h(x)，g(x)＋h(x)均為增函數(shù)，則f(x)，g(x)，h(x)中至少有一個為增函數(shù)；②若f(x)＋g(x)，f(x)＋h(x)，g(x)＋h(x)均是以T為周期的函數(shù)，則f(x)，g(x)，h(x)均是以T為周期的函數(shù)，下列判斷正確的是(　　) A．①和②均為真命題 B．①和②均為假命題 C．①為真命題，②為假命題 D．①為假命題，②為真命題 答案　D 解析　①不成立，可舉反例， f(x)＝ g(x)＝ h(x)＝ ②f(x)＋g(x)＝f(x＋T)＋g(x＋T)， f(x)＋h(x)＝f(x＋T)＋h(x＋T)， g(x)＋h(x)＝g(x＋T)＋h(x＋T)， 前兩式作差，可得g(x)－h(huán)(x)＝g(x＋T)－h(huán)(x＋T)， 結(jié)合第三式，可得g(x)＝g(x＋T)，h(x)＝h(x＋T)， 也有f(x)＝f(x＋T)． ∴②正確．故選D. 4．(2016北京)設(shè)函數(shù)f(x)＝ (1)若a＝0，則f(x)的最大值為________； (2)若f(x)無最大值，則實數(shù)a的取值范圍是________． 答案　(1)2　(2)(－∞，－1) (2)f(x)的兩個函數(shù)在無限制條件時圖象如圖． 由(1)知，當a≥－1時，f(x)取得最大值2. 當a＜－1時，y＝－2x在x＞a時無最大值，且－2a＞2. 所以a＜－1. 5．已知a>0，且a≠1，函數(shù)y＝ax與y＝loga(－x)的圖象只能是圖中的(　　) 答案　B 6．定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(－x)＝－f(x)，f(x－2)＝f(x＋2)，且x∈(－1,0)時，f(x)＝2x＋，則f(log220)等于(　　) A．1B.C．－1D．－ 答案　C 解析　由f(x－2)＝f(x＋2)?f(x)＝f(x＋4)， 因為4－1，且x≠0}． 令g(x)＝ln(x＋1)－x，則g′(x)＝－1＝， 當－10； 當x>0時，g′(x)<0. ∴f(x)在區(qū)間(－1,0)內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間(0，＋∞)內(nèi)為增函數(shù)，對照各選項，只有B符合． 方法二　本題也可取特值，用排除法求解： f(2)＝<0，排除A. f＝＝<0，排除C，D，選B. 8．已知函數(shù)h(x)(x≠0)為偶函數(shù)，且當x>0時，h(x)＝若h(t)>h(2)，則實數(shù)t的取值范圍為________． 答案　(－2,0)∪(0,2) 易錯起源1、函數(shù)的性質(zhì)及應用 例1、(1)已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且在[0,2]上單調(diào)遞增，若f(log2m)，又a<0，所以a<－. 二次函數(shù)f′(x)的圖象的對稱軸為x＝； 三次函數(shù)g(x)＝a2x3－2ax2＋x＋a， 所以g′(x)＝3a2x2－4ax＋1＝3a2， 令g′(x)>0，得x<或x>， 令g′(x)<0，得， 所以選項B的圖象是錯誤的，故選B. 【變式探究】(1)函數(shù)f(x)＝cosx (－π≤x≤π且x≠0)的圖象可能為(　　) (2)已知三次函數(shù)f(x)＝2ax3＋6ax2＋bx的導函數(shù)為f′(x)，則函數(shù)f(x)與f′(x)的圖象可能是(　　) 答案　(1)D　(2)B 【名師點睛】 (1)根據(jù)函數(shù)的解析式判斷函數(shù)的圖象，要從定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性等方面入手，結(jié)合給出的函數(shù)圖象進行全面分析，有時也可結(jié)合特殊的函數(shù)值進行輔助推斷，這是解決函數(shù)圖象判斷此類試題的基本方法． (2)判斷復雜函數(shù)的圖象，常借助導數(shù)這一工具，先對原函數(shù)進行求導，再利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、極值或最值，從而對選項進行篩選．要注意函數(shù)求導之后，導函數(shù)發(fā)生了變化，故導函數(shù)和原函數(shù)定義域會有所不同，我們必須在原函數(shù)的定義域內(nèi)研究函數(shù)的極值和最值． 【錦囊妙計，戰(zhàn)勝自我】 1．作函數(shù)圖象有兩種基本方法：一是描點法，二是圖象變換法，其中圖象變換有平移變換、伸縮變換、對稱變換． 2．利用函數(shù)圖象可以判斷函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，作圖時要準確畫出圖象的特點． 易錯起源3、基本初等函數(shù)的圖象和性質(zhì) 例3、(1)設(shè)a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50. 6，則a，b，c的大小關(guān)系是(　　) A．a(chǎn)＜b＜c B．a(chǎn)＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a (2)若函數(shù)若f(a)>f(－a)，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1) 答案　(1)C　(2)C 解析　(1)根據(jù)指數(shù)函數(shù)y＝0.6x在R上單調(diào)遞減可得0.61.5＜0.60.6＜0.60＝1，根據(jù)指數(shù)函數(shù)y＝1.5x在R上單調(diào)遞增可得1.50.6＞1.50＝1，∴b＜a＜c. (2)方法一　由題意作出y＝f(x)的圖象如圖． 顯然當a>1或－1f(－a)． 故選C. 方法二　對a分類討論： 當a>0時，∴a>1. 當a<0時，∴0<－a<1， ∴－1b>c B．c>b>a C．c>a>b D．a(chǎn)>c>b 答案　(1)D　(2)C 解析　(1)方法一　分a>1,01時，y＝xa與y＝logax均為增函數(shù)，但y＝xa遞增較快，排除C； 當01，而此時冪函數(shù)f(x)＝xa的圖象應是增長越來越快的變化趨勢，故C錯． (2)構(gòu)造函數(shù)g(x)＝xf(x)，則g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，當x∈(－∞，0)時，g′(x)<0，所以函數(shù)y＝g(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減．因為函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于坐標原點對稱，所以y＝f(x)是奇函數(shù)，由此可知函數(shù)y＝g(x)是偶函數(shù)．根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)，可知函數(shù)y＝g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．又a＝g(20.2)，b＝g(ln2)，c＝g(－2)＝g(2)，由于ln2<20.2<2，所以c>a>b. 【名師點睛】 (1)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)是高考的必考內(nèi)容之一，重點考查圖象、性質(zhì)及其應用，同時考查分類討論、等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想方法及其運算能力． (2)比較代數(shù)式大小問題，往往利用函數(shù)圖象或者函數(shù)的單調(diào)性． 【錦囊妙計，戰(zhàn)勝自我】 1．指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，a≠1)與對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，a≠1)的圖象和性質(zhì)，分01兩種情況，著重關(guān)注兩函數(shù)圖象中的兩種情況的公共性質(zhì)． 2．冪函數(shù)y＝xα的圖象和性質(zhì)，主要掌握α＝1,2,3，，－1五種情況． 1．下列函數(shù)中，既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)的是(　　) A．y＝ B．y＝x＋ C．y＝2x＋ D．y＝x＋ex 答案　D 解析　令f(x)＝x＋ex，則f(1)＝1＋e，f(－1)＝－1＋e－1，即f(－1)≠f(1)，f(－1)≠－f(1)，所以y＝x＋ex既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，而A、B、C依次是偶函數(shù)、奇函數(shù)、偶函數(shù)，故選D. 2．下列函數(shù)中，滿足“f(x＋y)＝f(x)f(y)”的單調(diào)遞增函數(shù)是(　　) A．f(x)＝x B．f(x)＝x3 C．f(x)＝()x D．f(x)＝3x 答案　D 3．函數(shù)f(x)＝x＋cosx的大致圖象是(　　) 答案　B 解析　∵f(x)＝x＋cosx，∴f(－x)＝－x＋cosx， ∴f(－x)≠f(x)，且f(－x)≠－f(x)， 故函數(shù)f(x)是非奇非偶函數(shù)，排除A、C； 當x＝時，x＋cosx＝＝x， 即f(x)的圖象與直線y＝x的交點中有一個點的橫坐標為，排除D.故選B. 4．已知函數(shù)f(x)＝的值域為R，那么a的取值范圍是(　　) A．(－∞，－1] B. C. D. 答案　C 解析　要使函數(shù)f(x)的值域為R， 需使　所以 所以－1≤a<，故選C. 5．設(shè)f(x)是定義在實數(shù)集R上的函數(shù)，滿足條件y＝f(x＋1)是偶函數(shù)，且當x≥1時，f(x)＝ x－1，則f，f，f的大小關(guān)系是(　　) A．f>f>f B．f>f>f C．f>f>f D．f>f>f 答案　A 解析　函數(shù)y＝f(x＋1)是偶函數(shù)， 所以f(－x＋1)＝f(x＋1)，即函數(shù)關(guān)于x＝1對稱． 所以f＝f，f＝f， 當x≥1時，f(x)＝x－1單調(diào)遞減， 所以由<<，可得f>f>f. 即f>f>f，故選A. 6．已知符號函數(shù)sgnx＝f(x)是R上的增函數(shù)，g(x)＝f(x)－f(ax)(a>1)，則(　　) A．sgn[g(x)]＝sgn x B．sgn[g(x)]＝－sgn x C．sgn[g(x)]＝sgn[f(x)] D．sgn[g(x)]＝－sgn[f(x)] 答案　B 解析　因為a>1，所以當x>0時，x0，sgn[g(x)]＝1＝－sgnx；當x＝0時，g(x)＝0，sgn[g(x)]＝0＝－sgnx也成立．故B正確． 7．設(shè)函數(shù)f(x)＝x|x－a|，若對?x1，x2∈[3，＋∞)，x1≠x2，不等式>0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(－∞，－3] B．[－3,0) C．(－∞，3] D．(0,3] 答案　C 8.如圖所示的圖形是由一個半徑為2的圓和兩個半徑為1的半圓組成的，它們的圓心分別是O，O1，O2，動點P從A點出發(fā)沿著圓弧按A→O→B→C→A→D→B的路線運動(其中A，O，O1，O2，B五點共線)，記點P運動的路程為x，設(shè)y＝|O1P|2，y與x的函數(shù)關(guān)系為y＝f(x)，則y＝f(x)的大致圖象是(　　) 答案　A 解析　當x∈[0，π]時，y＝1. 當x∈(π，2π)時，＝－，設(shè)與的夾角為θ，||＝1，||＝2，所以θ＝x－π，所以y＝||2＝(－)2＝5－4cosθ＝5＋4cosx，x∈(π，2π)，所以函數(shù)y＝f(x)的圖象是曲線，且單調(diào)遞增，排除C，D. 當x∈[2π，4π)時，因為＝－，設(shè)，的夾角為α，||＝2，||＝1，所以α＝2π－x，所以y＝||2＝(－)2＝5－4cosα＝5－4cosx，x∈[2π，4π)，所以函數(shù)y＝f(x)的圖象是曲線，且單調(diào)遞減，排除B.故選A. 9．給出下列四個函數(shù)： ①y＝2x；②y＝log2x；③y＝x2；④y＝. 當0恒成立的函數(shù)的序號是________． 答案?、冖? 解析　由題意知，滿足條件的函數(shù)圖象形狀為： 故符合圖象形狀的函數(shù)為y＝log2x，y＝. 10．已知f(x)＝在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)，那么實數(shù)a的取值范圍是________． 答案　 解析　由題意得解得≤a<3. 11．能夠把圓O：x2＋y2＝16的周長和面積同時分為相等的兩部分的函數(shù)稱為圓O的“和諧函數(shù)”，下列函數(shù)是圓O的“和諧函數(shù)”的是________． ①f(x)＝ex＋e－x； ②f(x)＝ln； ③f(x)＝tan； ④f(x)＝4x3＋x. 答案?、冖邰? 12．已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋1(a>0)，F(xiàn)(x)＝若f(－1)＝0，且對任意實數(shù)x均有f(x)≥0成立． (1)求F(x)的表達式； (2)當x∈[－2,2]時，g(x)＝f(x)－kx是單調(diào)函數(shù)，求k的取值范圍． 解　(1)∵f(－1)＝0，∴a－b＋1＝0， ∴b＝a＋1， ∴f(x)＝ax2＋(a＋1)x＋1. ∵f(x)≥0恒成立， ∴ 即 ∴a＝1，從而b＝2， ∴f(x)＝x2＋2x＋1， ∴F(x)＝ (2)由(1)知，g(x)＝x2＋2x＋1－kx＝x2＋(2－k)x＋1. ∵g(x)在[－2,2]上是單調(diào)函數(shù)， ∴≤－2或≥2， 解得k≤－2或k≥6. ∴k的取值范圍是(－∞，－2]∪[6，＋∞)．