高考數(shù)學 考前3個月知識方法專題訓練 第二部分 技巧規(guī)范篇 第一篇 快速解答選擇填空題 第1講 六招求解選擇題 文

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第1講　六招求解選擇題 [題型分析高考展望]　選擇題是高考試題的三大題型之一，其特點是：難度中低，小巧靈活，知識覆蓋面廣，解題只要結(jié)果不看過程．解選擇題的基本策略是：充分利用題干和選項信息，先定性后定量，先特殊再一般，先排除后求解，避免“小題大做”． 解答選擇題主要有直接法和間接法兩大類．直接法是最基本、最常用的方法，但為了提高解題的速度，我們還要研究解答選擇題的間接法和解題技巧． 高考必會題型 方法一　直接法 直接從題設(shè)條件出發(fā)，運用有關(guān)概念、性質(zhì)、定理、法則和公式等知識，通過嚴密地推理和準確地運算，從而得出正確的結(jié)論，然后對照題目所給出的選項“對號入座”，作出相應的選擇．涉及概念、性質(zhì)的辨析或運算較簡單的題目常用直接法． 例1　設(shè)雙曲線－＝1(a>0，b>0)的一個焦點為F，虛軸的一個端點為B，線段BF與雙曲線的一條漸近線交于點A，若＝2，則雙曲線的離心率為(　　) A．6 B．4 C．3 D．2 答案　D 解析　設(shè)點F(c,0)，B(0，b)， 由＝2，得－＝2(－)， 即＝(＋2)，所以點A(，)， 因為點A在漸近線y＝x上， 則＝，即e＝2. 點評　直接法是解答選擇題最常用的基本方法，直接法適用的范圍很廣，一般來說，涉及概念、性質(zhì)的辨析或運算比較簡單的題多采用直接法，只要運算正確必能得出正確的答案．提高用直接法解選擇題的能力，準確地把握題目的特點．用簡便的方法巧解選擇題，是建立在扎實掌握“三基”的基礎(chǔ)上的，在穩(wěn)的前提下求快，一味求快則會快中出錯． 變式訓練1　函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，－<φ<)的部分圖象如圖所示，則ω，φ的值分別是(　　) A．2，－ B．2，－ C．4，－ D．4， 答案　A 解析　由圖可知，＝－， 即T＝π，所以由T＝可得，ω＝2， 所以函數(shù)f(x)＝2sin(2x＋φ)， 又因為函數(shù)圖象過點(，2)， 所以2＝2sin(2＋φ)， 即2＋φ＝＋2kπ，k∈Z， 又因為－<φ<，所以φ＝－. 方法二　特例法 特例法是從題干(或選項)出發(fā)，通過選取特殊情況代入，將問題特殊化或構(gòu)造滿足題設(shè)條件的特殊函數(shù)或圖形位置，進行判斷．特殊化法是“小題小做”的重要策略，適用于題目中含有字母或具有一般性結(jié)論的選擇題，特殊情況可能是：特殊值、特殊點、特殊位置、特殊數(shù)列等． 例2　(1)已知O是銳角△ABC的外接圓圓心，∠A＝60，＋＝2m，則m的值為(　　) A. B. C．1 D. (2)已知函數(shù)f(x)＝若a，b，c均不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，則abc的取值范圍是(　　) A．(1,10) B．(5,6) C．(10,12) D．(20,24) 答案　(1)A　(2)C 解析　(1)如圖，當△ABC為正三角形時，A＝B＝C＝60，取D為BC的中點，＝， 則有＋＝2m， ∴(＋)＝2m， ∴2＝m， ∴m＝，故選A. (2)不妨設(shè)00，n＝1,2,3，…，且a5a2n－5＝22n(n≥3)，當n≥1時，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1等于(　　) A．n(2n－1) B．(n＋1)2 C．n2 D．(n－1)2 (2)如圖，在棱柱的側(cè)棱A1A和B1B上各有一動點P、Q滿足A1P＝BQ，過P、Q、C三點的截面把棱柱分成兩部分，則其體積之比為(　　) A．3∶1 B．2∶1 C．4∶1 D.∶1 答案　(1)C　(2)B 解析　(1)因為a5a2n－5＝22n(n≥3)， 所以令n＝3，代入得a5a1＝26， 再令數(shù)列為常數(shù)列，得每一項為8， 則log2a1＋log2a3＋log2a5＝9＝32. 結(jié)合選項可知只有C符合要求． (2)將P、Q置于特殊位置：P→A1，Q→B，此時仍滿足條件A1P＝BQ(＝0)，則有故過P，Q，C三點的截面把棱柱分成的兩部分的體積之比為2∶1. 方法三　排除法 排除法也叫篩選法或淘汰法，使用排除法的前提條件是答案唯一，具體的做法是采用簡捷有效的手段對各個備選答案進行“篩選”，將其中與題干相矛盾的干擾項逐一排除，從而獲得正確答案． 例3　(1)函數(shù)f(x)＝2|x|－x2的圖象為(　　) (2)函數(shù)f(x)＝ (0≤x≤2π)的值域是(　　) A. B．[－1,0] C．[－，－1] D. 答案　(1)D　(2)B 解析　(1)由f(－x)＝f(x)知函數(shù)f(x)是偶函數(shù)， 其圖象關(guān)于y軸對稱，排除選項A、C； 當x＝0時，f(x)＝1，排除選項B，故選D. (2)令sin x＝0，cos x＝1， 則f(x)＝＝－1，排除A，D； 令sin x＝1，cos x＝0，則f(x)＝＝0，排除C，故選B. 點評　排除法適用于定性型或不易直接求解的選擇題．當題目中的條件多于一個時，先根據(jù)某些條件在選項中找出明顯與之矛盾的予以否定，再根據(jù)另一些條件在縮小選項的范圍內(nèi)找出矛盾，這樣逐步篩選，直到得出正確的答案． 變式訓練3　(1)設(shè)f(x)＝若f(0)是f(x)的最小值，則a的取值范圍為(　　) A．[－1,2] B．[－1,0] C．[1,2] D．[0,2] (2)(2015浙江)函數(shù)f(x)＝cos x(－π≤x≤π且x≠0)的圖象可能為(　　) 答案　(1)D　(2)D 解析　(1)若a＝－1，則f(x)＝ 易知f(－1)是f(x)的最小值，排除A，B； 若a＝0，則f(x)＝易知f(0)是f(x)的最小值，故排除C.故D正確． (2)∵f(x)＝(x－)cos x，∴f(－x)＝－f(x)， ∴f(x)為奇函數(shù)，排除A，B；當x＝π時，f(x)＜0，排除C.故選D. 方法四　數(shù)形結(jié)合法 根據(jù)題設(shè)條件作出所研究問題的曲線或有關(guān)圖形，借助幾何圖形的直觀性作出正確的判斷，習慣上也叫數(shù)形結(jié)合法，有些選擇題可通過命題條件中的函數(shù)關(guān)系或幾何意義，作出函數(shù)的圖象或幾何圖形，借助于圖象或圖形的作法、形狀、位置、性質(zhì)等，綜合圖象的特征，得出結(jié)論． 例4　(1)已知非零向量a，b，c滿足a＋b＋c＝0，向量a，b的夾角為120，且|b|＝2|a|，則向量a與c的夾角為(　　) A．60 B．90 C．120 D．150 (2)定義在R上的奇函數(shù)f(x)和定義在{x|x≠0}上的偶函數(shù)g(x)分別滿足f(x)＝g(x)＝log2x(x>0)，若存在實數(shù)a，使得f(a)＝g(b)成立，則實數(shù)b的取值范圍是(　　) A．[－2,2] B．[－，0)∪(0，] C．[－2，－]∪[，2] D．(－∞，－2]∪[－2，＋∞) 答案　(1)B　(2)C 解析　(1)如圖， 因為〈a，b〉＝120，|b|＝2|a|，a＋b＋c＝0，所以在△OBC中，BC與CO的夾角為90，即a與c的夾角為90. (2)分別畫出函數(shù)f(x)和g(x)的圖象， 存在實數(shù)a，使得f(a)＝g(b)成立， 則實數(shù)b一定在函數(shù)g(x)使得兩個函數(shù)的函數(shù)值重合的區(qū)間內(nèi)， 故實數(shù)b的取值范圍是[－2，－]∪[，2]． 點評　圖解法是依靠圖形的直觀性進行分析的，用這種方法解題比直接計算求解更能抓住問題的實質(zhì)，并能迅速地得到結(jié)果．不過運用圖解法解題一定要對有關(guān)的函數(shù)圖象、幾何圖形較熟悉，否則錯誤的圖象反而會導致錯誤的選擇． 變式訓練4　(1)已知圓C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圓C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分別是圓C2，C1上的動點，P為x軸上的動點，則|PM|＋|PN|的最小值為(　　) A．5－4 B.－1 C．6－2 D. (2)已知函數(shù)f(x)＝與g(x)＝x3＋t，若f(x)與g(x)的交點在直線y＝x的兩側(cè)，則實數(shù)t的取值范圍是(　　) A．(－6,0] B．(－6,6) C．(4，＋∞) D．(－4,4) 答案　(1)A　(2)B 解析　(1)作圓C1關(guān)于x軸的對稱圓C1′：(x－2)2＋(y＋3)2＝1， 則|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PN′|， 由圖可知當點C2、M、P、N′、C1′在同一直線上時， |PM|＋|PN|＝|PM|＋|PN′|取得最小值， 即為|C1′C2|－1－3＝5－4. (2)根據(jù)題意可得函數(shù)圖象，g(x)在點A(2,2)處的取值大于2，在點B(－2，－2)處的取值小于－2，可得g(2)＝23＋t＝8＋t>2，g(－2)＝(－2)3＋t＝－8＋t<－2，解得t∈(－6,6)，故選B. 方法五　正難則反法 在解選擇題時，有時從正面求解比較困難，可以轉(zhuǎn)化為其反面的問題來解決，即將問題轉(zhuǎn)化為其對立事件來解決，實際上就是補集思想的應用． 例5　(1)設(shè)集合A＝{x|a－14} C．{a|a≤0或a≥6} D．{a|2≤a≤4} (2)已知二次函數(shù)f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1，若在[－1,1]上存在x使得f(x)>0，則實數(shù)p的取值范圍是(　　) A．[－，－]∪[1,3] B．[1,3] C．[－，3] D．(－3，) 答案　(1)A　(2)D 解析　(1)當A∩B＝?時， 由圖可知a＋1≤1或a－1≥5， 所以a≤0或a≥6， 故當A∩B≠?時，00， 即當x∈[－1,1]時，f(x)≤0恒成立， 則　即 解得 即p∈(－∞，－3]∪[，＋∞)， 其補集是(－3，)． 點評　應用正難則反法解題的關(guān)鍵在于準確轉(zhuǎn)化，適合于正面求解非常復雜或者無法判斷的問題． 變式訓練5　若函數(shù)y＝ex＋mx有極值，則實數(shù)m的取值范圍是(　　) A．(0，＋∞) B．(－∞，0) C．(1，＋∞) D．(－∞，1) 答案　B 解析　y′＝(ex＋mx)′＝ex＋m， 函數(shù)y＝ex＋mx沒有極值的充要條件是函數(shù)在R上為單調(diào)函數(shù)， 即y′＝ex＋m≥0(或≤0)恒成立， 而ex≥0，故當m≥0時， 函數(shù)y＝ex＋mx在R上為單調(diào)遞增函數(shù)， 不存在極值，所以函數(shù)存在極值的條件是m<0. 方法六　估算法 由于選擇題提供了唯一正確的選項，解答又無需過程．因此，有些題目不必進行準確的計算，只需對其數(shù)值特點和取值界限作出適當?shù)墓烙嫞隳茏鞒稣_的判斷，這就是估算法．估算法的關(guān)鍵是確定結(jié)果所在的大致范圍，否則“估算”就沒有意義．估算法往往可以減少運算量，但是提升了思維的層次． 例6　(1)已知x1是方程x＋lg x＝3的根，x2是方程x＋10x＝3的根，則x1＋x2等于(　　) A．6 B．3 C．2 D．1 (2)如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是邊長為3的正方形，EF∥AB，EF＝，EF與平面ABCD的距離為2，則該多面體的體積為(　　) A. B．5 C．6 D. 答案　(1)B　(2)D 解析　(1)因為x1是方程x＋lg x＝3的根，所以2a＝log23>1，b＝2>2，c＝3－<1，所以c1. 所以D正確． 高考題型精練 1．已知集合P＝{x|x2－2x≥0}，Q ＝{x|1＜x≤2}，則(?RP)∩Q等于(　　) A．[0,1) B．(0,2] C．(1,2) D．[1,2] 答案　C 解析　∵P＝{x|x≥2或x≤0}，?RP＝{x|0＜x＜2}， ∴(?RP)∩Q＝{x|1＜x＜2}，故選C. 2．(2015四川)下列函數(shù)中，最小正周期為π的奇函數(shù)是(　　) A．y＝sin B．y＝cos C．y＝sin 2x＋cos 2x D．y＝sin x＋cos x 答案　B 解析　A項，y＝sin＝cos 2x，最小正周期為π，且為偶函數(shù)，不符合題意； B項，y＝cos＝－sin 2x，最小正周期為π，且為奇函數(shù)，符合題意； C項，y＝sin 2x＋cos 2x＝sin，最小正周期為π，為非奇非偶函數(shù)，不符合題意； D項，y＝sin x＋cos x＝sin，最小正周期為2π，為非奇非偶函數(shù)，不符合題意． 3．已知雙曲線的一個焦點與拋物線x2＝24y的焦點重合，其一條漸近線的傾斜角為30，則該雙曲線的標準方程為(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 答案　B 解析　由題意知，拋物線的焦點坐標為(0,6)， 所以雙曲線的焦點坐標為(0,6)和(0，－6)， 所以雙曲線中c＝6， 又因為雙曲線的一條漸近線的傾斜角為30， 所以＝，所以＝， 又a2＋b2＝36，得a2＝9，b2＝27. 故選B. 4.圖中陰影部分的面積S是h的函數(shù)(0≤h≤H)，則該函數(shù)的大致圖象是(　　) 答案　B 解析　由題圖知，隨著h的增大，陰影部分的面積S逐漸減小，且減小得越來越慢，結(jié)合選項可知選B. 5．已知實數(shù)x，y滿足約束條件則z＝的取值范圍是(　　) A．[－1，] B．[－，] C．[－，＋∞) D．[－，1) 答案　B 解析　如圖， z＝表示可行域內(nèi)的動點P(x，y)與定點A(－1,1)連線的斜率． 6．函數(shù)f(x)的圖象向右平移1個單位長度，所得圖象與曲線y＝ex關(guān)于y軸對稱，則f(x)等于(　　) A．ex＋1 B．ex－1 C．e－x＋1 D．e－x－1 答案　D 解析　依題意，f(x)向右平移一個單位長度之后得到的函數(shù)是y＝e－x，于是f(x)相當于y＝e－x向左平移一個單位的結(jié)果，所以f(x)＝e－x－1. 7．已知棱長為1的正方體的俯視圖是一個面積為1的正方形，則該正方體的正視圖的面積不可能等于(　　) A．1 B. C. D. 答案　C 解析　由俯視圖知正方體的底面水平放置，其正視圖為矩形，以正方體的高為一邊長，另一邊長最小為1，最大為，面積范圍應為[1，]，不可能等于. 8．給出下面的程序框圖，若輸入的x的值為－5，則輸出的y值是(　　) A．－2 B．－1 C．0 D．1 答案　C 解析　由程序框圖得：若輸入的x的值為－5， ()－5＝25＝32>2， 程序繼續(xù)運行x＝－3，()－3＝23＝8>2， 程序繼續(xù)運行x＝－1，()－1＝2， 不滿足()x>2， ∴執(zhí)行y＝log2x2＝log21＝0， 故選C. 9．(2015山東)設(shè)函數(shù)f(x)＝則滿足f(f(a))＝2f(a)的a的取值范圍是(　　) A. B．[0,1] C. D．[1, ＋∞) 答案　C 解析　由f(f(a))＝2f(a)得，f(a)≥1. 當a<1時，有3a－1≥1，∴a≥，∴≤a<1. 當a≥1時，有2a≥1，∴a≥0，∴a≥1. 綜上，a≥，故選C. 10．等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1＜0，且S2 015＝0，則當Sn取得最小值時，n的取值為(　　) A．1 009 B．1 008 C．1 007或1 008 D．1 008或1 009 答案　C 解析　等差數(shù)列中，Sn的表達式為n的二次函數(shù)，且常數(shù)項為0，故函數(shù)Sn的圖象過原點，又a1＜0，且存在n＝2 015使得Sn＝0，可知公差d＞0，Sn圖象開口向上，對稱軸n＝，于是當n＝1 007或n＝1 008時，Sn取得最小值，選C. 11．已知四面體PABC的四個頂點都在球O的球面上，若PB⊥平面ABC，AB⊥AC，且AC＝1，PB＝AB＝2，則球O的表面積為(　　) A．7π B．8π C．9π D．10π 答案　C 解析　依題意，記題中的球的半徑是R，可將題中的四面體補形成一個長方體，且該長方體的長、寬、高分別是2,1,2，于是有(2R)2＝12＋22＋22＝9,4πR2＝9π，所以球O的表面積為9π. 12．已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若＝a1＋a200，且A，B，C三點共線(該直線不過點O)，則S200等于(　　) A．100 B．101 C．200 D．201 答案　A 解析　因為A，B，C三點共線，所以a1＋a200＝1， S200＝200＝100. 13．若動點P，Q在橢圓9x2＋16y2＝144上，O為原點，且滿足OP⊥OQ，則O到弦PQ的距離|OH|必等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　選一個特殊位置(如圖)，令OP、OQ分別在長、短正半軸上，由a2＝16，b2＝9得，|OP|＝4，|OQ|＝3，則|OH|＝.根據(jù)“在一般情況下成立，則在特殊情況下也成立”可知，選項C正確．故選C. 14．在拋物線y＝2x2上有一點P，它到A(1,3)的距離與它到焦點的距離之和最小，則點P的坐標是(　　) A．(－2,1) B．(1,2) C．(2,1) D．(－1,2) 答案　B 解析　如圖所示，直線l為拋物線y＝2x2的準線，F(xiàn)為其焦點，PN⊥l，AN1⊥l，由拋物線的定義知，|PF|＝|PN|， ∴|AP|＋|PF|＝|AP|＋|PN|≥|AN1|， 當且僅當A、P、N三點共線時取等號． ∴P點的橫坐標與A點的橫坐標相同即為1， 則可排除A、C、D，故選B. 15．已知函數(shù)f(x)＝ex－1，g(x)＝－x2＋4x－3.若f(a)＝g(b)，則b的取值范圍為(　　) A．[2－，2＋] B．(2－，2＋) C．[1,3] D．(1,3) 答案　B 解析　∵f(a)>－1，∴g(b)>－1， ∴－b2＋4b－3>－1， ∴b2－4b＋2<0， ∴2－1， 解得x<－1或x>1， 即不等式f(x2)<＋的解集是(－∞，－1)∪(1，＋∞)． 18．已知函數(shù)f(x)＝若函數(shù)F(x)＝f2(x)－bf(x)＋1有8個不同的零點，則實數(shù)b的取值范圍是(　　) A．(－∞，－2)∪(2，＋∞) B．(2,8) C．(2，] D．(0,8) 答案　C 解析　函數(shù)f(x)的圖象如圖所示： 要使方程f2(x)－bf(x)＋1＝0有8個不同實數(shù)根， 令f(x)＝t， 意味著00(或g()<0)， 0<<4(或t1＋t2＝b∈(0,8))， 因為g(0)＝1>0 (不論t如何變化都有圖象恒過定點(0,1))， 所以只需g(4)≥0，求得b≤， 綜上可得b∈(2，]．