高考數(shù)學(xué) 考前3個(gè)月知識方法專題訓(xùn)練 第二部分 技巧規(guī)范篇 第一篇 快速解答選擇填空題 第2講 四種策略搞定填空題 文
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第2講 四種策略搞定填空題 [題型分析高考展望] 填空題的基本特點(diǎn)是:(1)題目小巧靈活,結(jié)構(gòu)簡單;(2)答案簡短明確,不反映過程,只要結(jié)果;(3)填空題根據(jù)填寫內(nèi)容,可分為定量型(填寫數(shù)值,數(shù)集或數(shù)量關(guān)系)和定性型(填寫某種性質(zhì)或是有某種性質(zhì)的對象). 根據(jù)填空題的特點(diǎn),在解答時(shí)要做到四個(gè)字——“快”“穩(wěn)”“全”“細(xì)”. 快——運(yùn)算要快,力戒小題大做;穩(wěn)——變形要穩(wěn),不可操之過急;全——答案要全,力避殘缺不齊;細(xì)——審題要細(xì),不能粗心大意. 高考必會題型 方法一 直接法 根據(jù)題目中給出的條件,通過數(shù)學(xué)計(jì)算找出正確答案.解決此類問題需要直接從題設(shè)條件出發(fā),利用有關(guān)性質(zhì)或結(jié)論等,通過巧妙變化,簡化計(jì)算過程.解題過程要靈活地運(yùn)用相關(guān)的運(yùn)算規(guī)律和技巧,合理轉(zhuǎn)化、巧妙處理已知條件. 例1 在△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C的對邊,且=-,則角B的值為________. 答案 解析 方法一 由正弦定理, 即===2R, 得a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C, 代入=-,得=-, 即2sin Acos B+sin Ccos B+cos Csin B=0, 所以2sin Acos B+sin(B+C)=0. 在△ABC中,sin(B+C)=sin A, 所以2sin Acos B+sin A=0, 又sin A≠0,所以cos B=-. 又角B為△ABC的內(nèi)角,所以B=. 方法二 由余弦定理,即cos B=, cos C=,代入=-, 得=-, 整理,得a2+c2-b2=-ac, 所以cos B==-=-, 又角B為△ABC的內(nèi)角,所以B=. 點(diǎn)評 直接法是解決計(jì)算型填空題最常用的方法,在計(jì)算過程中,我們要根據(jù)題目的要求靈活處理,多角度思考問題,注意一些解題規(guī)律和解題技巧的靈活應(yīng)用,將計(jì)算過程簡化從而得到結(jié)果,這是快速準(zhǔn)確地求解填空題的關(guān)鍵. 變式訓(xùn)練1 已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1an=2n,則S2 016=____________. 答案 321 008-3 解析 由題意得anan+1=2n,an+2an+1=2n+1?=2, 因此a1,a3,a5,…構(gòu)成一個(gè)以1為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列; a2,a4,a6,…構(gòu)成一個(gè)以2為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列; 從而S2 016=(a1+a3+…+a2 015)+(a2+a4+…+a2 016)=+2=3(21 008-1). 方法二 特例法 當(dāng)填空題已知條件中含有某些不確定的量,但填空題的結(jié)論唯一或題設(shè)條件中提供的信息暗示答案是一個(gè)定值時(shí),可以從題中變化的不定量中選取符合條件的恰當(dāng)特殊值(特殊函數(shù),特殊角,特殊數(shù)列,特殊位置,特殊點(diǎn),特殊方程,特殊模型等)進(jìn)行處理,從而得出探求的結(jié)論.為保證答案的正確性,在利用此方法時(shí),一般應(yīng)多取幾個(gè)特例. 例2 (1)若函數(shù)f(x)=sin 2x+acos 2x的圖象關(guān)于直線x=-對稱,則a=________. (2)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a,b,c.若c2=(a-b)2+6,C=,則△ABC的面積是________. 答案 (1)-1 (2) 解析 (1)由題意,對任意的x∈R, 有f(-+x)=f(--x), 令x=,得f(0)=f(-),得a=-1. (2)方法一 △ABC為等邊三角形時(shí)滿足條件, 則S△ABC=. 方法二 ∵c2=(a-b)2+6,∴c2=a2+b2-2ab+6.① ∵C=,∴c2=a2+b2-2abcos =a2+b2-ab.② 由①②得-ab+6=0,即ab=6. ∴S△ABC=absin C=6=. 點(diǎn)評 求值或比較大小等問題的求解均可利用特殊值代入法,但要注意此種方法僅限于求解結(jié)論只有一種的填空題,對于開放性的問題或者有多種答案的填空題,則不能使用該種方法求解. 變式訓(xùn)練2 (1)若f(x)=ln(e3x+1)+ax是偶函數(shù),則a=________. (2)如圖,在△ABC中,點(diǎn)O是BC的中點(diǎn),過點(diǎn)O的直線分別交直線AB,AC于不同的兩點(diǎn)M,N,若=m,=n,則m+n的值為________. 答案 (1)- (2)2 解析 (1)由題意知,函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽, 又因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù),所以f(-)-f()=0, 即ln(e-1+1)--ln(e+1)-=0, ln e-1-a=0, 解得a=-,將a=-代入原函數(shù), 檢驗(yàn)知f(x)是偶函數(shù), 故a=-. (2)用特殊值法,可設(shè)AB=AC=BM=1, 因?yàn)椋絤, 所以m=,過點(diǎn)C引AM的平行線,并延長MN, 兩線相交于點(diǎn)E, 則AE=BC=2OC,易得AN=AC, 因?yàn)椋絥,所以n=, 可知m+n=+=2. 方法三 數(shù)形結(jié)合法 對于一些含有幾何背景的填空題,若能根據(jù)題目中的條件,作出符合題意的圖形,并通過對圖形的直觀分析、判斷,即可快速得出正確結(jié)果.這類問題的幾何意義一般較為明顯,如一次函數(shù)的斜率或截距、向量的夾角、解析幾何中兩點(diǎn)間距離等,求解的關(guān)鍵是明確幾何含義,準(zhǔn)確、規(guī)范地作出相應(yīng)的圖形. 例3 (1)已知點(diǎn)P(x,y)的坐標(biāo)x,y滿足則x2+y2-6x+9的取值范圍是________________________________________________________________________. (2)已知函數(shù)f(x)=x|x-2|,則不等式f(-x)≤f(1)的解集為________. 答案 (1)[2,16] (2)[-1,+∞) 解析 (1)畫出可行域如圖, 所求的x2+y2-6x+9=(x-3)2+y2是點(diǎn)Q(3,0)到可行域上的點(diǎn)的距離的平方, 由圖形知最小值為Q到射線x-y-1=0(x≥0)的距離d的平方, ∴d=[]2=()2=2. 最大值為點(diǎn)Q到點(diǎn)A的距離的平方, ∴d=16. ∴取值范圍是[2,16]. (2)函數(shù)y=f(x)的圖象如圖, 由不等式f(-x)≤f(1)知, -x≤+1, 從而得到不等式f(-x)≤f(1)的解集為[-1,+∞). 點(diǎn)評 數(shù)形結(jié)合在解答填空題中的應(yīng)用,就是利用圖形的直觀性并結(jié)合所學(xué)知識便可直接得到相應(yīng)的結(jié)論,這也是高考命題的熱點(diǎn).準(zhǔn)確運(yùn)用此類方法的關(guān)鍵是正確把握各種式子與幾何圖形中的變量之間的對應(yīng)關(guān)系,利用幾何圖形中的相關(guān)結(jié)論求出結(jié)果. 變式訓(xùn)練3 已知函數(shù)f(x)=且關(guān)于x的方程f(x)+x-a=0有且只有一個(gè)實(shí)根,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________. 答案 (1,+∞) 解析 方程f(x)+x-a=0的實(shí)根也就是函數(shù)y=f(x)與y=a-x的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo),如圖所示,作出兩個(gè)函數(shù)的圖象,顯然當(dāng)a≤1時(shí),兩個(gè)函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn),當(dāng)a>1時(shí),兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)只有一個(gè).所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1,+∞). 方法四 構(gòu)造法 構(gòu)造法是一種創(chuàng)造性思維,是綜合運(yùn)用各種知識和方法,依據(jù)問題給出的條件和結(jié)論給出的信息,把問題作適當(dāng)?shù)募庸ぬ幚?,?gòu)造與問題相關(guān)的數(shù)學(xué)模型,揭示問題的本質(zhì),從而溝通解題思路的方法. 例4 (1)若a=ln -,b=ln -,c=ln -,則a,b,c的大小關(guān)系為________. (2)如圖,在邊長為2的正方形ABCD中,點(diǎn)E、F分別是邊AB、BC的中點(diǎn),△AED、△EBF、△FCD分別沿著DE、EF、FD折起,使A、B、C三點(diǎn)重合于點(diǎn)A′,若四面體A′EFD的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上,則該球的半徑為________. 答案 (1)a0,∴f(x)為增函數(shù). 又<<,∴a0, 所以不合題意,舍去,所以tan θ=, 所以tan 2θ===-. 4.一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子,六個(gè)面上分別刻著1點(diǎn)至6點(diǎn),甲、乙二人各擲骰子一次,則甲擲得的向上的點(diǎn)數(shù)比乙大的概率為________. 答案 解析 一共有36種情況,其中甲擲得的向上的點(diǎn)數(shù)比乙大的有:(6,1)、(6,2)、(6,3)、(6,4)、(6,5)、(5,1)、(5,2)、(5,3)、(5,4)、(4,1)、(4,2)、(4,3)、(3,1)、(3,2)、(2,1),共15種,所以所求概率為=. 5.已知兩個(gè)單位向量a,b的夾角為60,c=ta+(1-t)b,若bc=0,則t=________. 答案 2 解析 方法一 如圖所示, 在△OAB中,||=||=1, ∠AOB=60,延長BA到C使∠BOC=90, 則A為BC的中點(diǎn),c==+ =+=2a-b, 則t=2. 方法二 由已知bc=0, 即tab+(1-t)b2=0, t+(1-t)=0,因此t=2. 6.在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若a,b,c成等差數(shù)列,則=________. 答案 解析 令a=3,b=4,c=5,則△ABC為直角三角形, 且cos A=,cos C=0,代入所求式子,得 ==. 7.直線y=kx+3與圓(x-2)2+(y-3)2=4相交于M、N兩點(diǎn),若|MN|≥2,則k的取值范圍是________. 答案 解析 由題意,得圓心到直線的距離 d==, 若|MN|≥2,則4-d2≥()2, 解得-≤k≤. 8.設(shè)函數(shù)f(x)=若f(f(a))≤2,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________. 答案 [-∞,] 解析 f(x)的圖象如圖,由圖象知, 滿足f(f(a))≤2時(shí), 得f(a)≥-2,而滿足f(a)≥-2時(shí),得a≤. 9.已知平行四邊形ABCD,點(diǎn)P為四邊形內(nèi)部或者邊界上任意一點(diǎn),向量=x+y,則0≤x≤,0≤y≤的概率是________. 答案 解析 由平面向量基本定理及點(diǎn)P為ABCD內(nèi)部或邊界上任意一點(diǎn),可知0≤x≤1且0≤y≤1,又滿足條件的x,y滿足0≤x≤,0≤y≤,所以P(A)==. 10.某程序框圖如圖所示,若a=3,則該程序運(yùn)行后,輸出的x值為________. 答案 31 解析 第一次循環(huán),x=23+1=7,n=2; 第二次循環(huán),x=27+1=15,n=3; 第三次循環(huán),x=215+1=31,n=4, 程序結(jié)束,故輸出x=31. 11.,,(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))的大小關(guān)系是________. 答案 << 解析 由于=,=,=, 故可構(gòu)造函數(shù)f(x)=, 于是f(4)=,f(5)=,f(6)=. 而f′(x)=()′==, 令f′(x)>0得x<0或x>2, 即函數(shù)f(x)在(2,+∞)上單調(diào)遞增, 因此有f(4)- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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