高考數(shù)學(xué)（精講+精練+精析）專題12_3 統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例試題 理（含解析）

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專題3 統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例（理科） 【三年高考】 1. 【2016高考新課標(biāo)3理數(shù)】某旅游城市為向游客介紹本地的氣溫情況，繪制了一年中月平均最高氣溫和 平均最低氣溫的雷達(dá)圖．圖中點(diǎn)表示十月的平均最高氣溫約為，點(diǎn)表示四月的平均最低氣溫約為 ．下面敘述不正確的是（ ） (A)各月的平均最低氣溫都在以上 (B)七月的平均溫差比一月的平均溫差大 (C)三月和十一月的平均最高氣溫基本相同 (D)平均氣溫高于的月份有5個(gè) 【答案】D 【解析】由圖可知均在虛線框內(nèi)，所以各月的平均最低氣溫都在0℃以上，A正確；由圖可在七月的平均溫差大于，而一月的平均溫差小于，所以七月的平均溫差比一月的平均溫差大，B正確；由圖可知三月和十一月的平均最高氣溫都大約在，基本相同，C正確；由圖可知平均最高氣溫高于20℃的月份有3個(gè)或2個(gè)，所以不正確．故選D． 2. 【2016高考山東理數(shù)】某高校調(diào)查了200名學(xué)生每周的自習(xí)時(shí)間（單位：小時(shí)），制成了如圖所示的頻率分布直方圖，其中自習(xí)時(shí)間的范圍是[17.5，30]，樣本數(shù)據(jù)分組為[17.5，20)， [20，22.5)， [22.5,25)，[25，27.5)，[27.5，30).根據(jù)直方圖，這200名學(xué)生中每周的自習(xí)時(shí)間不少于22.5小時(shí)的人數(shù)是（ ） （A）56 （B）60 （C）120 （D）140 【答案】D 【解析】由頻率分布直方圖知，自習(xí)時(shí)間不少于22.5小時(shí)為后三組，有（人），選D. 3. 【2016高考江蘇卷】已知一組數(shù)據(jù)4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，則該組數(shù)據(jù)的方差是________▲________. 【答案】0.1 4. 【2016年高考四川理數(shù)】我國是世界上嚴(yán)重缺水的國家，某市政府為了鼓勵(lì)居民節(jié)約用水，計(jì)劃調(diào)整居民生活用水收費(fèi)方案，擬確定一個(gè)合理的月用水量標(biāo)準(zhǔn)（噸）、一位居民的月用水量不超過的部分按平價(jià)收費(fèi)，超出的部分按議價(jià)收費(fèi).為了了解居民用水情況，通過抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5)分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖. （I）求直方圖中a的值； （II）設(shè)該市有30萬居民，估計(jì)全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)，并說明理由； （III）若該市政府希望使85%的居民每月的用水量不超過標(biāo)準(zhǔn)（噸），估計(jì)的值，并說明理由. 【解析】（Ⅰ）由頻率分布直方圖知，月均用水量在[0,0.5)中的頻率為0.080.5=0.04，同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5)中的頻率分別為0.08，0.20，0.26，0.06，0.04，0.02．由0.04+0.08+0.5a+0.20+0.26+0.5a+0.06+0.04+0.02=1，解得a=0.30． 5. 【2016高考新課標(biāo)3理數(shù)】下圖是我國2008年至2014年生活垃圾無害化處理量（單位：億噸）的折線圖 （I）由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說明； （II）建立關(guān)于的回歸方程（系數(shù)精確到0.01），預(yù)測(cè)2016年我國生活垃圾無害化處理量． 附注： 參考數(shù)據(jù)：，，，≈2.646. 參考公式：相關(guān)系數(shù) 回歸方程 中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為： ． 6. 【2015高考重慶，理3】重慶市2013年各月的平均氣溫（）數(shù)據(jù)的莖葉圖如下： 則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（　 ?。? A、19 B、20 C、21.5 D、23 【答案】B. 【解析】從莖葉圖知所有數(shù)據(jù)為8，9，12，15，18，20，20，23，23，28，31，32，中間兩個(gè)數(shù)為20，20，故中位數(shù)為20，選B.. 7.【2015高考陜西，理2】某中學(xué)初中部共有110名教師，高中部共有150名教師，其性別比例如圖所示，則該校女教師的人數(shù)為 （ ） A．167 B．137 C．123 D．93 【答案】B 【解析】該校女老師的人數(shù)是，故選B． 8.【2015高考新課標(biāo)2，理3】根據(jù)下面給出的2004年至2013年我國二氧化硫排放量（單位：萬噸）柱形圖.以下結(jié)論不正確的是( ) A．逐年比較，2008年減少二氧化硫排放量的效果最顯著 B．2007年我國治理二氧化硫排放顯現(xiàn) C．2006年以來我國二氧化硫年排放量呈減少趨勢(shì) D．2006年以來我國二氧化硫年排放量與年份正相關(guān) 【答案】D 【解析】由柱形圖得，從2006年以來，我國二氧化硫排放量呈下降趨勢(shì)，故年排放量與年份負(fù)相關(guān)，故選D． 9.【2015高考廣東，理17】某工廠36名工人的年齡數(shù)據(jù)如下表： 工人編號(hào) 年齡 工人編號(hào) 年齡 工人編號(hào) 年齡 工人編號(hào) 年齡 1 40 10 36 19 27 28 34 2 44 11 31 20 43 29 39 3 40 12 38 21 41 30 43 4 41 13 39 22 37 31 38 5 33 14 43 23 34 32 42 6 40 15 45 24 42 33 53 7 45 16 39 25 37 34 37 8 42 17 38 26 44 35 49 9 43 18 36 27 42 36 39 （1）用系統(tǒng)抽樣法從36名工人中抽取容量為9的樣本，且在第一分段里用隨機(jī)抽樣法抽到的年齡數(shù)據(jù)為44，列出樣本的年齡數(shù)據(jù)； （2）計(jì)算（1）中樣本的平均值和方差； （3）36名工人中年齡在與之間有多少人？所占的百分比是多少（精確到0.01％）？ 【解析】（1）依題所抽樣本編號(hào)是一個(gè)首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，故其所有樣本編號(hào)依次為，，，，，，，，，對(duì)應(yīng)樣本的年齡數(shù)據(jù)依次為，，，，，，，，； （2）由（1）可得其樣本的均值為，方差為； （3）由（2）知，∴ ，，∴ 年齡在與之間共有人，所占百分比為． 10. 【2014高考湖南卷第2題】對(duì)一個(gè)容量為的總體抽取容量為的樣本，當(dāng)選取簡單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣三種不同方法抽取樣本時(shí)，總體中每個(gè)個(gè)體被抽中的概率分別為，則（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】根據(jù)抽樣調(diào)查的原理可得簡單隨機(jī)抽樣,分層抽樣,系統(tǒng)抽樣都必須滿足每個(gè)個(gè)體被抽到的概率相等,即,故選D. 11. 【2014江西高考理第6題】某人研究中學(xué)生的性別與成績、視力、智商、閱讀量這4個(gè)變量之間的關(guān)系，隨機(jī)抽查52名中學(xué)生，得到統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表1至表4，這與性別有關(guān)聯(lián)的可能性最大的變量是（ ） 表1 不及格 及格 總計(jì) 男 6 14 20 女 10 22 32 總計(jì) 16 36 52 A.成績 表2 不及格 及格 總計(jì) 男 4 16 20 女 12 20 32 總計(jì) 16 36 52 B.視力 表3 不及格 及格 總計(jì) 男 8 12 20 女 8 24 32 總計(jì) 16 36 52 C.智商 表4 不及格 及格 總計(jì) 男 14 6 20 女 2 30 32 總計(jì) 16 36 52 D.閱讀量 【答案】D 【解析】根據(jù)公式分別計(jì)算得：A. ， B. C. D. ，選項(xiàng)D的值最大，所以與性別有關(guān)聯(lián)的可能性最大為D. 12.【2014陜西高考理第9題】設(shè)樣本數(shù)據(jù)的均值和方差分別為1和4，若（為非零常數(shù)， ），則的均值和方差分別為（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】 【三年高考命題回顧】 縱觀前三年各地高考試題, 考查樣本的頻率分布(分布表、直方圖、莖葉圖)中的有關(guān)計(jì)算，樣本特征數(shù)(眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差)的計(jì)算,以樣本的分布估計(jì)總體的分布（以樣本的頻率估計(jì)總體的頻率、以樣本的特征數(shù)估計(jì)總體的特征數(shù)）主要以選擇題、填空題為主；考查獨(dú)立性檢驗(yàn)、回歸分析為主，并借助解決一些簡單的實(shí)際問題來考查一些基本的統(tǒng)計(jì)思想，在高考中多為選擇、填空題，也有解答題出現(xiàn)． 【2017年高考復(fù)習(xí)建議與高考命題預(yù)測(cè)】 由前三年的高考命題形式可以看出，頻率分布直方圖、莖葉圖、平均數(shù)、方差、,以樣本的分布估計(jì)總體的分布（以樣本的頻率估計(jì)總體的頻率、以樣本的特征數(shù)估計(jì)總體的特征數(shù)）是高考的熱點(diǎn)，題型既有選擇題、填空題，又有解答題，客觀題考查知識(shí)點(diǎn)較單一，解答題常常作為第一問，考查學(xué)生應(yīng)用知識(shí)解決問題的能力．獨(dú)立性檢驗(yàn)、回歸分析高考對(duì)此部分內(nèi)容考查有加強(qiáng)趨勢(shì)，主要是以考查獨(dú)立性檢驗(yàn)、回歸分析為主，并借助解決一些簡單的實(shí)際問題來考查一些基本的統(tǒng)計(jì)思想，在高考中多為選擇、填空題，也有解答題出現(xiàn)．根據(jù)這幾年高考試題預(yù)測(cè)2017年高考，頻率分布直方圖、莖葉圖、平均數(shù)、方差仍然是考查的熱點(diǎn)，同時(shí)應(yīng)注意線性回歸方程、獨(dú)立性檢驗(yàn)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，有可能涉及一道與獨(dú)立檢驗(yàn)有關(guān)的大題． 【2017年高考考點(diǎn)定位】 本知識(shí)點(diǎn)主要是：隨機(jī)抽樣常以選擇、填空題考查分層抽樣，難度較低.在用樣本估計(jì)總體中，會(huì)讀圖、識(shí)圖，會(huì)從頻率分布直方圖中分析樣本的數(shù)字特征（眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)等）；重視莖葉圖；要重視線性回歸方程，不僅會(huì)利用公式求，還要能分析其特點(diǎn)（正相關(guān)、負(fù)相關(guān)、回歸方程過樣本點(diǎn)中心）；重視獨(dú)立性檢驗(yàn)（ 22列聯(lián)表）. 【考點(diǎn)1】抽樣方法、總體分布的估計(jì) 【備考知識(shí)梳理】1.簡單隨機(jī)抽樣：一般地，設(shè)一個(gè)總體的個(gè)體數(shù)為N，如果通過逐個(gè)抽取的方法從中抽取一個(gè)樣本，且每次抽取時(shí)各個(gè)個(gè)體被抽到的概率相等，就稱這樣的抽樣為簡單隨機(jī)抽樣. 2.分層抽樣：當(dāng)已知總體由差異明顯的幾部分組成時(shí)，為了使樣本更充分地反映總體的情況，常將總體分成幾部分，然后按照各部分所占的比進(jìn)行抽樣，這種抽樣叫做分層抽樣. 3.總體：在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，通常把被研究的對(duì)象的全體叫做總體. 4.頻率分布：用樣本估計(jì)總體，是研究統(tǒng)計(jì)問題的基本思想方法，樣本中所有數(shù)據(jù)（或數(shù)據(jù)組）的頻數(shù)和樣本容量的比，就是該數(shù)據(jù)的頻率.所有數(shù)據(jù)（或數(shù)據(jù)組）的頻率的分布變化規(guī)律叫做樣本的頻率分布.可以用樣本頻率表、樣本頻率分布條形圖或頻率分布直方圖來表示. 【規(guī)律方法技巧】分層抽樣的步驟：（1）分層；（2）按比例確定每層抽取個(gè)體的個(gè)數(shù)；（3）各層抽樣（方法可以不同）；（4）匯合成樣本. 解決總體分布估計(jì)問題的一般程序如下：（1）先確定分組的組數(shù)（最大數(shù)據(jù)與最小數(shù)據(jù)之差除以組距得組數(shù)）；（2）分別計(jì)算各組的頻數(shù)及頻率（頻率=）；（3）畫出頻率分布直方圖，并作出相應(yīng)的估計(jì). 【考點(diǎn)針對(duì)訓(xùn)練】 1. 【2016屆山西右玉一中高三下學(xué)期模擬】在某電視臺(tái)舉行的大型聯(lián)歡會(huì)晚上，需抽調(diào)部分觀眾參加互動(dòng)，已知全部觀眾有900人，現(xiàn)需要采用系統(tǒng)抽樣方法抽取30人，根據(jù)觀眾的座位號(hào)將觀眾編號(hào)為1,2,3，…，900號(hào)，分組后在第一組,采用簡單隨機(jī)抽樣的方法抽到的號(hào)碼為3，抽到的30人中，編號(hào)落入?yún)^(qū)間的人與主持人一組，編號(hào)落入?yún)^(qū)間的人與支持人一組，其余的人與支持人一組，則抽到的人中，在組的人數(shù)為（ ） A．12 B．8 C．7 D．6 【答案】D 【解析】因，而，故依據(jù)系統(tǒng)抽樣的特征可知抽到的人中，在組中的人數(shù)應(yīng)是人，應(yīng)選D。 2. 【2016屆河南省新鄉(xiāng)衛(wèi)輝一中高考押題一】博鰲亞洲論壇2015年會(huì)員大會(huì)于3月27日在海南博鰲舉辦，大會(huì)組織者對(duì)招募的100名服務(wù)志愿者培訓(xùn)后，組織一次 知識(shí)競(jìng)賽，將所得成績制成如右頻率分布直方圖（假定每個(gè)分?jǐn)?shù)段內(nèi)的成績均勻分布），組織者計(jì)劃對(duì)成績前20名的參賽者進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)． （1）試確定受獎(jiǎng)勵(lì)的分?jǐn)?shù)線； （2）從受獎(jiǎng)勵(lì)的20人中利用分層抽樣抽取5人，再從抽取的5人中抽取2人在主會(huì)場(chǎng)服務(wù)，試求2人成績都在90分以上的概率． 【考點(diǎn)2】相關(guān)性、最小二乘估計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例 【備考知識(shí)梳理】1．相關(guān)性 (1)通常將變量所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)描出來，這些點(diǎn)就組成了變量之間的一個(gè)圖，通常稱這種圖為變量之間的散點(diǎn)圖． (2)從散點(diǎn)圖上，如果變量之間存在某種關(guān)系，這些點(diǎn)會(huì)有一個(gè)集中的大致趨勢(shì)，這種趨勢(shì)通?？梢杂靡粭l光滑的曲線來近似，這樣近似的過程稱為曲線擬合． (3)若兩個(gè)變量x和y的散點(diǎn)圖中，所有點(diǎn)看上去都在一條直線附近波動(dòng)，則稱變量間是線性相關(guān)，若所有點(diǎn)看上去都在某條曲線(不是一條直線)附近波動(dòng)，稱此相關(guān)是非線性相關(guān)． 如果所有的點(diǎn)在散點(diǎn)圖中沒有顯示任何關(guān)系，則稱變量間是不相關(guān)的． 2．回歸方程 (1)最小二乘法 如果有n個(gè)點(diǎn)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，可以用表達(dá)式[y1－(a＋bx1)]2＋[y2－(a＋bx2)]2＋…＋[yn－(a＋bxn)]2來刻畫這些點(diǎn)與直線y＝a＋bx的接近程度，使得上式達(dá)到最小值的直線y＝a＋bx就是我們所要求的直線，這種方法稱為最小二乘法． (2)回歸方程 方程y＝bx＋a是兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的回歸方程，其中a，b是待定參數(shù)． ， 3．回歸分析 (1)定義：對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種常用方法． (2)樣本點(diǎn)的中心 對(duì)于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回歸直線y＝bx＋a的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)分別為： ，）.其中＝i，＝i，(，)稱為樣本點(diǎn)的中心． (3)相關(guān)系數(shù) ①，②當(dāng)r＞0時(shí)，表明兩個(gè)變量正相關(guān)；當(dāng)r＜0時(shí)，表明兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)． r的絕對(duì)值越接近于1，表明兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)．r的絕對(duì)值越接近于0，表明兩個(gè)變量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系． 4．獨(dú)立性檢驗(yàn) (1)設(shè)A，B為兩個(gè)變量，每一個(gè)變量都可以取兩個(gè)值，變量A：A1，A2＝1；變量B：B1，B2＝1. 22列聯(lián)表 　B A　 B1 B2 總計(jì) A1 a b a＋b A2 c d c＋d 總計(jì) a＋c b＋d a＋b＋c＋d 構(gòu)造一個(gè)隨機(jī)變量其中為樣本容量． (2)獨(dú)立性檢驗(yàn):利用隨機(jī)變量來判斷“兩個(gè)變量有關(guān)聯(lián)”的方法稱為獨(dú)立性檢驗(yàn)． (3)當(dāng)數(shù)據(jù)量較大時(shí)，在統(tǒng)計(jì)中，用以下結(jié)果對(duì)變量的獨(dú)立性進(jìn)行判斷 ①當(dāng)χ2≤2.706時(shí)，沒有充分的證據(jù)判定變量A，B有關(guān)聯(lián)，可以認(rèn)為變量A，B是沒有關(guān)聯(lián)的； ②當(dāng)χ2＞2.706時(shí)，有90%的把握判定變量A，B有關(guān)聯(lián)； ③當(dāng)χ2＞3.841時(shí)，有95%的把握判定變量A，B有關(guān)聯(lián)； ④當(dāng)χ2＞6.635時(shí)，有99%的把握判定變量A，B有關(guān)聯(lián)． 【規(guī)律方法技巧】1．“相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系”的區(qū)別：函數(shù)關(guān)系是一種確定性關(guān)系，體現(xiàn)的是因果關(guān)系；而相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系，體現(xiàn)的不一定是因果關(guān)系，可能是伴隨關(guān)系． 2．三點(diǎn)提醒：　一是回歸分析是對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的方法，只有在散點(diǎn)圖大致呈線性時(shí)，求出的線性回歸方程才有實(shí)際意義，否則，求出的線性回歸方程毫無意義．二是根據(jù)回歸方程進(jìn)行預(yù)報(bào)，僅是一個(gè)預(yù)報(bào)值，而不是真實(shí)發(fā)生的值．三是獨(dú)立性檢驗(yàn)得出的結(jié)論是帶有概率性質(zhì)的，只能說結(jié)論成立的概率有多大，而不能完全肯定一個(gè)結(jié)論，因此才出現(xiàn)了臨界值表，在分析問題時(shí)一定要注意這點(diǎn)，不可對(duì)某個(gè)問題下確定性結(jié)論，否則就可能對(duì)統(tǒng)計(jì)計(jì)算的結(jié)果作出錯(cuò)誤的解釋． 3.正確理解計(jì)算b，a的公式和準(zhǔn)確的計(jì)算是求線性回歸方程的關(guān)鍵．回歸直線方程y＝bx＋a必過樣本點(diǎn)中心(，)．在分析兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系時(shí)，可根據(jù)樣本數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖來確定兩個(gè)變量之間是否具有相關(guān)關(guān)系，若具有線性相關(guān)關(guān)系，則可通過線性回歸方程來估計(jì)和預(yù)測(cè)． 4.利用獨(dú)立性檢驗(yàn)，能夠幫助我們對(duì)日常生活中的實(shí)際問題作出合理的推斷和預(yù)測(cè)．獨(dú)立性檢驗(yàn)就是考察兩個(gè)分類變量是否有關(guān)系，并能較為準(zhǔn)確地給出這種判斷的可信度，具體做法是根據(jù)公式，計(jì)算值，值越大，說明“兩個(gè)變量有關(guān)系”的可能性越大． 【考點(diǎn)針對(duì)訓(xùn)練】 1. 【2016年山西四校高三四模】某研究機(jī)構(gòu)對(duì)兒童記憶能力和識(shí)圖能力進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得到如下數(shù)據(jù)： 記憶能力 識(shí)圖能力 由表中數(shù)據(jù)，求得線性回歸方程為，,若某兒童的記憶能力為時(shí)，則他的識(shí)圖能力約為（ ） A.9.2 B.9.5 C.9.8 D.10 【答案】B 2.【2016屆河北省邯鄲市高三下第二次模擬】為推行“新課堂”教學(xué)法，某化學(xué)老師分別用原傳統(tǒng)教學(xué)和“新課堂”兩種不同的教學(xué)方式，在甲、乙兩個(gè)平行班進(jìn)行教學(xué)實(shí)驗(yàn)，為了解教學(xué)效果，期中考試后，分別從兩個(gè)班級(jí)中各隨機(jī)抽取20名學(xué)生的成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，作出的莖葉圖如下圖，記成績不低于70分者為“成績優(yōu)良”. （1）分別計(jì)算甲、乙兩班20個(gè)樣本中，化學(xué)分?jǐn)?shù)前十的平均分，并大致判斷哪種教學(xué)方式的教學(xué)效果更 佳； （2）由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫下面22列聯(lián)表，并判斷“成績優(yōu)良與教學(xué)方式是否有關(guān)”? 附： 獨(dú)立性檢驗(yàn)臨界值表 【解析】（1）甲班樣本化學(xué)成績前十的平均分為； 乙班樣本化學(xué)成績前十的平均分為 .甲班樣本化學(xué)成績前十的平均分遠(yuǎn)低于乙班樣本化學(xué)成績前十的平均分，大致可以判斷“高效課堂”教學(xué)方式的教學(xué)效果更佳. （2） 根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得的觀測(cè)值為在犯錯(cuò)概率不超過0.05的前提下認(rèn)為“成績優(yōu)良與教學(xué)方式有關(guān)”. 【應(yīng)試技巧點(diǎn)撥】 1.三種抽樣方法的比較 類別 共同點(diǎn) 各自特點(diǎn) 相互聯(lián)系 適用范圍 簡單隨機(jī)抽樣 抽樣過程中每個(gè)個(gè)體被抽取的機(jī)會(huì)均等 從總體中逐個(gè)抽取 總體中的個(gè)體數(shù)較少 系統(tǒng)抽樣 將總體均勻分成幾部分，按事先確定的規(guī)則在各部分抽取 在起始部分抽樣時(shí)采用簡單隨機(jī)抽樣 總體中的個(gè)體數(shù)較多 分層抽樣 將總體分成幾層，分層進(jìn)行抽取 各層抽樣時(shí)采用簡單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣 總體由差異明顯的幾部分組成 2．樣本頻率直方圖與樣本的數(shù)字特征 在頻率分布直方圖中，平均數(shù)的估計(jì)值等于頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和；中位數(shù)的估計(jì)值，應(yīng)使中位數(shù)左右兩邊的直方圖面積相等；最高小長方形的中點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)值即為這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)． 3．方差是刻畫一組數(shù)據(jù)離散程度的量，方差越大，這組數(shù)據(jù)波動(dòng)越大，越分散．討論產(chǎn)品質(zhì)量、售價(jià)高低、技術(shù)高低、產(chǎn)量高低、成績高低、壽命長短等等問題，一般都是通過方差來體現(xiàn)． 4.判斷兩變量是否有相關(guān)關(guān)系很容易將相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系混淆．相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系，即是非隨機(jī)變量與隨機(jī)變量之間的關(guān)系，而函數(shù)關(guān)系是一種因果關(guān)系. 5．求回歸方程，關(guān)鍵在于正確求出系數(shù)a，b，由于a，b的計(jì)算量大，計(jì)算時(shí)應(yīng)仔細(xì)謹(jǐn)慎，分層進(jìn)行，避免因計(jì)算而產(chǎn)生錯(cuò)誤．(注意回歸直線方程中一次項(xiàng)系數(shù)為b，常數(shù)項(xiàng)為a，這與一次函數(shù)的習(xí)慣表示不同) 6．回歸分析是處理變量相關(guān)關(guān)系的一種數(shù)學(xué)方法．主要解決：(1)確定特定量之間是否有相關(guān)關(guān)系，如果有就找出它們之間貼近的數(shù)學(xué)表達(dá)式；(2)根據(jù)一組觀察值，預(yù)測(cè)變量的取值及判斷變量取值的變化趨勢(shì)；(3)求出回歸直線方程． 7．獨(dú)立性檢驗(yàn)是一種假設(shè)檢驗(yàn)，在對(duì)總體的估計(jì)中，通過抽取樣本，構(gòu)造合適的隨機(jī)變量，對(duì)假設(shè)的正確性進(jìn)行判斷． 8.進(jìn)行分層抽樣時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)： (1)分層抽樣中分多少層、如何分層要視具體情況而定，總的原則是：層內(nèi)樣本的差異要小，兩層之間的樣本差異要大，且互不重疊； (2)為了保證每個(gè)個(gè)體等可能入樣，所有層中每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性應(yīng)相同； (3)在每層抽樣時(shí)，應(yīng)采用簡單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣的方法進(jìn)行抽樣． 9.在作莖葉圖時(shí)，容易出現(xiàn)莖兩邊的數(shù)字不是從小到大的順序排列，從而導(dǎo)致結(jié)論分析錯(cuò)誤，在使用莖葉圖整理數(shù)據(jù)時(shí)，要注意：一是數(shù)據(jù)不能遺漏，二是數(shù)據(jù)最好按從小到大順序排列，對(duì)三組以上的數(shù)據(jù)，也可使用莖葉圖，但沒有表示兩組記錄那么直觀、清晰． 10．回歸分析是對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的方法，只有在散點(diǎn)圖大致呈線性時(shí)，求出的回歸直線方程才有實(shí)際意義，否則，求出的回歸直線方程毫無意義．根據(jù)回歸方程進(jìn)行預(yù)報(bào)，僅是一個(gè)預(yù)報(bào)值，而不是真實(shí)發(fā)生的值． 11．r的大小只說明是否相關(guān)并不能說明擬合效果的好壞，R2才是判斷擬合效果好壞的依據(jù)． 12．獨(dú)立性檢驗(yàn)的隨機(jī)變量K2＝2.706是判斷是否有關(guān)系的臨界值，K2<2.076應(yīng)判斷為沒有充分證據(jù)顯示X與Y有關(guān)系，而不能作為小于90%的量化值來判斷． 二年模擬 1. 【2016年山西榆林高三二模】為了解某社區(qū)居民的家庭年收入與年支出的關(guān)系，隨機(jī)調(diào)查了該社區(qū)5戶家庭，得到如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表： 收入（萬元） 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 支出（萬元） 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8 根據(jù)上表可得回歸直線方程，據(jù)此估計(jì)，該社區(qū)一戶收入為15萬元家庭年支出為（ ） A．11.4萬元 B．11.8萬元 C．12.0萬元 D．12.2萬元 【答案】B 【解析】因?yàn)檫^點(diǎn)，所以，因此當(dāng)時(shí)，，選B. 2.【2016年河南八市重點(diǎn)高中質(zhì)檢】某疾病研究所想知道吸煙與患肺病是否有關(guān)，于是隨機(jī)抽取1000名成年人調(diào)查是否吸煙及是否患有肺病，得到列聯(lián)表，經(jīng)計(jì)算得，已知在假設(shè)吸煙與患肺病無關(guān)的前提條件下， ，則該研究所可以（ ） A．有95%以上的把握認(rèn)為“吸煙與患肺病有關(guān)” B．有95%以上的把握認(rèn)為“吸煙與患肺病無關(guān)” C．有99%以上的把握認(rèn)為“吸煙與患肺病有關(guān)” D．有99%以上的把握認(rèn)為“吸煙與患肺病無關(guān)” 【答案】A 【解析】根據(jù)查對(duì)臨界值表知，故有的把握認(rèn)為“吸煙與患肺病有關(guān)”，即A正確； 3. 【2016年江西南昌高三一?！繛榱艘?guī)定工時(shí)定額，需要確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間，為此進(jìn)行了5次試驗(yàn)，得到5組數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，(x4，y4)，(x5，y5)．根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)可知x1+x2 +x3 +x4 +x5 =150，由最小二乘法求得回歸直線方程為= 0.67x+ 54.9，則y1+y2+y3+y4+y5的值為 (A)75 (B)155.4 (C)375 (D)466.2 【答案】C 4. 【2016年廣東廣州高三一模】一個(gè)總體中有60個(gè)個(gè)體，隨機(jī)編號(hào)0，1，2，…，59，依編號(hào)順序平均分成6個(gè)小組，組號(hào)依次為1，2，3，…，60．現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個(gè)容量為6的樣本，若在第1組隨機(jī)抽取的號(hào)碼為3，則在第5組中抽取的號(hào)碼是 ． 【答案】 【解析】因?yàn)?，所以，抽到編?hào)為3、13、23、33、43、53，第5組為43. 5. 【2016屆湖南省四大名校高三3月聯(lián)考】．以下四個(gè)命題中： ①在回歸分析中, 可用相關(guān)指數(shù)的值判斷的擬合效果,越大,模型的擬合效果越好； ②兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng),相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近； ③若數(shù)據(jù)的方差為,則的方差為； ④對(duì)分類變量與的隨機(jī)變量的觀測(cè)值來說, 越小,判斷“與有關(guān)系”的把握程度越大. 其中真命題的個(gè)數(shù)為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】：因回歸分析中的值越小,則模型的擬合效果越好,故①是錯(cuò)誤的;若的方差為,則的方差為,故③是錯(cuò)誤的.不難驗(yàn)證②④都是正確的,故應(yīng)選B. 6.【2016屆河南省洛陽市高三畢業(yè)班三練】甲、乙、丙三個(gè)班各有20名學(xué)生，一次數(shù)學(xué)考試后，三個(gè)班學(xué)生的成績與人數(shù)統(tǒng)計(jì)如下： 分別表示甲、乙、丙三個(gè)班本次考試成績的標(biāo)準(zhǔn)差，則（ ） A． B． C． D． 【答案】A 7. 【2016屆北京市大興區(qū)高三4月統(tǒng)一練習(xí)】．為了普及環(huán)保知識(shí)，增強(qiáng)環(huán)保意識(shí)，隨機(jī)抽取某大學(xué)30名學(xué)生參加環(huán)保知識(shí)測(cè)試，得分（10分制）如圖所示，假設(shè)得分的中位數(shù)，眾數(shù)為，平均數(shù)為，則，，之間的大小關(guān)系是_____. 【答案】 8. 【2016屆四川省成都市石室中學(xué)高三5月一?！磕硨W(xué)科考試共有100道單項(xiàng)選擇題，有甲、乙兩種計(jì)分法.已知某學(xué)生有道題答對(duì)，道題答錯(cuò)，道題未作答，按甲計(jì)分法的得分為，按乙計(jì)分法該生的得分為，某班50名學(xué)生參加了該科考試，現(xiàn)有如下結(jié)論： ①同一同學(xué)的分?jǐn)?shù)不可能大于分?jǐn)?shù)； ②任意兩個(gè)學(xué)生分?jǐn)?shù)之差的絕對(duì)值不可能大于分?jǐn)?shù)之差的絕對(duì)值； ③用分?jǐn)?shù)將全班排名次的結(jié)果與用分?jǐn)?shù)將全班排名次的結(jié)果是完全相同的； ④分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)是正相關(guān)的. 其中的真命題有 .（寫出所有真命題的序號(hào)） 【答案】①③④ 【解析】，所以同一同學(xué)的分?jǐn)?shù)不可能大于分?jǐn)?shù)；當(dāng)兩個(gè)學(xué)生一個(gè)答對(duì)一道，未作答10道；另一個(gè)答對(duì)兩道，未作答5道時(shí)，分?jǐn)?shù)之差的絕對(duì)值為零，而分?jǐn)?shù)之差的絕對(duì)值大于零；，所以③④正確，因此真命題有①③④ 9.【2016屆湖南省四大名校高三3月聯(lián)考】年下學(xué)期某市教育局對(duì)某校高三文科數(shù)學(xué)進(jìn)行教學(xué)調(diào)研,從該校文科生中隨機(jī)抽取名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì),將他們的成績分成六段后得到如圖所示的頻率分布直方圖. （1）求這個(gè)學(xué)生數(shù)學(xué)成績的眾數(shù)和中位數(shù)的估計(jì)值； （2）若從數(shù)學(xué)成績內(nèi)的學(xué)生中任意抽取人,求成績?cè)谥兄辽儆幸蝗说母怕? 【解析】（1）眾數(shù)的估計(jì)值為最高矩形對(duì)應(yīng)的成績區(qū)間的中點(diǎn),即眾數(shù)的估計(jì)值為.設(shè)中位數(shù)的估計(jì)值為,則,解得.中位數(shù)的估計(jì)值為. （2）從圖中知,成績?cè)诘娜藬?shù)為(人), 成績?cè)诘娜藬?shù)為(人), 設(shè)成績?cè)诘膶W(xué)生記為,成績?cè)诘膶W(xué)生記為.則從成績?cè)趦?nèi)的學(xué)生中任取人組成的基本事件有,共種.其中成績?cè)诘膶W(xué)生至少有一人的基本事件有共種.成績?cè)诘膶W(xué)生至少有一人的概率為. 10. 【2016屆廣東省深圳市高三第二次調(diào)研】2016年全國兩會(huì)，即中華人民共和國第十二屆全國人民代表大會(huì)第四次會(huì)議和中國人民政治協(xié)商會(huì)議第十二屆全國委員會(huì)第四次會(huì)議，分別于2016年3月5日和3月3日在北京開幕．為了解哪些人更關(guān)注兩會(huì)，某機(jī)構(gòu)隨機(jī)抽取了年齡在歲之間的100人進(jìn)行調(diào)查，并按年齡繪制的頻率分布直方圖如下圖所示，其分組區(qū)間為：．把年齡落在區(qū)間和內(nèi)的人分別稱為“青少年人”和“中老年人”，經(jīng)統(tǒng)計(jì)“青少年人”與“中老年人”的人數(shù)之比為9：11． （1）求圖中的值； （2）若“青少年人”中有15人在關(guān)注兩會(huì)，根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表，根據(jù)此統(tǒng)計(jì)結(jié)果能否 有99%的把握認(rèn)為“中老年人”比“青少年人”更加關(guān)注兩會(huì)？ 關(guān)注 不關(guān)注 合計(jì) 青少年人 15 中老年人 合計(jì) 50 50 100 附參考公式：，其中． 臨界值表： 0.05 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【解析】（1）依頻率分布直方圖可知：，解之，得. （2）依題意可知：“青少年人”共有人，“中老年人”共有100-45=55人，完成的列聯(lián)表如下： 關(guān)注 不關(guān)注 合計(jì) 青少年人 15 30 45 中老年人 35 20 55 合計(jì) 50 50 100 結(jié)合列聯(lián)表的數(shù)據(jù)得：,因?yàn)椋杂谐^99%的把握認(rèn)為“中老年人”比“青少年人”更加關(guān)注兩會(huì)． 11.【2015屆湖北省武漢華中師大附中高三5月】在樣本的頻率分布直方圖中，共有4個(gè)小長方形，這4個(gè)小長方形的面積由小到大依次構(gòu)成等比數(shù)列，已知，且樣本容量為300，則對(duì)應(yīng)小長方形面積最小的一組的頻數(shù)為 A．20 B．40 C．30 D．無法確定 【答案】A 【解析】由已知，4個(gè)小長方形面積依次為，所以，，因此面積最小的一組的頻數(shù)為． 12.【2015屆中國人民大學(xué)附屬中學(xué)高考沖刺十】某賽季甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員各13場(chǎng)比賽得分情況用莖葉圖表示如下： 根據(jù)上圖，對(duì)這兩名運(yùn)動(dòng)員的成績進(jìn)行比較，下列四個(gè)結(jié)論中，不正確的是（ ） A．甲運(yùn)動(dòng)員得分的極差大于乙運(yùn)動(dòng)員得分的極差 B．甲運(yùn)動(dòng)員得分的的中位數(shù)大于乙運(yùn)動(dòng)員得分的的中位數(shù) C．甲運(yùn)動(dòng)員的得分平均值大于乙運(yùn)動(dòng)員的得分平均值 D．甲運(yùn)動(dòng)員的成績比乙運(yùn)動(dòng)員的成績穩(wěn)定 【答案】D 【解析】根據(jù)莖葉圖可知：甲運(yùn)動(dòng)員得分：19 18 18 26 21 20 35 33 32 30 47 41 40；乙運(yùn)動(dòng)員得分：17 17 19 19 22 25 26 27 29 29 30 32 33，對(duì)于A，極差是數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差，由圖中的數(shù)據(jù)可得甲運(yùn)動(dòng)員得分的極差為47-16=21，乙運(yùn)動(dòng)員得分的極差為33-17=16，得甲運(yùn)動(dòng)員得分的極差大于乙運(yùn)動(dòng)員得分的極差，因此A正確；對(duì)于B，甲數(shù)據(jù)從小到大排列：18 18 19 20 21 26 30 32 33 35 40 41 47處于中間的數(shù)是30，所以甲運(yùn)動(dòng)員得分的中位數(shù)是30，同理求得乙數(shù)據(jù)的中位數(shù)是26，因此甲運(yùn)動(dòng)員得分的中位數(shù)大于乙運(yùn)動(dòng)員得分的中位數(shù)，故B正確；對(duì)于C，不難得出甲運(yùn)動(dòng)員的得分平均值約為29．23，乙運(yùn)動(dòng)員的得分平均值為25．0，因此甲運(yùn)動(dòng)員的得分平均值大于乙運(yùn)動(dòng)員的得分平均值，故C正確；對(duì)于D，分別計(jì)算甲、乙兩個(gè)運(yùn)動(dòng)員得分的方差，方差小的成績更穩(wěn)定．可以算出甲的方差為：，同理，得出乙的方差為：，因?yàn)橐业姆讲钚∮诩椎姆讲?，所以乙運(yùn)動(dòng)員的成績比甲運(yùn)動(dòng)員的成績穩(wěn)定，故D不正確．故選D 13.【2015屆中國人民大學(xué)附屬中學(xué)高考沖刺一】為了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同學(xué)利用假期分別對(duì)三個(gè)社區(qū)進(jìn)行了“家庭每月日常消費(fèi)額”的調(diào)查．他們將調(diào)查所得到的數(shù)據(jù)分別繪制成頻率分布直方圖（如圖所示），記甲、乙、丙所調(diào)查數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差分別為，，則它們的大小關(guān)系為 ．（用“”連接） 【答案】 14.【2016屆廣東省惠州市高三第一次調(diào)研】某中學(xué)高三年級(jí)從甲、乙兩個(gè)班級(jí)各選出7名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，他們?nèi)〉玫某煽儯M分100分）的莖葉圖如圖，其中甲班學(xué)生的平均分是85． （I）計(jì)算甲班7位學(xué)生成績的方差； （II）從成績?cè)?0分以上的學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生，求甲班至少有一名學(xué)生的概率． 參考公式： 方差，其中． 【解析】（I）∵甲班學(xué)生的平均分是85，∴．∴． 則甲班7位學(xué)生成績的方差為． 15.【2015屆寧夏固原市第一中學(xué)高三最后沖刺模擬】為了分析某個(gè)高三學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)，對(duì)其下一階段的學(xué)習(xí)提供指導(dǎo)性建議．現(xiàn)對(duì)他前次考試的數(shù)學(xué)成績、物理成績進(jìn)行分析．下面是該生次考試的成績． 數(shù)學(xué) 88 83 117 92 108 100 112 物理 94 91 108 96 104 101 106 （1）他的數(shù)學(xué)成績與物理成績哪個(gè)更穩(wěn)定？請(qǐng)給出你的理由； （2）已知該生的物理成績與數(shù)學(xué)成績是線性相關(guān)的，若該生的物理成績達(dá)到分，請(qǐng)你估計(jì)他的數(shù)學(xué)成績大約是多少？ （已知8894+8391+117108+9296+108104+100101+112106=70497， ） （參考公式：，） 【解析】（1）； ； ，，從而，所以物理成績更穩(wěn)定． （2）由于與之間具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)回歸系數(shù)公式得到， 線性回歸方程為．當(dāng)時(shí)，． 拓展試題以及解析 1.2016年2月，為保障春節(jié)期間的食品安全，某市質(zhì)量監(jiān)督局對(duì)超市進(jìn)行食品檢查，如圖所示是某品牌食品中微量元素含量數(shù)據(jù)的莖葉圖，已知該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則的最小值為（ ） A. 9 B. C.8 D.4 【答案】B 【入選理由】本題主要考查莖葉圖的識(shí)別、樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)以及均值不等式求解最值等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查學(xué)生處理數(shù)據(jù)的能力，分析問題解決問題的能力和運(yùn)算求解能力．莖葉圖是高中添加知識(shí)，是高考考試的重點(diǎn)，故選此題. 2.若樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10，則數(shù)據(jù)，，…，，的平均數(shù)為 . 【答案】37 【解析】設(shè)數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)為，由已知得， 所以. 【入選理由】本題主要考查平均數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查學(xué)生分析問題解決問題的能力和運(yùn)算求解能力．此題常規(guī)題，也是?？贾R(shí)，故選此題. 3.為了解決低收入家庭的住房問題，某城市修建了首批108套住房，已知三個(gè)社區(qū)分別有低收入家庭360戶，270戶，180戶，現(xiàn)采用分層抽樣的方法決定各社區(qū)所分配首批經(jīng)濟(jì)住房的戶數(shù)，則應(yīng)從社 區(qū)抽取低收入家庭的戶數(shù)為（ ） A．48 B．36 C．24 D．18 【答案】 【解析】根據(jù)分層抽樣的要求可知在社區(qū)抽取戶數(shù)為． 【入選理由】本題主要考查分層抽樣的概念及其應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查學(xué)生分析問題解決問題的能力和運(yùn)算求解能力．抽樣方法也是高考?？贾R(shí)，故選此題. 4.某市重點(diǎn)中學(xué)奧數(shù)培訓(xùn)班共有14人，分為兩個(gè)小組，在一次階段考試中兩個(gè)小組成績的莖葉圖如圖所示，其中甲組學(xué)生成績的平均數(shù)是88，乙組學(xué)生成績的中位數(shù)是89，則的值是（ ） A．10　　　　　B．11　　　　　C．12　　　　　D．13 【答案】C 【解析】由題意，得甲組中，解得．乙組中，所以，所以，故選C． 【入選理由】本題主要考查莖葉圖、平均數(shù)、中位數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查學(xué)生處理數(shù)據(jù)的能力，分析問題解決問題的能力和運(yùn)算求解能力．莖葉圖是高中添加知識(shí)，是高考考試的重點(diǎn)，故選此題. 5.2016年高考體檢，某中學(xué)隨機(jī)抽取名女學(xué)生的身高（厘米）和體重（公斤）的數(shù)據(jù)如下表： x 165 160 175 155 170 y 58 52 62 43 60 根據(jù)上表可得回歸直線方程為，則（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由表中數(shù)據(jù)可得，∵點(diǎn)一定在回歸直線方程上， ∴，解得．故選A． 【入選理由】本題考查考查散點(diǎn)圖、線性回歸方程等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查考生分析問題解決問題的能力，運(yùn)算求解能力.近年高考加強(qiáng)了對(duì)線性回歸方程的考查，應(yīng)多注意，故選此題. 6．某工廠為了了解一批產(chǎn)品的凈重（單位：克）情況，從中隨機(jī)抽測(cè)了200件產(chǎn)品的凈重，所得數(shù)據(jù)均在區(qū)間[96，106]上，其頻率分布直方圖如圖所示，已知各個(gè)小方形按高度依次構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，則在抽測(cè)的200件產(chǎn)品中，凈重在區(qū)間上的產(chǎn)品件數(shù)是 ． 【答案】100 【入選理由】本題主要考查頻率分布直方圖，等差數(shù)列等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查學(xué)生讀圖和將圖中信息轉(zhuǎn)化成所求問題必需的條件的能力，分析問題解決問題的能力和運(yùn)算求解能力．用頻率估計(jì)總體在生活中經(jīng)常用到，故是高考考試重點(diǎn)，故選此題. 7.為了解家庭收入高低對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)文史與理工的關(guān)系，某科研機(jī)構(gòu)在某綜合性大學(xué) 校園中隨機(jī)地對(duì)100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，其結(jié)果如下： 家庭收入高 家庭收入低 合計(jì) 文史 25 25 50 理工 15 35 50 合計(jì) 40 60 100 （I）從被調(diào)查的100名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，求來自家庭收入低的概率； （Ⅱ）在被調(diào)查的100名學(xué)生中，利用分層抽樣方法從學(xué)習(xí)文史類專業(yè)的學(xué)生中抽取6人參加科研機(jī)構(gòu)的 座談，為節(jié)約時(shí)間，該科研機(jī)構(gòu)從這6人中選出3人進(jìn)行座談，求這3人中至少有2名學(xué)生來自家庭收 入高的概率. （Ⅲ）你是否有99%的把握認(rèn)為“家庭收入高低對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)文史與理工有關(guān)”？ P(K2≥k0) 0.10 0.05 0.010 0.005 k0 2.706 3.841 6.635 7.879 【解析】(I)設(shè)“從被調(diào)查的100名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，來自家庭收入低”為事件A，由題設(shè)可知被調(diào)查的學(xué)生總數(shù)為100名，其中家庭收入低的學(xué)生有60名，故. （Ⅱ）由題意知，抽取的6名學(xué)生來自家庭收入高和家庭收入低各3名，設(shè)家庭收入高的3名學(xué)生分別是,,，家庭收入低的3名學(xué)生分別為,,，從這6人中選出3人的所有選法為:， ，，共20種不同的方法. 而其中至少有2名學(xué)生來自家庭出入高的可能情況為:，共10種，所以這3人中至少有2名學(xué)生來自家庭收入高的概率為. （Ⅲ）結(jié)合列聯(lián)表可算得, 所以沒有99%的把握認(rèn)為“家庭收入高低對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)文史與理工有關(guān)”． 【入選理由】本題主要考查獨(dú)立性檢驗(yàn)，統(tǒng)計(jì)初步知識(shí)，古典概率等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查學(xué)生處理數(shù)據(jù)的能力、分析問題解決問題的能力和運(yùn)算求解能力．近幾年高考加強(qiáng)對(duì)統(tǒng)計(jì)案例的考查，而獨(dú)立性檢驗(yàn)又是重點(diǎn)，故選此題. 8.2016年全國高考只有最后幾十天，某省一重點(diǎn)中學(xué) 對(duì)本屆高三文科的1200名學(xué)生進(jìn)行全國卷數(shù)學(xué)模擬適用測(cè)評(píng).這1200人隨機(jī)分為6組，每組200人，并把這6組隨機(jī)編排在六天分別進(jìn)行考察，最后把考察結(jié)果量化為分?jǐn)?shù)，總分150分.現(xiàn)根據(jù)第一組200人的得分繪制出如下頻率分布直方圖： （Ⅰ）利用第一組200人的得分情況，估測(cè)一下 1200人中得分在105分以上的人數(shù)； （Ⅱ）根據(jù)頻率分布直方圖求出中位數(shù)和眾數(shù)； （Ⅲ）如果本次參加測(cè)評(píng)的1200人平均分?jǐn)?shù)不低于100分，就符合期望，即說明學(xué)生已經(jīng)順利適用高考的題型，學(xué)校的文科數(shù)學(xué)教學(xué)是成功的，否則就不符合期望，學(xué)生和老師要繼續(xù)調(diào)整學(xué)習(xí)和教學(xué).請(qǐng)你利用第一組200人得分的平均值（每組的平均數(shù)按照對(duì)應(yīng)區(qū)間的中點(diǎn)來計(jì)算）來判斷一下，這次測(cè)試是否符合期望. 【入選理由】本題主要考查頻率分布直方圖，數(shù)理統(tǒng)計(jì)求解等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查學(xué)生讀圖和將圖中信息轉(zhuǎn)化成所求問題必需的條件的能力，閱讀能力以及化歸轉(zhuǎn)化能力，分析問題解決問題的能力和運(yùn)算求解能力．用頻率估計(jì)總體在生活中經(jīng)常用到，故是高考考試重點(diǎn)，故選此題.