高三數學二輪復習 專題限時集訓10 專題4 突破點10 空間幾何體表面積或體積的求解 理

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專題限時集訓(十)　空間幾何體表面積或體積的求解 建議A、B組各用時：45分鐘] A組　高考達標] 一、選擇題 1．(2016石家莊二模)一個三棱錐的正視圖和俯視圖如圖1013所示，則該三棱錐的側視圖可能為(　　) 　　　　　　　　　　　圖1013 D　分析三視圖可知，該幾何體為如圖所示的三棱錐，其中平面ACD⊥平面BCD，故選D.] 2．(2016鄭州一模)一個幾何體的三視圖如圖1014所示，且其側視圖是一個等邊三角形，則這個幾何體的體積為(　　) 圖1014 A.　　　　　　 B. C．2 D. B　由題意得， 該幾何體為如圖所示的五棱錐PABCDE，∴體積V＝＝，故選B.] 3．(2016開封一模)在三棱錐PABC中，AB＝BC＝，AC＝6，PC⊥平面ABC，PC＝2，則該三棱錐的外接球表面積為(　　) 【導學號：85952038】 A.π B．π C.π D.π D　由題可知，△ABC中AC邊上的高為＝，球心O在底面ABC的投影即為△ABC的外心D，設DA＝DB＝DC＝x，∴x2＝32＋(－x)2，解得x＝，∴R2＝x2＋2＝＋1＝(其中R為三棱錐外接球的半徑)，∴外接球的表面積S＝4πR2＝π，故選D.] 4．(2016湖北七市模擬)已知某幾何體的三視圖如圖1015所示，其中俯視圖是正三角形，則該幾何體的體積為(　　) 圖1015 A.　　 B．2 C．3　　 D．4 B　分析題意可知，該幾何體是由如圖所示的三棱柱ABCA1B1C1截去四棱錐ABEDC得到的，故其體積V＝223－2＝2，故選B.] 5．(2016廣州二模)如圖1016，網格紙上小正方形的邊長為1， 圖1016 粗線畫出的是某個四面體的三視圖，則該四面體的表面積為(　　) A．8＋8＋4 B．8＋8＋2 C．2＋2＋ D.＋＋  A　在正方體中還原出該四面體CA1EC1如圖所示，可求得該四面體的表面積為8＋8＋4.] 二、填空題 6．(2016昆明一模)已知三棱錐PABC的頂點P，A，B，C在球O的球面上，△ABC是邊長為的等邊三角形，如果球O的表面積為36π，那么P到平面ABC距離的最大值為________． 3＋2　依題意，邊長是的等邊△ABC的外接圓半徑r＝＝1.∵球O的表面積為36π＝4πR2，∴球O的半徑R＝3，∴球心O到平面ABC的距離d＝＝2，∴球面上的點P到平面ABC距離的最大值為R＋d＝3＋2.] 7．(2016山東省實驗模擬)三棱錐PABC中，D，E分別為PB，PC的中點，記三棱錐DABE的體積為V1，PABC的體積為V2，則＝________. 　如圖，設S△ABD＝S1，S△PAB＝S2，E到平面ABD的距離為h1，C到平面PAB的距離為h2，則S2＝2S1，h2＝2h1，V1＝S1h1，V2＝S2h2，所以＝＝.] 8．(2016海口二模)半徑為2的球O中有一內接正四棱柱(底面是正方形，側棱垂直底面)．當該正四棱柱的側面積最大時，球的表面積與該正四棱柱的側面積之差是________． 16(π－)　設內接正四棱柱底邊長為a，高為h，那么16＝2a2＋h2≥2ah，正四棱柱的側面積S＝4ah≤16，球的表面積與該正四棱柱的側面積之差是16(π－)．] 三、解答題 9．(2016合肥二模)如圖1017，P為正方形ABCD外一點，PB⊥平面ABCD，PB＝AB＝2，E為PD的中點． 圖1017 (1)求證：PA⊥CE； (2)求四棱錐PABCD的表面積． 解]　(1)證明：取PA的中點F，連接EF，BF，則EF∥AD∥BC，即EF，BC共面． ∵PB⊥平面ABCD，∴PB⊥BC，又BC⊥AB且PB∩AB＝B， ∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PA.3分 ∵PB＝AB，∴BF⊥PA，又BC∩BF＝B， ∴PA⊥平面EFBC，∴PA⊥CE.6分 (2)設四棱錐PABCD的表面積為S， ∵PB⊥平面ABCD，∴PB⊥CD，又CD⊥BC，PB∩BC＝B， ∴CD⊥平面PBC，∴CD⊥PC，即△PCD為直角三角形，8分 由(1)知BC⊥平面PAB，而AD∥BC，∴AD⊥平面PAB， 故AD⊥PA，即△PAD也為直角三角形． S?ABCD＝22＝4， S△PBC＝S△PAB＝S△PDA＝22＝2， S△PCD＝2＝2，10分 ∴S表＝S?ABCD＋S△PBC＋S△PDA＋S△PAB＋S△PCD ＝10＋2.12分 10．(2016湖北七市模擬)如圖1018，一個側棱長為l的直三棱柱ABCA1B1C1容器中盛有液體(不計容器厚度)．若液面恰好分別過棱AC，BC，B1C1，A1C1的中點D，E，F，G. 圖1018 (1)求證：平面DEFG∥平面ABB1A1； (2)當底面ABC水平放置時，求液面的高． 解]　(1)證明：因為D，E分別為棱AC，BC的中點，所以DE是△ABC的中位線，所以DE∥AB.又DE?平面ABB1A1，AB?平面ABB1A1，所以DE∥平面ABB1A1.同理DG∥平面ABB1A1，又DE∩DG＝D，所以平面DEFG∥平面ABB1A1.6分 (2)當直三棱柱ABCA1B1C1容器的側面AA1B1B水平放置時，由(1)可知，液體部分是直四棱柱，其高即為原直三棱柱ABCA1B1C1容器的高，即側棱長l，當底面ABC水平放置時，設液面的高為h，△ABC的面積為S，則由已知條件可知，△CDE∽△ABC，且S△CDE＝S，所以S四邊形ABED＝S.9分 由于兩種狀態(tài)下液體體積相等，所以V液體＝Sh＝S四邊形ABEDl＝Sl，即h＝l. 因此，當底面ABC水平放置時，液面的高為l.12分 B組　名校沖刺] 一、選擇題 1．(2016沈陽一模)如圖1019，網格紙的各小格都是正方形，粗實線畫出的是一個凸多面體的三視圖(兩個矩形，一個直角三角形)，則這個幾何體可能為(　　) 圖1019 A．三棱臺 B．三棱柱 C．四棱柱 D．四棱錐 B　根據三視圖的法則：長對正，高平齊，寬相等，可得幾何體如圖所示．這是一個三棱柱．] 2．(2016重慶二模)某幾何體的三視圖如圖1020所示，則該幾何體的體積為(　　) 圖1020 A. B． C. D. B　根據三視圖可知，幾何體是由一個直三棱柱與一個三棱錐所組成的，其中該直三棱柱的底面是一個直角三角形(直角邊長分別為1,2，高為1)；該三棱錐的底面是一個直角三角形(腰長分別為1,2，高為1)，因此該幾何體的體積為211＋211＝，選B.] 3．(2016唐山二模)某幾何體的三視圖如圖1021所示，則該幾何體的體積為(　　) 圖1021 A．6π＋4 B．π＋4 C. D．2π D　由三視圖知，該幾何體為一個底面半徑為1，高為1的圓柱體，與底面半徑為1，高為2的半圓柱體構成，所以該三視圖的體積為π121＋π122＝2π，故選D.] 4．(2016江西上饒三模)從點P出發(fā)的三條射線PA，PB，PC兩兩成60角，且分別與球O相切于A，B，C三點，若OP＝，則球的體積為(　　) A. B． C. D. C　設OP交平面ABC于O′， 由題得△ABC和△PAB為正三角形， 所以O′A＝AB＝AP. 因為AO′⊥PO，OA⊥PA， 所以＝，＝，＝， 所以OA＝＝＝1， 即球的半徑為1， 所以其體積為π13＝π.選C.] 二、填空題 5．(2016廣州二模)一個六棱柱的底面是正六邊形，側棱垂直于底面，所有棱的長都為1，頂點在同一個球面上，則該球的體積為________. 【導學號：85952039】 　由題意知六棱柱的底面正六邊形的外接圓半徑r＝1, 其高h＝1，∴球半徑為R＝＝＝，∴該球的體積V＝πR3＝3π＝.] 圖1022 6．如圖1022，在三棱錐ABCD中，△ACD與△BCD都是邊長為4的正三角形，且平面ACD⊥平面BCD，則該三棱錐外接球的表面積為________． π　取AB，CD的中點分別為E，F，連接EF，AF，BF，由題意知AF⊥BF，AF＝BF＝2，EF＝＝，易知三棱錐的外接球球心O在線段EF上， 所以OE＋OF＝. 設外接球的半徑為R，連接OA，OC，則有R2＝AE2＋OE2，R2＝CF2＋OF2，所以AE2＋OE2＝CF2＋OF2，()2＋OE2＝22＋OF2， 所以OF2－OE2＝2， 又OE＋OF＝，則OF2＝，R2＝，所以該三棱錐外接球的表面積為4πR2＝π.] 三、解答題 圖1023 7．如圖1023，矩形CDEF和梯形ABCD互相垂直，∠BAD＝∠ADC＝90，AB＝AD＝CD，BE⊥DF. (1)若M為EA中點，求證：AC∥平面MDF； (2)若AB＝2，求四棱錐EABCD的體積． 解]　(1)證明：設EC與DF交于點N，連接MN， 在矩形CDEF中，點N為EC中點， 因為M為EA中點，所以MN∥AC.2分 又因為AC?平面MDF，MN?平面MDF， 所以AC∥平面MDF.4分 (2)取CD中點為G，連接BG，EG， 平面CDEF⊥平面ABCD，平面CDEF∩平面ABCD＝CD， AD?平面ABCD，AD⊥CD， 所以AD⊥平面CDEF，同理ED⊥平面ABCD，7分 所以ED的長即為四棱錐EABCD的高.8分 在梯形ABCD中，AB＝CD＝DG，AB∥DG， 所以四邊形ABGD是平行四邊形，BG∥AD，所以BG⊥平面CDEF. 又DF?平面CDEF，所以BG⊥DF，又BE⊥DF，BE∩BG＝B， 所以DF⊥平面BEG，DF⊥EG.10分 注意到Rt△DEG∽Rt△EFD，所以DE2＝DGEF＝8，DE＝2， 所以VEABCD＝S梯形ABCDED＝4.12分 8．如圖1024，在多面體ABCDM中，△BCD是等邊三角形，△CMD是等腰 圖1024 直角三角形，∠CMD＝90，平面CMD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，點O為CD的中點，連接OM. (1)求證：OM∥平面ABD； (2)若AB＝BC＝2，求三棱錐ABDM的體積． 解]　(1)證明：∵△CMD是等腰直角三角形，∠CMD＝90，點O為CD的中點，∴OM⊥CD.1分 ∵平面CMD⊥平面BCD，平面CMD∩平面BCD＝CD，OM?平面CMD， ∴OM⊥平面BCD.2分 ∵AB⊥平面BCD，∴OM∥AB.3分 ∵AB?平面ABD，OM?平面ABD，∴OM∥平面ABD.4分 (2)法一：由(1)知OM∥平面ABD， ∴點M到平面ABD的距離等于點O到平面ABD的距離.5分 過點O作OH⊥BD，垂足為點H. ∵AB⊥平面BCD，OH?平面BCD，∴OH⊥AB.6分 ∵AB?平面ABD，BD?平面ABD，AB∩BD＝B，∴OH⊥平面ABD.7分 ∵AB＝BC＝2，△BCD是等邊三角形， ∴BD＝2，OD＝1，OH＝ODsin 60＝.9分 ∴V三棱錐ABDM＝V三棱錐MABD ＝ABBDOH11分 ＝22＝. ∴三棱錐ABDM的體積為.12分 法二：由(1)知OM∥平面ABD， ∴點M到平面ABD的距離等于點O到平面ABD的距離.5分 ∵AB＝BC＝2，△BCD是等邊三角形，∴BD＝2，OD＝1.6分 連接OB，則OB⊥CD，OB＝BDsin 60＝.7分 ∴V三棱錐ABDM＝V三棱錐MABD＝V三棱錐OABD＝V三棱錐ABDO ＝ODOBAB11分 ＝12＝. ∴三棱錐ABDM的體積為.12分