2、作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖：
目標函數z＝的幾何意義為動點M(x，y)到定點D(－1,2)的斜率，當M位于A時，此時DA的斜率最小，此時zmin＝＝－.故選B.]
3．若變量x，y滿足約束條件則z＝x－2y的最大值為( )
A．4 B．3
C．2 D．1
B [法一：(驗證法)由約束條件可知可行域的邊界分別為直線y＝1，x＋y＝0，x－y－2＝0，
則邊界的交點分別為(－1,1)，(3,1)，(1，－1)，
分別代入z＝x－2y，
得對應的z分別為－3,1,3，
可得z的最大值為3，故選B.
法二：(數形結合法)作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示(含邊界)，
3、
作出直線x－2y＝0并平移，
由圖可知，當直線過點(1，－1)時，z取得最大值，
即zmax＝1－2×(－1)＝3，故選B.]
4．若x，y滿足條件則目標函數z＝x2＋y2的最小值是
( )
A. B．2
C．4 D．
B [作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示．過原點O(0,0)作直線x＋y－2＝0的垂線，垂線段的長度d＝＝，易知zmin＝d2＝2，故選B.]
5．(2019·湘潭三模)已知實數x，y滿足不等式組則z＝|x－y－3|的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
A [作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖：
z＝|x－y－3|＝·，
則的
4、幾何意義為區(qū)域內的點到直線x－y－3＝0的距離d，則z＝d，
作出直線x－y－3＝0，由圖像知，當直線經過平面區(qū)域，則d的最小值為0，當直線經過B時，d取得最大值，
由
得即B，
d的最大值為d＝＝，
即0≤d≤，則0≤d≤，即0≤z≤，
則z的取值范圍是，故選A.]
6．(2019·漳州模擬)若不等式組所表示的平面區(qū)域被直線l：mx－y＋m＋1＝0分為面積相等的兩部分，則m＝( )
A. B．2
C．－ D．－2
A [由題意可畫出可行域為△ABC及其內部所表示的平面區(qū)域，如圖所示．
聯立可行域邊界所在直線方程，可得A(－1,1)，B，C(4,6)．因為直線l：y＝m
5、(x＋1)＋1過定點A(－1,1)，直線l將△ABC分為面積相等的兩部分，所以直線l過邊BC的中點D，易得D，代入mx－y＋m＋1＝0，得m＝，故選A.]
7．某顏料公司生產A，B兩種產品，其中生產每噸A產品，需要甲染料1噸，乙染料4噸，丙染料2噸；生產每噸B產品，需要甲染料1噸，乙染料0噸，丙染料5噸，且該公司一天之內甲、乙、丙三種染料的用量分別不超過50噸、160噸、200噸．如果A產品的利潤為300元/噸，B產品的利潤為200元/噸，則該顏料公司一天內可獲得的最大利潤為( )
A．14 000元 B．16 000元
C．18 000元 D．20 000元
A [設生產A產品x噸
6、，B產品y噸，
則
利潤z＝300x＋200y，
可行域如圖陰影部分所示．
由圖可知，當直線y＝－x＋經過點A時，z最大．
由
可得x＝40，y＝10，
即A(40,10)．
zmax＝300×40＋200×10＝14 000.]
二、填空題
8．設點(x，y)滿足約束條件且x∈Z，y∈Z，則這樣的點共有________個．
12 [畫出表示的可行域如圖陰影部分所示(含邊界)，
由圖可知，滿足x∈Z，y∈Z的(x，y)為(－4，－1)，(－3,0)，(－2,1)，(－2,0)，(－1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3
7、)，(1,0)，共12個．]
9．(2019·北京高考)若x，y滿足則y－x的最小值為________，最大值為________．
－3 1 [作出可行域，如圖中陰影部分所示．
設y－x＝z，則y＝x＋z，當直線y＝x＋z的縱截距最大時，z有最大值，當直線y＝x＋z的縱截距最小時，z有最小值．由圖可知，當直線y＝x＋z過點A時，z有最大值，
聯立
可得即A(2,3)，
所以zmax＝3－2＝1；當直線y＝x＋z過點B(2，－1)時，z有最小值，所以zmin＝－1－2＝－3.]
10．(2019·黃山二模)已知x，y滿足約束條件若z＝－kx＋y取得最小值的最優(yōu)解不唯一，則實數k
8、的值為________．
±1 [由約束條件作出可行域如圖，
化z＝－kx＋y為y＝kx＋z，
∵z＝－kx＋y取得最小值的最優(yōu)解不唯一，
∴k＝±1.]
1．若不等式組表示的平面區(qū)域為三角形，且其面積等于，則m的值為( )
A．－3 B．1
C． D．3
B [作出可行域，如圖中陰影部分所示，易求A，B，C，D的坐標分別為A(2,0)，B(1－m,1＋m)，C，D(－2m,0)．
S△ABC＝S△ADB－S△ADC＝|AD|·|yB－yC|＝(2＋2m)·＝(1＋m)＝，解得m＝1或m＝－3(舍去)．]
2．已知x，y滿足約束條件若z＝ax＋y的最大值為4，
9、則a＝
( )
A．3 B．2
C．－2 D．－3
B [畫出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，若z＝ax＋y的最大值為4，則最優(yōu)解為x＝1，y＝1或x＝2，y＝0，經檢驗知x＝2，y＝0符合題意，∴2a＋0＝4，此時a＝2，故選B.]
3．已知O是坐標原點，點A(－1,1)．若點M(x，y)為平面區(qū)域上的一個動點，則·的取值范圍是________．
[0,2] [滿足約束條件的平面區(qū)域如圖陰影部分所示．
將平面區(qū)域的三個頂點坐標分別代入平面向量數量積公式．
當x＝1，y＝1時，·＝－1×1＋1×1＝0；
當x＝1，y＝2時，·＝－1×1＋1×2＝1；
當x＝0，
10、y＝2時，·＝－1×0＋1×2＝2.
故·的取值范圍為[0,2]．
4．已知約束條件若目標函數z＝x＋ay(a≥0)恰好在點(2,2)處取到最大值，則a的取值范圍為________．
[作出不等式組對應的平面區(qū)域，如圖陰影部分所示，
當a＝0時，z＝x，即x＝z，此時不成立．
故a≠0.由z＝x＋ay得y＝－x＋.
由解得即A(2,2)．
要使目標函數z＝x＋ay(a≥0)僅在點A(2,2)處取得最大值，則陰影部分區(qū)域在直線y＝－x＋的下方，即目標函數的斜率k＝－，滿足k＞kAC，即－＞－3.
∵a＞0，∴a＞，即a的取值范圍為.]
1．(2019·福建高三考前模擬
11、)已知A(1，－1)，B(4,0)，C(2,2)，平面區(qū)域E是由所有滿足＝λ＋μ(1≤λ≤2,1≤μ≤3)的點D(x，y)組成的區(qū)域，則區(qū)域的面積是( )
A．8 B．12
C．16 D．20
C [由A(1，－1)，B(4,0)，C(2,2)，D(x，y)，
得＝(x－1，y＋1)，＝(3,1)，＝(1,3)．
因為＝λ＋μ，
所以，解得
又因為1≤λ≤2,1≤μ≤3，
代入化簡得
畫出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分，且陰影部分為平行四邊形，由直線方程解出點A(5,3)，B(8,4)，C(10,10)，D(7,9)，點D(7,9)到直線AB：x－3y＋4＝0的距離d＝＝，
|AB|＝，所以陰影部分面積為S＝×＝16，故選C.
]
2．(2019·金華模擬)已知實數x，y滿足不等式組則y的最小值為________；當ax＋y的最大值為時，實數a的值為________．
1 －2 [畫出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所示：
由圖形知，點A的縱坐標最小，
由求得A(2,1)，
所以y的最小值為1.
設z＝ax＋y，則y＝z－ax，
由題意知，當－a大于直線x－y＋2＝0的斜率1，即－a＞1，a＜－1時，z取得最大值，且取得最大值的最優(yōu)解為點B.
由，解得B，
∴a＋＝，解得a＝－2.]
8
2021高考數學一輪復習 課后限時集訓39 二元一次不等式（組）與簡單的線性規(guī)劃問題 理 北師大版
