2021高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 課后限時集訓(xùn)33 數(shù)列的概念與簡單表示法 理 北師大版

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1、課后限時集訓(xùn)33 數(shù)列的概念與簡單表示法 建議用時：45分鐘 一、選擇題 1．?dāng)?shù)列0,1,0，－1,0,1,0，－1，…的一個通項公式an等于(　　) A． B．cos C．cosπ D．cosπ D　[令n＝1,2,3，…，逐一驗證四個選項，易得D正確．] 2．若Sn為數(shù)列{an}的前n項和，且Sn＝，則等于(　　) A. B. C. D.30 D　[當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝－＝，所以＝5×6＝30.] 3．記Sn為數(shù)列{an}的前n項和．“任意正整數(shù)n，均有an>0”是“{Sn}是遞增數(shù)列”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C

2、．充要條件 D．既不充分也不必要條件 A　[∵“an>0”?“數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列”， ∴“an>0”是“數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列”的充分條件． 如數(shù)列{an}為－1,1,3,5,7,9，…，顯然數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列，但是an不一定大于零，還有可能小于零， ∴“數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列”不能推出“an>0”， ∴“an>0”是“數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列”的不必要條件． ∴“an>0”是“數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列”的充分不必要條件．] 4．(2019·武漢5月模擬)數(shù)列{an}中，an＋1＝2an＋1，a1＝1，則a6＝(　　) A．32 B．62 C．63 D．64 C　[數(shù)

3、列{an}中，an＋1＝2an＋1，故an＋1＋1＝2(an＋1)， 因為a1＝1，故a1＋1＝2≠0，故an＋1≠0， 所以＝2，所以{an＋1}為等比數(shù)列，首項為2，公比為2. 所以an＋1＝2n即an＝2n－1，故a6＝63，故選C.] 5．若數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2－10n(n∈N＋)，則數(shù)列{nan}中數(shù)值最小的項是(　　) A．第2項 B．第3項 C．第4項 D．第5項 B　[∵Sn＝n2－10n， ∴當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n－11； 當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝－9也適合上式． ∴an＝2n－11(n∈N＋)． 記f(n)＝nan＝n(2n

4、－11)＝2n2－11n， 此函數(shù)圖像的對稱軸為直線n＝，但n∈N＋， ∴當(dāng)n＝3時，f(n)取最小值． ∴數(shù)列{nan}中數(shù)值最小的項是第3項．] 二、填空題 6．已知數(shù)列，，，，，…，則5是它的第________項． 21　[數(shù)列，，，，，…中的各項可變形為，，，，，…， 所以通項公式為an＝＝， 令＝5，得n＝21.] 7．若數(shù)列{an}滿足a1＝1，a2＝3，an＋1＝(2n－λ)an(n＝1,2，…)，則a3等于________． 15　[令n＝1，則3＝2－λ，即λ＝－1，由an＋1＝(2n＋1)an，得a3＝5a2＝5×3＝15.] 8．在一個數(shù)列中，如果任

5、意n∈N＋，都有anan＋1an＋2＝k(k為常數(shù))，那么這個數(shù)列叫做等積數(shù)列，k叫做這個數(shù)列的公積．已知數(shù)列{an}是等積數(shù)列，且a1＝1，a2＝2，公積為8，則a1＋a2＋a3＋…＋a12＝________. 28　[∵a1a2a3＝8，且a1＝1，a2＝2. ∴a3＝4，同理可求a4＝1，a5＝2. a6＝4，∴{an}是以3為周期的數(shù)列， ∴a1＋a2＋a3＋…＋a12＝(1＋2＋4)×4＝28.] 三、解答題 9．(2019·洛陽模擬)已知數(shù)列{an}滿足a1＝50， an＋1＝an＋2n(n∈N＋)， (1)求{an}的通項公式； (2)已知數(shù)列{bn}的前n項和

6、為an，若bm＝50，求正整數(shù)m的值． [解]　(1)當(dāng)n≥2時， an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1 ＝2(n－1)＋2(n－2)＋…＋2×2＋2×1＋50 ＝2×＋50 ＝n2－n＋50. 又a1＝50＝12－1＋50， ∴{an}的通項公式為an＝n2－n＋50，n∈N＋. (2)b1＝a1＝50， 當(dāng)n≥2時， bn＝an－an－1＝n2－n＋50－[(n－1)2－(n－1)＋50]＝2n－2， 即bn＝. 當(dāng)m≥2時，令bm＝50，得2m－2＝50，解得m＝26. 又b1＝50， ∴正整數(shù)m的值為1或

7、26. 10．設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn.已知a1＝a(a≠3)，an＋1＝Sn＋3n，n∈N＋，設(shè)bn＝Sn－3n， (1)求數(shù)列{bn}的通項公式； (2)若an＋1≥an，n∈N＋，求a的取值范圍． [解]　(1)依題意，Sn＋1－Sn＝an＋1＝Sn＋3n， 即Sn＋1＝2Sn＋3n， 由此得Sn＋1－3n＋1＝2(Sn－3n)， 即bn＋1＝2bn， 又b1＝S1－3＝a－3， 所以數(shù)列{bn}的通項公式為bn＝(a－3)2n－1，n∈N＋. (2)由(1)知Sn＝3n＋(a－3)2n－1，n∈N＋， 于是，當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝3n＋(a－3)

8、2n－1－3n－1－(a－3)2n－2＝2×3n－1＋(a－3)2n－2， an＋1－an＝4×3n－1＋(a－3)2n－2 ＝2n－2， 當(dāng)n≥2時， an＋1≥an?12×n－2＋a－3≥0?a≥－9， 又a2＝a1＋3＞a1(a≠3)． 綜上，a的取值范圍是[－9,3)∪(3，＋∞)． 1．已知數(shù)列{an}滿足：a1＝1，an＋1＝(n∈N＋)，若bn＋1＝(n－λ) ，b1＝－λ，且數(shù)列{bn}是遞增數(shù)列，則實數(shù)λ的取值范圍是(　　) A．(2，＋∞) B．(3，＋∞) C．(－∞，2) D．(－∞，3) C　[由an＋1＝，知＝＋1，即＋1＝2，所以數(shù)列是首

9、項為＋1＝2，公比為2的等比數(shù)列，所以＋1＝2n，所以bn＋1＝(n－λ)·2n，因為數(shù)列{bn}是遞增數(shù)列，所以bn＋1－bn＝(n－λ)2n－(n－1－λ)2n－1＝(n＋1－λ) 2n－1＞0對一切正整數(shù)n恒成立，所以λ＜n＋1， 因為n∈N＋，所以λ＜2，故選C.] 2．(2019·臨沂三模)意大利數(shù)學(xué)家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖為例，引入“兔子數(shù)列”： 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55，…即F(1)＝F(2)＝1，F(xiàn)(n)＝F(n－1)＋F(n－2)(n≥3，n∈N＋)，此數(shù)列在現(xiàn)代物理“準晶體結(jié)構(gòu)”、化學(xué)等都有著廣泛的應(yīng)用．若此數(shù)列被2整除后的余數(shù)構(gòu)成一個新數(shù)

10、列{an}，則數(shù)列{an}的前2 019項的和為(　　) A．672 B．673 C．1 346 D．2 019 C　[由數(shù)列1,1,2,3,5,8,13,21,34,55，…各項除以2的余數(shù)，可得{an}為1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,0，…，所以{an}是周期為3的周期數(shù)列， 一個周期中三項和為1＋1＋0＝2， 因為2 019＝673×3， 所以數(shù)列{an}的前2 019項的和為673×2＝1 346，故選C.] 3．(2019·晉城三模)記數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若Sn＝3an＋2n－3，則數(shù)列{an}的通項公式為an＝________. an＝2－n

11、　[當(dāng)n＝1時，S1＝a1＝3a1－1，解得a1＝；當(dāng)n≥2時，Sn＝3an＋2n－3， Sn－1＝3an－1＋2n－5，兩式相減可得， an＝3an－3an－1＋2，故an＝an－1－1，設(shè)an＋λ＝(an－1＋λ)，故λ＝－2，即an－2＝(an－1－2)，故＝.故數(shù)列{an－2}是以－為首項，為公比的等比數(shù)列，故an－2＝－·n－1，故an＝2－n.] 4．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，其前n項和為Sn，且滿足2Sn＝(n＋1)an (n∈N＋)． (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)記bn＝3n－λa，若數(shù)列{bn}為遞增數(shù)列，求λ的取值范圍． [解]　(1)∵2Sn

12、＝(n＋1)an， ∴2Sn＋1＝(n＋2)an＋1， ∴2an＋1＝(n＋2)an＋1－(n＋1)an， 即nan＋1＝(n＋1)an，∴＝， ∴＝＝…＝＝1， ∴an＝n(n∈N＋)． (2)由(1)知bn＝3n－λn2. bn＋1－bn＝3n＋1－λ(n＋1)2－(3n－λn2) ＝2·3n－λ(2n＋1)． ∵數(shù)列{bn}為遞增數(shù)列， ∴2·3n－λ(2n＋1)>0， 即λ<.令cn＝， 即＝·＝>1. ∴{cn}為遞增數(shù)列， ∴λ

13、，按照k從小到大的順序排列在一起，構(gòu)成一個新的數(shù)列{an}：1，，，，，，…，則首次出現(xiàn)時為數(shù)列{an}的(　　) A．第44項 B．第76項 C．第128項 D．第144項 C　[觀察分子分母的和出現(xiàn)的規(guī)律：2,3,4,5，…，把數(shù)列重新分組：，，，…，，可看出第一次出現(xiàn)在第16組，因為1＋2＋3＋…＋15＝120，所以前15組一共有120項；第16組的項為，所以是這一組中的第8項，故第一次出現(xiàn)在數(shù)列的第128項，故選C.] 2．已知二次函數(shù)f(x)＝x2－ax＋a(a＞0，x∈R)有且只有一個零點，數(shù)列{an}的前n項和Sn＝f(n)(n∈N＋)． (1)求數(shù)列{an}的通項公式

14、； (2)設(shè)cn＝1－(n∈N＋)，定義所有滿足cm·cm＋1＜0的正整數(shù)m的個數(shù)，稱為這個數(shù)列{cn}的變號數(shù)，求數(shù)列{cn}的變號數(shù)． [解]　(1)依題意，Δ＝a2－4a＝0， 所以a＝0或a＝4. 又由a＞0得a＝4， 所以f(x)＝x2－4x＋4. 所以Sn＝n2－4n＋4. 當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝1－4＋4＝1； 當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n－5. 所以an＝ (2)由題意得cn＝ 由cn＝1－可知，當(dāng)n≥5時，恒有cn＞0. 又c1＝－3，c2＝5，c3＝－3，c4＝－，c5＝，c6＝， 即c1·c2＜0，c2·c3＜0，c4·c5＜0， 所以數(shù)列{cn}的變號數(shù)為3. 7