2021高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 課后限時(shí)集訓(xùn)18 利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒（能）成立問題 理 北師大版

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1、課后限時(shí)集訓(xùn)18 利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒(能)成立問題 建議用時(shí)：45分鐘 1．(2019·西安質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝ln x，g(x)＝x－1. (1)求函數(shù)y＝f(x)的圖像在x＝1處的切線方程； (2)若不等式f(x)≤ag(x)對(duì)任意的x∈(1，＋∞)均成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． [解]　(1)∵f′(x)＝，∴f′(1)＝1. 又∵f(1)＝0， ∴所求切線的方程為y－f(1)＝f′(1)(x－1)， 即為x－y－1＝0. (2)易知對(duì)任意的x∈(1，＋∞)，f(x)＞0，g(x)＞0. ①當(dāng)a≥1時(shí)，f(x)＜g(x)≤ag(x)； ②當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)＞

2、0，ag(x)≤0，不滿足不等式f(x)≤ag(x)； ③當(dāng)0＜a＜1時(shí)，設(shè)φ(x)＝f(x)－ag(x)＝ln x－a(x－1)， 則φ′(x)＝－a(x＞1)， 令φ′(x)＝0，得x＝， 當(dāng)x變化時(shí)，φ′(x)，φ(x)的變化情況如下表： x φ′(x) ＋ 0 － φ(x) 極大值 ∴φ(x)max＝φ＞φ(1)＝0， 不滿足不等式f(x)≤ag(x)． 綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為[1，＋∞)． 2．已知函數(shù)f(x)＝(a∈R)． (1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)若任意x∈[1，＋∞)，不等式f(x)＞－1恒成立，求實(shí)數(shù)a

3、的取值范圍． [解]　(1)f′(x)＝， 當(dāng)a≤－時(shí)，x2－2x－2a≥0，f′(x)≥0， ∴函數(shù)f(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增． 當(dāng)a＞－時(shí)，令x2－2x－2a＝0， 解得x1＝1－，x2＝1＋. ∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，1－)和(1＋，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(1－，1＋)． (2)f(x)＞－1?＞－1?2a＞x2－ex， 由條件知，2a＞x2－ex對(duì)任意x≥1恒成立． 令g(x)＝x2－ex，h(x)＝g′(x)＝2x－ex， ∴h′(x)＝2－ex. 當(dāng)x∈[1，＋∞)時(shí)，h′(x)＝2－ex≤2－e＜0， ∴h(x)＝g′(x)＝2x－e

4、x在[1，＋∞)上單調(diào)遞減， ∴h(x)＝2x－ex≤2－e＜0， 即g′(x)＜0， ∴g(x)＝x2－ex在[1，＋∞)上單調(diào)遞減， ∴g(x)＝x2－ex≤g(1)＝1－e， 故若f(x)＞－1在[1，＋∞ )上恒成立， 則需2a＞g(x)max＝1－e. ∴a＞，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是. 3．設(shè)f(x)＝＋xln x，g(x)＝x3－x2－3. (1)如果存在x1，x2∈[0,2]使得g(x1)－g(x2)≥M成立，求滿足上述條件的最大整數(shù)M； (2)如果對(duì)于任意的s，t∈，都有f(s)≥g(t)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 3．設(shè)f(x)＝＋xln x，g(x)

5、＝x3－x2－3. (1)如果存在x1，x2∈[0,2]使得g(x1)－g(x2)≥M成立，求滿足上述條件的最大整數(shù)M； (2)如果對(duì)于任意的s，t∈，都有f(s)≥g(t)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． [解]　(1)存在x1，x2∈[0,2]使得g(x1)－g(x2)≥M成立，等價(jià)于[g(x1)－g(x2)]max≥M. 由g(x)＝x3－x2－3，得g′(x)＝3x2－2x＝3x. 令g′(x)＞0得x＜0或x＞， 令g′(x)＜0得0＜x＜， 又x∈[0,2]， 所以g(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增， 所以g(x)min＝g＝－， 又g(0)＝－3，g(2)＝

6、1， 所以g(x)max＝g(2)＝1. 故[g(x1)－g(x2)]max＝g(x)max－g(x)min＝≥M， 則滿足條件的最大整數(shù)M＝4. (2)對(duì)于任意的s，t∈，都有f(s)≥g(t)成立，等價(jià)于在區(qū)間上，函數(shù)f(x)min≥g(x)max， 由(1)可知在區(qū)間上，g(x)的最大值為g(2)＝1. 在區(qū)間上，f(x)＝＋xln x≥1恒成立等價(jià)于a≥x－x2ln x恒成立． 設(shè)h(x)＝x－x2ln x， h′(x)＝1－2xln x－x， 令m(x)＝xln x，由m′(x)＝ln x＋1＞0得x＞. 即m(x)＝xln x在上是增函數(shù)， 可知h′(x)在區(qū)間上是減函數(shù)， 又h′(1)＝0， 所以當(dāng)1＜x＜2時(shí)，h′(x)＜0； 當(dāng)＜x＜1時(shí)，h′(x)＞0. 即函數(shù)h(x)＝x－x2ln x在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞減， 所以h(x)max＝h(1)＝1， 所以a≥1， 即實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1，＋∞)． 4