2021版高考數(shù)學一輪復習 第十二章 復數(shù)、算法、推理與證明 第4講 直接證明與間接證明練習 理 北師大版

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1、第4講 直接證明與間接證明 [基礎(chǔ)題組練] 1．用反證法證明命題：“設(shè)a，b為實數(shù)，則方程x3＋ax＋b＝0至少有一個實根”時，要做的假設(shè)是(　　) A．方程x3＋ax＋b＝0沒有實根 B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一個實根 C．方程x3＋ax＋b＝0至多有兩個實根 D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有兩個實根 解析：選A.依據(jù)反證法的要求，即至少有一個的反面是一個也沒有，直接寫出命題的否定．方程x3＋ax＋b＝0至少有一個實根的反面是方程x3＋ax＋b＝0沒有實根，故應(yīng)選A. 2．分析法又稱執(zhí)果索因法，若用分析法證明“設(shè)a>b>c，且a＋b＋c＝0，求證：

2、　) A．a(chǎn)－b>0　　　　　　 B．a(chǎn)－c>0 C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0 解析：選C.0 ?(a－c)(2a＋c)>0?(a－c)(a－b)>0.故選C. 3．(2020·江西撫州模擬)設(shè)a，b∈R，現(xiàn)給出下列五個條件：①a＋b＝2；②a＋b>2；③a＋b>－2；④ab>1；⑤logab<0(a>0，且a≠1)．其中能推出“a，b中至少有一個大于1”的條件為(　　) A．②③④ B．②③④⑤

3、C．①②③⑤ D．②⑤ 解析：選D.a＝b＝1時，a＋b＝2，所以推不出a，b中至少有一個大于1，①不符合；當a＝b＝0時，a＋b>－2，推不出a，b中至少有一個大于1，③不符合；當a＝b＝－2時，ab>1，推不出a，b中至少有一個大于1，④不符合；對于②，假設(shè)a，b都不大于1，即a≤1，b≤1，則a＋b≤2，與a＋b>2矛盾，所以②能推出a，b中至少有一個大于1；對于⑤，假設(shè)a，b都不大于1，則logab≥loga1＝0，與logab<0矛盾，故⑤能推出a，b中至少有一個大于1.綜上，選D. 4．已知函數(shù)f(x)＝，a，b是正實數(shù)，A＝f，B＝f()，C＝f，則A，B，C的大小關(guān)系為(

4、　　) A．A≤B≤C B．A≤C≤B C．B≤C≤A D．C≤B≤A 解析：選A.因為≥≥，又f(x)＝在R上是減函數(shù)，所以f≤f()≤f，即A≤B≤C. 5．設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當x≥0時，函數(shù)f(x)是減函數(shù)，若x1＋x2>0，則f(x1)＋f(x2)的值(　　) A．恒為負值 B．恒等于零 C．恒為正值 D．無法確定 解析：選A.由f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當x≥0時，函數(shù)f(x)遞減，可知f(x)是R上的減函數(shù)， 由x1＋x2>0，可知x1>－x2，f(x1)b>0

5、，則①<；②ac2>bc2；③a2>b2；④>，其中正確的序號是________． 解析：對于①，因為a>b>0，所以ab>0，>0，a·>b·，即>.故①正確； 當c＝0時，②不正確；由不等式的性質(zhì)知③④正確． 答案：①③④ 7．已知點An(n，an)為函數(shù)y＝圖象上的點，Bn(n，bn)為函數(shù)y＝x圖象上的點，其中n∈N+，設(shè)cn＝an－bn，則cn與cn＋1的大小關(guān)系為________． 解析：由條件得cn＝an－bn＝－n＝， 所以cn隨n的增大而減小，所以cn＋1

6、42n＋1 152n的個位數(shù)字，則an＝________． 解析：42n的個位數(shù)字與2n的個位數(shù)字相同，1 152n的個位數(shù)字也與2n的個位數(shù)字相同，從而42n＋1 152n的個位數(shù)字與2n＋1的個位數(shù)字相同，而2n＋1的個位數(shù)字是以4為周期的數(shù)列，即4，8，6，2，….故42n＋1 152n的個位數(shù)字是以4為周期的數(shù)列：4，8，6，2，….所以an＝(4＋8＋6＋2)×504＝10 080. 答案：10 080 9．已知a≥b>0，求證：2a3－b3≥2ab2－a2b. 證明：2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2) ＝(a2－b2)(2a＋b)＝(

7、a－b)(a＋b)(2a＋b)． 因為a≥b>0，所以a－b≥0，a＋b>0，2a＋b>0， 從而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0， 即2a3－b3≥2ab2－a2b. 10．已知非零向量a，b，且a⊥b，求證：≤. 證明：a⊥b?a·b＝0， 要證≤. 只需證|a|＋|b|≤|a＋b|， 只需證|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2(a2＋2a·b＋b2)， 只需證|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2a2＋2b2， 只需證|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0， 即證(|a|－|b|)2≥0， 上式顯然成立，故原不等式得證． [綜合題組練] 1．已知a，b，

8、c∈R，若·>1且＋≥－2，則下列結(jié)論成立的是(　　) A．a(chǎn)，b，c同號 B．b，c同號，a與它們異號 C．a(chǎn)，c同號，b與它們異號 D．b，c同號，a與b，c的符號關(guān)系不確定 解析：選A.由·>1知與同號， 若>0且>0，不等式＋≥－2顯然成立， 若<0且<0，則－>0，－>0， ＋≥2 >2，即＋<－2， 這與＋≥－2矛盾，故>0且>0，即a，b，c同號． 2．在等比數(shù)列{an}中，“a1

9、， 由a10，則11， 此時，顯然數(shù)列{an}是遞增數(shù)列， 若a1<0，則1>q>q2，即02時，關(guān)于x，y，z的方程xn＋yn＝zn沒有正整數(shù)解．”經(jīng)歷三百多年，于二十世紀九十年代中期，英國數(shù)學家安德魯·懷爾斯證明了費馬猜想，使它終成費馬大定理．則下面說法正確的是(　　) A．至少存在一組正

10、整數(shù)組(x，y，z)，使方程x3＋y3＝z3有解 B．關(guān)于x，y的方程x3＋y3＝1有正有理數(shù)解 C．關(guān)于x，y的方程x3＋y3＝1沒有正有理數(shù)解 D．當整數(shù)n>3時，關(guān)于x，y，z的方程xn＋yn＝zn沒有正實數(shù)解 解析：選C.由于B，C兩個命題是對立的，故正確選項是這兩個選項中的一個．假設(shè)關(guān)于x，y的方程x3＋y3＝1有正有理數(shù)解，則x，y可寫成整數(shù)比值的形式，不妨設(shè)x＝，y＝，其中m，n為互質(zhì)的正整數(shù)，a，b為互質(zhì)的正整數(shù)，代入方程得＋＝1，兩邊同時乘以a3n3，得(am)3＋(bn)3＝(an)3.由于am，bn，an都是正整數(shù)，這與費馬大定理矛盾，所以假設(shè)不成立，所以關(guān)于x，

11、y的方程x3＋y3＝1沒有正有理數(shù)解．故選C. 4．(一題多解)若二次函數(shù)f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1，在區(qū)間[－1，1]內(nèi)至少存在一點c，使f(c)＞0，則實數(shù)p的取值范圍是________． 解析：法一(補集法)： 令解得p≤－3或p≥， 故滿足條件的p的取值范圍為. 法二(直接法)： 依題意有f(－1)＞0或f(1)＞0， 即2p2－p－1＜0或2p2＋3p－9＜0， 得－＜p＜1或－3＜p＜， 故滿足條件的p的取值范圍是. 答案： 5．已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象與x軸有兩個不同的交點，若f(c)＝0，且0

12、f(x)>0. (1)證明：是f(x)＝0的一個根； (2)試比較與c的大??； (3)證明：－20， 由00， 知f>0與f＝0矛盾， 所以≥c，又因為≠c，所以>c. (3)證明：由f(c)＝0，得ac＋b＋1＝0， 所以b＝－1－ac. 又a>0，c>0，所以b<－1. 二次函數(shù)f(x

13、)的圖象的對稱軸方程為 x＝－＝<＝x2＝， 即－<. 又a>0，所以b>－2， 所以－2－2)使函數(shù)h(x)＝在區(qū)間[a，b](a＞－2)上是“四維光軍”函數(shù)， 因為h(x)＝在區(qū)間(－2，＋∞)上是減少的， 所以有即 解得a＝b，這與已知a