2020高考數(shù)學大一輪復習 第十二章 復數(shù)、算法、推理與證明 4 第4講 直接證明與間接證明練習 理(含解析)

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1、第4講 直接證明與間接證明 [基礎題組練] 1.用反證法證明命題:“設a,b為實數(shù),則方程x3+ax+b=0至少有一個實根”時,要做的假設是(  ) A.方程x3+ax+b=0沒有實根 B.方程x3+ax+b=0至多有一個實根 C.方程x3+ax+b=0至多有兩個實根 D.方程x3+ax+b=0恰好有兩個實根 解析:選A.依據(jù)反證法的要求,即至少有一個的反面是一個也沒有,直接寫出命題的否定.方程x3+ax+b=0至少有一個實根的反面是方程x3+ax+b=0沒有實根,故應選A. 2.分析法又稱執(zhí)果索因法,若用分析法證明“設a>b>c,且a+b+c=0,求證:

2、 ) A.a-b>0          B.a-c>0 C.(a-b)(a-c)>0 D.(a-b)(a-c)<0 解析:選C.0 ?(a-c)(2a+c)>0?(a-c)(a-b)>0.故選C. 3.若a,b∈R,則下面四個式子中恒成立的是(  ) A.lg(1+a2)>0       B.a2+b2≥2(a-b-1) C.a2+3ab>2b2 D.< 解析:選B.在B中,因為a2+b2-2(a-b-1)=(a2

3、-2a+1)+(b2+2b+1)=(a-1)2+(b+1)2≥0, 所以a2+b2≥2(a-b-1)恒成立. 4.已知函數(shù)f(x)=,a,b是正實數(shù),A=f,B=f(),C=f,則A,B,C的大小關系為(  ) A.A≤B≤C B.A≤C≤B C.B≤C≤A D.C≤B≤A 解析:選A.因為≥≥,又f(x)=在R上是減函數(shù),所以f≤f()≤f,即A≤B≤C. 5.設f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當x≥0時,f(x)單調遞減,若x1+x2>0,則f(x1)+f(x2)的值(  ) A.恒為負值 B.恒等于零 C.恒為正值 D.無法確定 解析:選A.由f(x)是

4、定義在R上的奇函數(shù),且當x≥0時,f(x)單調遞減,可知f(x)是R上的單調遞減函數(shù), 由x1+x2>0,可知x1>-x2,f(x1)b>0,則①<;②ac2>bc2;③a2>b2;④>,其中正確的序號是________. 解析:對于①,因為a>b>0,所以ab>0,>0,a·>b·,即>.故①正確; 當c=0時,②不正確;由

5、不等式的性質知③④正確. 答案:①③④ 8.已知點An(n,an)為函數(shù)y=圖象上的點,Bn(n,bn)為函數(shù)y=x圖象上的點,其中n∈N*,設cn=an-bn,則cn與cn+1的大小關系為________. 解析:由條件得cn=an-bn=-n=, 所以cn隨n的增大而減小,所以cn+10,求證:2a3-b3≥2ab2-a2b. 證明:2a3-b3-(2ab2-a2b)=2a(a2-b2)+b(a2-b2) =(a2-b2)(2a+b)=(a-b)(a+b)(2a+b). 因為a≥b>0,所以a-b≥0,a+b>0,2a+b>

6、0, 從而(a-b)(a+b)(2a+b)≥0, 即2a3-b3≥2ab2-a2b. 10.已知x,y,z是互不相等的正數(shù),且x+y+z=1,求證:>8. 證明:因為x,y,z是互不相等的正數(shù),且x+y+z=1, 所以-1==>,① -1==>,② -1==>,③ 又x,y,z為正數(shù),由①×②×③, 得>8. [綜合題組練] 1.已知a,b,c∈R,若·>1且+≥-2,則下列結論成立的是(  ) A.a,b,c同號 B.b,c同號,a與它們異號 C.a,c同號,b與它們異號 D.b,c同號,a與b,c的符號關系不確定 解析:選A.由·>1知與同號, 若>0且>

7、0,不等式+≥-2顯然成立, 若<0且<0,則->0,->0, +≥2 >2,即+<-2, 這與+≥-2矛盾,故>0且>0,即a,b,c同號. 2.在等比數(shù)列{an}中,“a10,則11, 此時,顯然數(shù)列{an}是遞增數(shù)列, 若a1<0,則1>q>q2,即0

8、然a1

9、1, 則a+b≤2與a+b>2矛盾, 因此假設不成立,故a,b中至少有一個大于1. 答案:③ 4.(應用型)(一題多解)若二次函數(shù)f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1,在區(qū)間[-1,1]內至少存在一點c,使f(c)>0,則實數(shù)p的取值范圍是________. 解析:法一(補集法): 令解得p≤-3或p≥, 故滿足條件的p的取值范圍為. 法二(直接法): 依題意有f(-1)>0或f(1)>0, 即2p2-p-1<0或2p2+3p-9<0, 得-<p<1或-3<p<, 故滿足條件的p的取值范圍是. 答案: 5.已知非零向量a,b,且a⊥b,求證:≤. 證明

10、:a⊥b?a·b=0, 要證≤. 只需證|a|+|b|≤|a+b|, 只需證|a|2+2|a||b|+|b|2≤2(a2+2a·b+b2), 只需證|a|2+2|a||b|+|b|2≤2a2+2b2, 只需證|a|2+|b|2-2|a||b|≥0, 即證(|a|-|b|)2≥0, 上式顯然成立,故原不等式得證. 6.已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0)的圖象與x軸有兩個不同的交點,若f(c)=0,且00. (1)證明:是f(x)=0的一個根; (2)試比較與c的大?。? (3)證明:-20, 由00, 知f>0與f=0矛盾, 所以≥c,又因為≠c,所以>c. (3)證明:由f(c)=0,得ac+b+1=0, 所以b=-1-ac. 又a>0,c>0,所以b<-1. 二次函數(shù)f(x)的圖象的對稱軸方程為 x=-=<=x2=, 即-<. 又a>0,所以b>-2, 所以-2

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