2020高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù) 9 第9講 函數(shù)模型及其應(yīng)用練習(xí) 理（含解析）

《2020高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù) 9 第9講 函數(shù)模型及其應(yīng)用練習(xí) 理（含解析）》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù) 9 第9講 函數(shù)模型及其應(yīng)用練習(xí) 理（含解析）（8頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第9講 函數(shù)模型及其應(yīng)用 [基礎(chǔ)題組練] 1．在某種新型材料的研制中，實(shí)驗(yàn)人員獲得了下列一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，現(xiàn)準(zhǔn)備用下列四個(gè)函數(shù)中的一個(gè)近似地表示這些數(shù)據(jù)的規(guī)律，其中最接近的一個(gè)是(　　) x 1.992 3 4 5.15 6.126 y 1.517 4.041 8 7.5 12 18.01 A.y＝2x－2　　　　　 　　 B．y＝(x2－1) C．y＝log2x D．y＝logx 解析：選B.由題中表可知函數(shù)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，且y的變化隨x的增大而增大得越來越快，分析選項(xiàng)可知B符合，故選B. 2．某家具的標(biāo)價(jià)為132元，若降價(jià)以九折出售(即優(yōu)惠1

2、0%)，仍可獲利10%(相對(duì)于進(jìn)價(jià))，則該家具的進(jìn)價(jià)是(　　) A．118元 B．105元 C．106元 D．108元 解析：選D.設(shè)進(jìn)價(jià)為a元，由題意知132×(1－10%)－a＝10%·a，解得a＝108.故選D. 3．小明在如圖1所示的跑道上勻速跑步，他從點(diǎn)A出發(fā)，沿箭頭方向經(jīng)過點(diǎn)B跑到點(diǎn)C，共用時(shí)30 s，他的教練選擇了一個(gè)固定的位置觀察小明跑步的過程，設(shè)小明跑步的時(shí)間為t(s)，他與教練間的距離為y(m)，表示y與t的函數(shù)關(guān)系的圖象大致如圖2所示，則這個(gè)固定位置可能是圖1中的(　　) A．點(diǎn)M B．點(diǎn)N C．點(diǎn)P D．點(diǎn)Q 解析：選D.A.假設(shè)這個(gè)位置在點(diǎn)M，則從A

3、至B這段時(shí)間，y不隨時(shí)間的變化改變，與函數(shù)圖象不符，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B.假設(shè)這個(gè)位置在點(diǎn)N，則從A至C這段時(shí)間，A點(diǎn)與C點(diǎn)對(duì)應(yīng)y的大小應(yīng)該相同，與函數(shù)圖象不符，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C.假設(shè)這個(gè)位置在點(diǎn)P，則由函數(shù)圖象可得，從A到C的過程中，會(huì)有一個(gè)時(shí)刻，教練到小明的距離等于經(jīng)過30 s時(shí)教練到小明的距離，而點(diǎn)P不符合這個(gè)條件，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D.經(jīng)判斷點(diǎn)Q符合函數(shù)圖象，故本選項(xiàng)正確，故選D. 4．一種放射性元素的質(zhì)量按每年10%衰減，這種放射性元素的半衰期(剩余質(zhì)量為最初質(zhì)量的一半所需的時(shí)間叫作半衰期)是(精確到0.1，已知lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)(　　) A．5.2 B

4、．6.6 C．7.1 D．8.3 解析：選B.設(shè)這種放射性元素的半衰期是x年，則(1－10%)x＝，化簡(jiǎn)得0.9x＝，即x＝log0.9＝＝＝≈6.6(年)．故選B. 5．(2019·高考全國(guó)卷Ⅰ)古希臘時(shí)期，人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長(zhǎng)度與肚臍至足底的長(zhǎng)度之比是(≈0.618，稱為黃金分割比例)，著名的“斷臂維納斯”便是如此．此外，最美人體的頭頂至咽喉的長(zhǎng)度與咽喉至肚臍的長(zhǎng)度之比也是.若某人滿足上述兩個(gè)黃金分割比例，且腿長(zhǎng)為105 cm，頭頂至脖子下端的長(zhǎng)度為26 cm，則其身高可能是(　　) A．165 cm B．175 cm C．185 cm D．190 cm

5、解析：選B.26＋26÷0.618＋(26＋26÷0.618)÷0.618≈178(cm)，故其身高可能是175 cm，故選B. 6．根據(jù)統(tǒng)計(jì)，一名工人組裝第x件某產(chǎn)品所用的時(shí)間(單位：分鐘)為f(x)＝(A，c為常數(shù))．已知工人組裝第4件產(chǎn)品用時(shí)30分鐘，組裝第A件產(chǎn)品用時(shí)15分鐘，那么c和A的值分別是(　　) A．75，25 B．75，16 C．60，25 D．60，16 解析：選D.由函數(shù)解析式可以看出，組裝第A件產(chǎn)品所需時(shí)間為＝15，故組裝第4件產(chǎn)品所需時(shí)間為＝30，解得c＝60，將c＝60代入＝15，得A＝16. 7．?dāng)M定甲、乙兩地通話m分鐘的電話費(fèi)(單位：元)由f(m)＝

6、1.06(0.5[m]＋1)給出，其中m＞0，[m]是不超過m的最大整數(shù)(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，則甲、乙兩地通話6.5分鐘的電話費(fèi)為________元． 解析：因?yàn)閙＝6.5，所以[m]＝6，則f(m)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24. 答案：4.24 8．某輛汽車每次加油都把油箱加滿，下表記錄了該車相鄰兩次加油時(shí)的情況． 加油時(shí)間 加油量(升) 加油時(shí)的累計(jì)里程(千米) 2016年5月1日 12 35 000 2016年5月15日 48 35 600 注：“累計(jì)里程”指汽車從出廠開始累計(jì)行駛的路程． 在這段時(shí)間內(nèi)，該車每100

7、千米平均耗油量為________升． 解析：因?yàn)槊看味及延拖浼訚M，第二次加了48升油，說明這段時(shí)間總耗油量為48升，而行駛的路程為35 600－35 000＝600(千米)，故每100千米平均耗油量為48÷6＝8(升)．　 答案：8 9．(2019·河北唐山模擬)某人計(jì)劃購(gòu)買一輛A型轎車，售價(jià)為14.4萬元，購(gòu)買后轎車每年的保險(xiǎn)費(fèi)、汽油費(fèi)、年檢費(fèi)、停車費(fèi)等約需2.4萬元，同時(shí)汽車年折舊率約為10%(即這輛車每年減少它的價(jià)值的10%)，試問，大約使用________年后，用在該車上的費(fèi)用(含折舊費(fèi))達(dá)到14.4萬元． 解析：設(shè)使用x年后花費(fèi)在該車上的費(fèi)用達(dá)到14.4萬元，依題意可得，14

8、.4(1－0.9x)＋2.4x＝14.4，化簡(jiǎn)得x－6×0.9x＝0.令f(x)＝x－6×0.9x， 易得f(x)為單調(diào)遞增函數(shù)，又f(3)＝－1.374＜0，f(4)＝0.063 4＞0，所以函數(shù)f(x)在(3，4)上有一個(gè)零點(diǎn)． 故大約使用4年后，用在該車上的費(fèi)用達(dá)到14.4萬元． 答案：4 10．如圖，已知邊長(zhǎng)為8米的正方形鋼板有一個(gè)角被銹蝕，其中AE＝4米，CD＝6米．為了合理利用這塊鋼板，在五邊形ABCDE內(nèi)截取一個(gè)矩形BNPM，使點(diǎn)P在邊DE上． (1)設(shè)MP＝x米，PN＝y(tǒng)米，將y表示成x的函數(shù)，并求該函數(shù)的解析式及定義域； (2)求矩形BNPM面積的最大值．

9、解：(1)如圖，作PQ⊥AF于Q，所以PQ＝8－y，EQ＝x－4， 在△EDF中，＝，所以＝， 所以y＝－x＋10，定義域?yàn)閧x|4≤x≤8}． (2)設(shè)矩形BNPM的面積為S， 則S(x)＝xy＝x＝－(x－10)2＋50， 所以S(x)是關(guān)于x的二次函數(shù)，且其圖象開口向下，對(duì)稱軸為直線x＝10， 所以當(dāng)x∈[4，8]時(shí)，S(x)單調(diào)遞增， 所以當(dāng)x＝8時(shí)，矩形BNPM的面積取得最大值，最大值為48平方米． 11．“活水圍網(wǎng)”養(yǎng)魚技術(shù)具有養(yǎng)殖密度高、經(jīng)濟(jì)效益好的特點(diǎn)．研究表明：“活水圍網(wǎng)”養(yǎng)魚時(shí)，某種魚在一定的條件下，每尾魚的平均生長(zhǎng)速度v(單位：千克/年)是養(yǎng)殖密度x(

10、單位：尾/立方米)的函數(shù)．當(dāng)x不超過4尾/立方米時(shí)，v的值為2千克/年；當(dāng)4

11、)為增函數(shù)，故f(x)max＝f(4)＝4×2＝8； 當(dāng)4

12、地月拉格朗日L2點(diǎn)的軌道運(yùn)行，L2點(diǎn)是平衡點(diǎn)，位于地月連線的延長(zhǎng)線上．設(shè)地球質(zhì)量為M1，月球質(zhì)量為M2，地月距離為R，L2點(diǎn)到月球的距離為r，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律和萬有引力定律，r滿足方程：＋＝(R＋r).設(shè)α＝，由于α的值很小，因此在近似計(jì)算中≈3α3，則r的近似值為(　　) A.R　　B.R　　C.R　　D.R 解析：選D.由＋＝(R＋r)，得＋＝M1.因?yàn)棣粒?，所以＋?1＋α)M1，得＝.由≈3α3，得3α3≈，即3≈，所以r≈·R，故選D. 2．(2019·河北邯鄲聯(lián)考)某企業(yè)準(zhǔn)備投入適當(dāng)?shù)膹V告費(fèi)對(duì)甲產(chǎn)品進(jìn)行促銷宣傳，在一年內(nèi)預(yù)計(jì)銷售量y(萬件)與廣告費(fèi)x(萬元)之間的函數(shù)關(guān)系為y

13、＝1＋(x≥0)．已知生產(chǎn)此產(chǎn)品的年固定投入為4萬元，每生產(chǎn)1萬件此產(chǎn)品仍需再投入30萬元，且能全部售完．若每件甲產(chǎn)品售價(jià)(元)定為“平均每件甲產(chǎn)品所占生產(chǎn)成本的150%”與“年平均每件甲產(chǎn)品所占廣告費(fèi)的50%”之和，則當(dāng)廣告費(fèi)為1萬元時(shí)，該企業(yè)甲產(chǎn)品的年利潤(rùn)為(　　) A．30.5萬元 B．31.5萬元 C．32.5萬元 D．33.5萬元 解析：選B.由題意，產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為(30y＋4)萬元，銷售單價(jià)為×150%＋×50%，故年銷售收入為z＝·y＝45y＋6＋x.所以年利潤(rùn)W＝z－(30y＋4)－x＝15y＋2－＝17＋－(萬元)．所以當(dāng)廣告費(fèi)為1萬元時(shí)，即x＝1，該企業(yè)甲產(chǎn)品的年利

14、潤(rùn)為17＋－＝31.5(萬元)．故選B. 3．食品安全問題越來越引起人們的重視，農(nóng)藥、化肥的濫用對(duì)人民群眾的健康帶來一定的危害，為了給消費(fèi)者帶來放心的蔬菜，某農(nóng)村合作社每年投入200萬元，搭建了甲、乙兩個(gè)無公害蔬菜大棚，每個(gè)大棚至少要投入20萬元，其中甲大棚種西紅柿，乙大棚種黃瓜，根據(jù)以往的種菜經(jīng)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)種西紅柿的年收入P、種黃瓜的年收入Q與投入a(單位：萬元)滿足P＝80＋4，Q＝a＋120，設(shè)甲大棚的投入為x(單元：萬元)，每年兩個(gè)大棚的總收益為f(x)(單位：萬元)． (1)求f(50)的值； (2)試問如何安排甲、乙兩個(gè)大棚的投入，才能使總收益f(x)最大？ 解：(1)由題意知

15、甲大棚投入50萬元， 則乙大棚投入150萬元， 所以f(50)＝80＋4＋×150＋120＝277.5(萬元)． (2)f(x)＝80＋4＋(200－x)＋120＝－x＋4＋250，依題意得?20≤x≤180， 故f(x)＝－x＋4＋250(20≤x≤180)． 令t＝，則t∈[2，6]，y＝－t2＋4t＋250＝－(t－8)2＋282，當(dāng)t＝8，即x＝128時(shí)，f(x)取得最大值，f(x)max＝282. 所以甲大棚投入128萬元，乙大棚投入72萬元時(shí)，總收益最大，且最大總收益為282萬元． 4．某創(chuàng)業(yè)投資公司擬投資開發(fā)某種新能源產(chǎn)品，估計(jì)能獲得投資收益的范圍是[10，100]

16、(單位：萬元)．現(xiàn)準(zhǔn)備制定一個(gè)對(duì)科研課題組的獎(jiǎng)勵(lì)方案：資金y(單位：萬元)隨投資收益x(單位：萬元)的增加而增加且資金不超過5萬元，同時(shí)資金不超過投資收益的20%. (1)若建立函數(shù)模型y＝f(x)制定獎(jiǎng)勵(lì)方案，請(qǐng)你根據(jù)題意，寫出獎(jiǎng)勵(lì)函數(shù)模型應(yīng)滿足的條件； (2)現(xiàn)有兩個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)函數(shù)模型：(ⅰ)y＝x＋1； (ⅱ)y＝log2x－2.試分析這兩個(gè)函數(shù)模型是否符合公司要求． 解：(1)設(shè)獎(jiǎng)勵(lì)函數(shù)模型為y＝f(x)， 則該函數(shù)模型滿足的條件是： ①當(dāng)x∈[10，100]時(shí)，f(x)是增函數(shù)； ②當(dāng)x∈[10，100]時(shí)，f(x)≤5恒成立； ③當(dāng)x∈[10，100]時(shí)，f(x)≤恒成立

17、． (2)(a)對(duì)于函數(shù)模型(ⅰ)y＝x＋1， 它在[10，100]上是增函數(shù)，滿足條件①； 但當(dāng)x＝80時(shí)，y＝5，因此，當(dāng)x>80時(shí)，y>5，不滿足條件②；故該函數(shù)模型不符合公司要求． (b)對(duì)于函數(shù)模型(ⅱ)y＝log2x－2，它在[10，100]上是增函數(shù)，滿足條件①， x＝100時(shí)，ymax＝log2100－2＝2log25<5，即f(x)≤5恒成立．滿足條件②， 設(shè)h(x)＝log2x－2－x，則h′(x)＝－， 又x∈[10，100]，所以≤≤， 所以h′(x)≤－<－＝0， 所以h(x)在[10，100]上是遞減的，因此h(x)≤h(10)＝log210－4<0，即f(x)≤恒成立，滿足條件③， 故該函數(shù)模型符合公司要求． 綜上所述，函數(shù)模型(ⅱ)y＝log2x－2符合公司要求． - 8 -