2020高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第九章 平面解析幾何 3 第3講 圓的方程練習(xí) 理（含解析）

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1、第3講 圓的方程 [基礎(chǔ)題組練] 1．圓心在y軸上，半徑為1，且過點(diǎn)(1，2)的圓的方程是(　　) A．x2＋(y－2)2＝1　　　　　　 B．x2＋(y＋2)2＝1 C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1 解析：選A.設(shè)圓心為(0，a)，則＝1， 解得a＝2，故圓的方程為x2＋(y－2)2＝1.故選A. 2．以M(1，0)為圓心，且與直線x－y＋3＝0相切的圓的方程是(　　) A．(x－1)2＋y2＝8 B．(x＋1)2＋y2＝8 C．(x－1)2＋y2＝16 D．(x＋1)2＋y2＝16 解析：選A.因為所求圓與直線x－y＋3＝

2、0相切，所以圓心M(1，0)到直線x－y＋3＝0的距離即為該圓的半徑r，即r＝＝2.所以所求圓的方程為：(x－1)2＋y2＝8.故選A. 3．方程|x|－1＝所表示的曲線是(　　) A．一個圓 B．兩個圓 C．半個圓 D．兩個半圓 解析：選D.由題意得即或 故原方程表示兩個半圓． 4．(2019·山西晉中模擬)半徑為2的圓C的圓心在第四象限，且與直線x＝0和x＋y＝2均相切，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　　) A．(x－1)2＋(y＋2)2＝4 B．(x－2)2＋(y＋2)2＝2 C．(x－2)2＋(y＋2)2＝4 D．(x－2)2＋(y＋2)2＝4 解析：選C.設(shè)圓心坐

3、標(biāo)為(2，－a)(a>0)，則圓心到直線x＋y＝2的距離d＝＝2，所以a＝2，所以該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋(y＋2)2＝4，故選C. 5．(2019·廣東省七校聯(lián)考)在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A(8，0)，以O(shè)A為直徑的圓與直線y＝2x在第一象限的交點(diǎn)為B，則直線AB的方程為(　　) A．x＋2y－8＝0 B．x－2y－8＝0 C．2x＋y－16＝0 D．2x－y－16＝0 解析：選A.法一：如圖，由題意知OB⊥AB，因為直線OB的方程為y＝2x，所以直線AB的斜率為－，因為A(8，0)，所以直線AB的方程為y－0＝－(x－8)，即x＋2y－8＝0，故選A. 法

4、二：依題意，以O(shè)A為直徑的圓的方程為(x－4)2＋y2＝16， 解方程組，得或(舍去)，即B(，)，因為A(8，0)，所以kAB＝＝－，所以直線AB的方程為y－0＝－(x－8)，即x＋2y－8＝0，故選A. 6．圓C的圓心在x軸上，并且經(jīng)過點(diǎn)A(－1，1)，B(1，3), 若M(m，)在圓C內(nèi)，則m的范圍為________． 解析：設(shè)圓心為C(a，0)，由|CA|＝|CB|得 (a＋1)2＋12＝(a－1)2＋32.所以a＝2. 半徑r＝|CA|＝＝. 故圓C的方程為(x－2)2＋y2＝10. 由題意知(m－2)2＋()2<10，解得0

5、－3)2＋(y－1)2＝5關(guān)于直線y＝－x對稱的圓的方程為________． 解析：由題意知，所求圓的圓心坐標(biāo)為(－1，－3)，所以所求圓的方程為(x＋1)2＋(y＋3)2＝5. 答案：(x＋1)2＋(y＋3)2＝5 8．已知點(diǎn)P(2，2)，圓C：x2＋y2－8y＝0，過點(diǎn)P的動直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則點(diǎn)M的軌跡方程為________________． 解析：圓C的方程可化為x2＋(y－4)2＝16， 所以圓心為C(0，4)，半徑為4. 設(shè)M(x，y)，則＝(x，y－4)，＝(2－x，2－y)． 由題設(shè)知·＝0，故x(2－x)＋(y－4)(

6、2－y)＝0. 即(x－1)2＋(y－3)2＝2. 由于點(diǎn)P在圓C的內(nèi)部，所以點(diǎn)M的軌跡方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2. 答案：(x－1)2＋(y－3)2＝2 9．已知以點(diǎn)P為圓心的圓經(jīng)過點(diǎn)A(－1，0)和B(3，4)，線段AB的垂直平分線交圓P于點(diǎn)C和D，且|CD|＝4. (1)求直線CD的方程； (2)求圓P的方程． 解：(1)由題意知，直線AB的斜率k＝1，中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，2)． 則直線CD的方程為y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0. (2)設(shè)圓心P(a，b)，則由點(diǎn)P在CD上得a＋b－3＝0.① 又因為直徑|CD|＝4，所以|PA|＝2， 所以(a＋1)

7、2＋b2＝40.② 由①②解得或 所以圓心P(－3，6)或P(5，－2)． 所以圓P的方程為(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40. 10．(2018·高考全國卷Ⅱ)設(shè)拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，過F且斜率為k(k>0)的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，|AB|＝8. (1)求l的方程； (2)求過點(diǎn)A，B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程． 解：(1)由題意得F(1，0)，l的方程為y＝k(x－1)(k＞0)． 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)． 由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0. Δ＝16k2＋16＞0，故x1＋x2＝. 所以|AB|＝|

8、AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝. 由題設(shè)知＝8，解得k＝－1(舍去)，k＝1.因此l的方程為y＝x－1. (2)由(1)得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(3，2)，所以AB的垂直平分線方程為y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5.設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為(x0，y0)，則 解得或 因此所求圓的方程為(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144. [綜合題組練] 1．(應(yīng)用型)自圓C：(x－3)2＋(y＋4)2＝4外一點(diǎn)P(x，y)引該圓的一條切線，切點(diǎn)為Q，PQ的長度等于點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離，則點(diǎn)P的軌跡方程為(　　) A．8x－6y－21＝0 B．8

9、x＋6y－21＝0 C．6x＋8y－21＝0 D．6x－8y－21＝0 解析：選D.由題意得，圓心C的坐標(biāo)為(3，－4)，半徑r＝2，如圖． 因為|PQ|＝|PO|，且PQ⊥CQ， 所以|PO|2＋r2＝|PC|2， 所以x2＋y2＋4＝(x－3)2＋(y＋4)2， 即6x－8y－21＝0，所以點(diǎn)P的軌跡方程為6x－8y－21＝0，故選D. 2．(創(chuàng)新型)設(shè)點(diǎn)P是函數(shù)y＝－的圖象上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q(2a，a－3)(a∈R)，則|PQ|的最小值為(　　) A.－2 B. C.－2 D.－2 解析：選C.如圖所示，點(diǎn)P在半圓C(實線部分)上，且由題意知，C(1，

10、0)，點(diǎn)Q在直線l：x－2y－6＝0上．過圓心C作直線l的垂線，垂足為點(diǎn)A，則|CA|＝，|PQ|min＝|CA|－2＝－2.故選C. 3．(2019·臺州模擬)一個圓的圓心在直線y＝2x上，且與x軸的正半軸相切，被y軸截得的弦長為2，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________． 解析：根據(jù)題意，要求圓的圓心在直線y＝2x上，設(shè)其圓心為(m，2m)， 又由其與x軸的正半軸相切，則m＞0，則半徑r＝2m， 則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－m)2＋(y－2m)2＝4m2， 又由該圓被y軸截得的弦長為2，則有4m2＝3＋m2， 解可得：m＝±1，又由m＞0，則m＝1， 則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2

11、＋(y－2)2＝4. 答案：(x－1)2＋(y－2)2＝4 4．(應(yīng)用型)(2019·廈門模擬)設(shè)點(diǎn)P(x，y)是圓：x2＋(y－3)2＝1上的動點(diǎn)，定點(diǎn)A(2，0)，B(－2，0)，則·的最大值為________． 解析：由題意，知＝(2－x，－y)，＝(－2－x，－y)，所以·＝x2＋y2－4，由于點(diǎn)P(x，y)是圓上的點(diǎn)，故其坐標(biāo)滿足方程x2＋(y－3)2＝1，故x2＝－(y－3)2＋1，所以·＝－(y－3)2＋1＋y2－4＝6y－12.易知2≤y≤4，所以，當(dāng)y＝4時，·的值最大，最大值為6×4－12＝12. 答案：12 5．(應(yīng)用型)已知方程x2＋y2－2x－4y＋m＝0.

12、 (1)若此方程表示圓，求實數(shù)m的取值范圍； (2)若(1)中的圓與直線x＋2y－4＝0相交于M，N兩點(diǎn)，且OM⊥ON(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求m的值； (3)在(2)的條件下，求以MN為直徑的圓的方程． 解：(1)由D2＋E2－4F>0得(－2)2＋(－4)2－4m>0，解得m<5. (2)設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，由x＋2y－4＝0得x＝4－2y；將x＝4－2y代入x2＋y2－2x－4y＋m＝0得5y2－16y＋8＋m＝0，所以y1＋y2＝，y1y2＝.因為OM⊥ON，所以·＝－1，即x1x2＋y1y2＝0.因為x1x2＝(4－2y1)(4－2y2)＝16－8(y1＋y2)

13、＋4y1y2，所以x1x2＋y1y2＝16－8(y1＋y2)＋5y1y2＝0，即(8＋m)－8×＋16＝0，解得m＝. (3)設(shè)圓心C的坐標(biāo)為(a，b)，則a＝(x1＋x2)＝，b＝(y1＋y2)＝，半徑r＝|OC|＝，所以所求圓的方程為＋＝. 6．(創(chuàng)新型)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線Γ：y＝x2－mx＋2m(m∈R)與x軸交于不同的兩點(diǎn)A，B，曲線Γ與y軸交于點(diǎn)C. (1)是否存在以AB為直徑的圓過點(diǎn)C？若存在，求出該圓的方程；若不存在，請說明理由． (2)求證：過A，B，C三點(diǎn)的圓過定點(diǎn)． 解：由曲線Γ：y＝x2－mx＋2m(m∈R)，令y＝0，得x2－mx＋2m＝0. 設(shè)

14、A(x1，0)，B(x2，0)，則可得Δ＝m2－8m>0，x1＋x2＝m，x1x2＝2m. 令x＝0，得y＝2m，即C(0，2m)． (1)若存在以AB為直徑的圓過點(diǎn)C，則·＝0，得x1x2＋4m2＝0，即2m＋4m2＝0，所以m＝0或m＝－. 由Δ>0得m<0或m>8，所以m＝－， 此時C(0，－1)，AB的中點(diǎn)M即圓心，半徑r＝|CM|＝， 故所求圓的方程為＋y2＝. (2)證明：設(shè)過A，B兩點(diǎn)的圓的方程為x2＋y2－mx＋Ey＋2m＝0， 將點(diǎn)C(0，2m)代入可得E＝－1－2m， 所以過A，B，C三點(diǎn)的圓的方程為x2＋y2－mx－(1＋2m)y＋2m＝0， 整理得x2＋y2－y－m(x＋2y－2)＝0. 令可得或 故過A，B，C三點(diǎn)的圓過定點(diǎn)(0，1)和. - 6 -