人教高中數(shù)學(xué)必修四2.4 平面向量的數(shù)量積 教案 b

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1、教案 B第一課時教學(xué)目標一、知識與技能1. 了解平面向量數(shù)量積的物理背景，理解數(shù)量積的含義及其物理意義；2. 體會平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系，理解掌握數(shù)量積的性質(zhì)和運算律，并能運用性質(zhì)和運算律進行相關(guān)的判斷和運算二、過程與方法體會類比的數(shù)學(xué)思想和方法，進一步培養(yǎng)學(xué)生抽象概括、推理論證的能力三、情感、態(tài)度與價值觀通過自主學(xué)習(xí)、主動參與、積極探究，學(xué)生能感受數(shù)學(xué)問題探究的樂趣和成功的喜悅，增加學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心和積極性，并養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣教學(xué)重點平面向量數(shù)量積的定義，用平面向量的數(shù)量積表示向量的模、夾角教學(xué)難點平面向量數(shù)量積的定義及運算律的理解，平面向量數(shù)量積的應(yīng)用教 具多媒體、實物投影儀內(nèi)

2、容分析本節(jié)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵是啟發(fā)學(xué)生理解平面向量數(shù)量積的定義，理解定義之后便可引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)數(shù)量積的運算律，然后通過概念辨析題加深學(xué)生對于平面向量數(shù)量積的認識主要知識點：平面向量數(shù)量積的定義及幾何意義；平面向量數(shù)量積的3個重要性質(zhì)；平面向量數(shù)量積的運算律教學(xué)流程概念引入概念獲得簡單運用運算律探究理解掌握反思提高教學(xué)設(shè)想：一、情境設(shè)置：問題1：回憶一下物理中“功”的計算，功的大小與哪些量有關(guān)？結(jié)合向量的學(xué)習(xí)你有什么想法？力做的功：W = |cosq，q是與的夾角（引導(dǎo)學(xué)生認識功這個物理量所涉及的物理量，從“向量相乘”的角度進行分析）二、新課講解1平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義：已知兩個非零向量a與b，它們

3、的夾角是，則數(shù)量|a|b|cosq叫a與b的數(shù)量積，記作ab，即有ab = |a|b|cosq，（）并規(guī)定：0與任何向量的數(shù)量積為0問題2：定義中涉及哪些量？它們有怎樣的關(guān)系？運算結(jié)果還是向量嗎？（引導(dǎo)學(xué)生認清向量數(shù)量積運算定義中既涉及向量模的大小，又涉及向量的交角，運算結(jié)果是數(shù)量）注意：兩個向量的數(shù)量積與向量同實數(shù)積有很大區(qū)別（1）兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，不是向量，符號由cosq的符號所決定（2）兩個向量的數(shù)量積稱為內(nèi)積，寫成ab；今后要學(xué)到兩個向量的外積ab，而ab是兩個向量的數(shù)量的積，書寫時要嚴格區(qū)分符號“ ”在向量運算中不是乘號，既不能省略，也不能用“”代替（3）在實數(shù)中，若a0，

4、且ab=0，則b=0；但是在數(shù)量積中，若a0，且ab=0，不能推出b=0因為其中cosq有可能為0（4）已知實數(shù)a、b、c（b0），則ab=bc a=c但是在向量的數(shù)量積中，ab = bc 推導(dǎo)不出a = c .如下圖：ab = |a|b|cosb = |b|OA|，bc = |b|c|cosa = |b|OA| ab = bc ，但a c. （5）在實數(shù)中，有（ab）c = a（bc），但是在向量中，（ab）c a（bc） 顯然，這是因為左端是與c共線的向量，而右端是與a共線的向量，而一般a與c不共線（ “投影”的概念）：作圖2定義：|b|cosq叫做向量b在a方向上的投影投影也是一個數(shù)量，

5、不是向量；當q為銳角時投影為正值；當q為鈍角時投影為負值；當q為直角時投影為0；當q = 0時投影為 |b|；當q = 180時投影為 -|b|3向量的數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積ab等于a的長度與b在a方向上投影|b|cosq的乘積例1 已知平面上三點A、B、C滿足|=2，|=1，|=，求+的值. 解:由已知,|2+|2=|2，所以ABC是直角三角形.而且ACB=90,從而sinABC=，sinBAC=.ABC=60，BAC=30.與的夾角為120，與的夾角為90，與的夾角為150.故+=21cos120+1cos90+2cos150=-4. 點評:確定兩個向量的夾角,應(yīng)先平移向量,使它們的起點

6、相同,再考察其角的大小,而不是簡單地看成兩條線段的夾角,如例題中與的夾角是120,而不是60.探究1：非零向量的數(shù)量積是一個數(shù)量，那么它何時為正，何時為0 ，何時為負？當0 90時ab為正；當 =90時ab為零；90 180時ab為負.探究2：兩個向量的夾角決定了它們數(shù)量積的符號，那么它們共線或垂直時，數(shù)量積有什么特殊性呢？4兩個向量的數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)a、b為兩個非零向量（1）ab ab = 0（2）當a與b同向時，ab = |a|b|；當a與b反向時，ab = -|a|b| 特別的aa = |a|2或（3） |ab| |a|b|公式變形：cosq =探究3：對一種運算自然會涉及運算律，回憶過

7、去研究過的運算律，向量的數(shù)量積應(yīng)有怎樣的運算律？（引導(dǎo)學(xué)生類比得出運算律，老師作補充說明）向量a、b、c 和實數(shù)，有 （1） a b= b a （2）（a） b= （a b ）= a（b） （3）（a +b） c = a c+ b c（進一步）你能證明向量數(shù)量積的運算律嗎？（引導(dǎo)學(xué)生證明（1）、（2）例2 判斷正誤：a00；0a；0-；aa；若a0，則對任一非零有a；a，則a與中至少有一個為0；對任意向量a，都有（a）（）；a與是兩個單位向量，則a上述8個命題中只有正確；例3 已知a，當a，a，a與的夾角是60時，分別求a解：當a時，若a與同向，則它們的夾角，aacos036118；若a與反向

8、，則它們的夾角180，aacos18036（-1）-18；當a時，它們的夾角90，a；當a與的夾角是60時，有aacos60369評述：兩個向量的數(shù)量積與它們的夾角有關(guān)，其范圍是0，180，因此，當a時，有0或180兩種可能評述：這一類型題，要求學(xué)生確實把握好數(shù)量積的定義、性質(zhì)、運算律三、課堂練習(xí)1已知|a|=1，|b|=，且（a-b）與a垂直，則a與b的夾角是（ ）A60 B30 C135 D2已知|a|=2，|b|=1，a與b之間的夾角為，那么向量m=a-4b的模為（ ）A2 B2 C6 D123已知a、b是非零向量，若|a|=|b|則（a+b）與（a-b） .4已知向量a、b的夾角為，|

9、a|=2，|b|=1，則|a+b|a-b|= 5已知a+b=2i-8j，a-b=-8i+16j，其中i、j是直角坐標系中x軸、y軸正方向上的單位向量，那么ab= 6已知|a|=1，|b|=，（1）若ab，求ab；（2）若a、b的夾角為45，求|a+b|；（3）若a-b與a垂直，求a與b的夾角參考答案:1D 2B 3垂直4 5-3 6. 解：（1）若a、b方向相同，則ab=；若a、b方向相反，則ab=；（2）|a+b|=（3）45四、知識小結(jié)（1）通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你學(xué)到了哪些知識？（2）關(guān)于向量的數(shù)量積，你還有什么問題？五、課后作業(yè)教材第108頁習(xí)題24 A組 1、2、3、6、7教學(xué)后記數(shù)學(xué)課

10、堂教學(xué)應(yīng)當是數(shù)學(xué)知識的形成過程和方法的教學(xué)，數(shù)學(xué)活動是以學(xué)生為主體的活動，沒有學(xué)生積極參與的課堂教學(xué)是失敗的本節(jié)課教學(xué)設(shè)計按照“問題討論解決”的模式進行，并以學(xué)生為主體，教師以課堂教學(xué)的引導(dǎo)者、評價者、組織者和參與者同學(xué)生一起探索平面向量數(shù)量積定義、性質(zhì)和運算律的形成與發(fā)展過程始終做到以“學(xué)生為主體、教師為主導(dǎo)、思維為主攻、訓(xùn)練為主線”第2課時教學(xué)目標 一、知識與技能掌握平面向量的數(shù)量積坐標運算及應(yīng)用二、過程與方法1.通過平面向量數(shù)量積的坐標運算，體會向量的代數(shù)性和幾何性.2.從具體應(yīng)用體會向量數(shù)量積的作用三、情感、態(tài)度與價值觀學(xué)會對待不同問題用不同的方法分析的態(tài)度 .教學(xué)重點、難點教學(xué)重點：

11、平面向量數(shù)量積的坐標表示.教學(xué)難點：平面向量數(shù)量積的坐標表示的綜合運用.教 具多媒體、實物投影儀.教學(xué)設(shè)想一、復(fù)習(xí)引入向量的坐標表示，為我們解決有關(guān)向量的加、減、數(shù)乘運算帶來了極大的方便上一節(jié)，我們學(xué)習(xí)了平面向量的數(shù)量積，那么向量的坐標表示，對平面向量的數(shù)量積的表示方式又會帶來哪些變化呢？由此直接進入主題二、探究新知： 平面兩向量數(shù)量積的坐標表示已知兩個非零向量，試用和的坐標表示設(shè)是軸上的單位向量，是軸上的單位向量，那么，死記硬背是一種傳統(tǒng)的教學(xué)方式,在我國有悠久的歷史。但隨著素質(zhì)教育的開展,死記硬背被作為一種僵化的、阻礙學(xué)生能力發(fā)展的教學(xué)方式,漸漸為人們所摒棄;而另一方面,老師們又為提高學(xué)生

12、的語文素養(yǎng)煞費苦心。其實,只要應(yīng)用得當,“死記硬背”與提高學(xué)生素質(zhì)并不矛盾。相反,它恰是提高學(xué)生語文水平的重要前提和基礎(chǔ)。所以又，所以這就是說：兩個向量的數(shù)量積等于它們對應(yīng)坐標的乘積的和即2 平面內(nèi)兩點間的距離公式（1）設(shè)，則或如果表示向量的有向線段的起點和終點的坐標分別為、，那么（平面內(nèi)兩點間的距離公式）（2）向量垂直的判定設(shè)，則（3）兩非零向量夾角的余弦（） cosq =三、例題講解例1 已知a = （3， -1），b = （1， 2），求滿足xa = 9與xb = -4的向量x解：設(shè)x = （t， s）， 由 . x = （2，-3）.例2 已知a（，），b（，-），則a與b的夾角是多少

13、？ 分析：為求a與b夾角，需先求ab及ab，再結(jié)合夾角的范圍確定其值解：由a（，），b（，-）.有ab（-），a，b記a與b的夾角為，則.又，.評述：已知三角形函數(shù)值求角時，應(yīng)注重角的范圍的確定例3 如圖，以原點和A（5， 2）為頂點作等腰直角OAB，使B = 90，求點B和向量的坐標解：設(shè)B點坐標（x， y），則= （x， y），= （x-5， y-2）. x（x-5） + y（y-2） = 0即：x2 + y2 -5x - 2y = 0.又| = | x2 + y2 = （x-5）2 + （y-2）2即：10 x + 4y = 29.由.B點坐標或；=或 .例4在ABC中，=（2， 3），

14、=（1， k），且ABC的一個內(nèi)角為直角，求k值解：當A = 90時，= 0，21 +3k = 0， k =當B = 90時，= 0，=-= （1-2， k-3） = （-1， k-3），2（-1） +3（k-3） = 0 k =當C = 90時，= 0，-1 + k（k-3） = 0， k =四、小結(jié)1本節(jié)課的內(nèi)容：有關(guān)公式、結(jié)論（由學(xué)生歸納、總結(jié)）.2本節(jié)課的思想方法：數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、方程（組）思想等.五、課外作業(yè)教材第107頁練習(xí)其實,任何一門學(xué)科都離不開死記硬背,關(guān)鍵是記憶有技巧,“死記”之后會“活用”。不記住那些基礎(chǔ)知識,怎么會向高層次進軍?尤其是語文學(xué)科涉獵的范圍很廣,

15、要真正提高學(xué)生的寫作水平,單靠分析文章的寫作技巧是遠遠不夠的,必須從基礎(chǔ)知識抓起,每天擠一點時間讓學(xué)生“死記”名篇佳句、名言警句,以及豐富的詞語、新穎的材料等。這樣,就會在有限的時間、空間里給學(xué)生的腦海里注入無限的內(nèi)容。日積月累,積少成多,從而收到水滴石穿,繩鋸木斷的功效。觀察內(nèi)容的選擇，我本著先靜后動，由近及遠的原則，有目的、有計劃的先安排與幼兒生活接近的，能理解的觀察內(nèi)容。隨機觀察也是不可少的，是相當有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛蟲等，孩子一邊觀察，一邊提問，興趣很濃。我提供的觀察對象，注意形象逼真，色彩鮮明，大小適中，引導(dǎo)幼兒多角度多層面地進行觀察，保證每個幼兒看得到，看得清。看得清才能說得

16、正確。在觀察過程中指導(dǎo)。我注意幫助幼兒學(xué)習(xí)正確的觀察方法，即按順序觀察和抓住事物的不同特征重點觀察，觀察與說話相結(jié)合，在觀察中積累詞匯，理解詞匯，如一次我抓住時機，引導(dǎo)幼兒觀察雷雨，雷雨前天空急劇變化，烏云密布，我問幼兒烏云是什么樣子的，有的孩子說：烏云像大海的波浪。有的孩子說“烏云跑得飛快?！蔽壹右钥隙ㄕf“這是烏云滾滾?！碑斢變嚎吹介W電時，我告訴他“這叫電光閃閃?！苯又變郝牭嚼茁曮@叫起來，我抓住時機說：“這就是雷聲隆隆?！币粫合缕鹆舜笥?，我問：“雨下得怎樣?”幼兒說大極了，我就舀一盆水往下一倒，作比較觀察，讓幼兒掌握“傾盆大雨”這個詞。雨后，我又帶幼兒觀察晴朗的天空，朗誦自編的一首兒歌：

17、“藍天高，白云飄，鳥兒飛，樹兒搖，太陽公公咪咪笑。”這樣抓住特征見景生情，幼兒不僅印象深刻，對雷雨前后氣象變化的詞語學(xué)得快，記得牢，而且會應(yīng)用。我還在觀察的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)幼兒聯(lián)想，讓他們與以往學(xué)的詞語、生活經(jīng)驗聯(lián)系起來，在發(fā)展想象力中發(fā)展語言。如啄木鳥的嘴是長長的，尖尖的，硬硬的，像醫(yī)生用的手術(shù)刀樣，給大樹開刀治病。通過聯(lián)想，幼兒能夠生動形象地描述觀察對象。觀察內(nèi)容的選擇，我本著先靜后動，由近及遠的原則，有目的、有計劃的先安排與幼兒生活接近的，能理解的觀察內(nèi)容。隨機觀察也是不可少的，是相當有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛蟲等，孩子一邊觀察，一邊提問，興趣很濃。我提供的觀察對象，注意形象逼真，色彩鮮明，

18、大小適中，引導(dǎo)幼兒多角度多層面地進行觀察，保證每個幼兒看得到，看得清?？吹们宀拍苷f得正確。在觀察過程中指導(dǎo)。我注意幫助幼兒學(xué)習(xí)正確的觀察方法，即按順序觀察和抓住事物的不同特征重點觀察，觀察與說話相結(jié)合，在觀察中積累詞匯，理解詞匯，如一次我抓住時機，引導(dǎo)幼兒觀察雷雨，雷雨前天空急劇變化，烏云密布，我問幼兒烏云是什么樣子的，有的孩子說：烏云像大海的波浪。有的孩子說“烏云跑得飛快?！蔽壹右钥隙ㄕf“這是烏云滾滾?！碑斢變嚎吹介W電時，我告訴他“這叫電光閃閃?！苯又變郝牭嚼茁曮@叫起來，我抓住時機說：“這就是雷聲隆隆?！币粫合缕鹆舜笥?，我問：“雨下得怎樣?”幼兒說大極了，我就舀一盆水往下一倒，作比較觀察，讓幼兒掌握“傾盆大雨”這個詞。雨后，我又帶幼兒觀察晴朗的天空，朗誦自編的一首兒歌：“藍天高，白云飄，鳥兒飛，樹兒搖，太陽公公咪咪笑?！边@樣抓住特征見景生情，幼兒不僅印象深刻，對雷雨前后氣象變化的詞語學(xué)得快，記得牢，而且會應(yīng)用。我還在觀察的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)幼兒聯(lián)想，讓他們與以往學(xué)的詞語、生活經(jīng)驗聯(lián)系起來，在發(fā)展想象力中發(fā)展語言。如啄木鳥的嘴是長長的，尖尖的，硬硬的，像醫(yī)生用的手術(shù)刀樣，給大樹開刀治病。通過聯(lián)想，幼兒能夠生動形象地描述觀察對象。第 7 頁