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1、專題限時集訓(十六) 選修4－5 不等式選講
(建議用時：40分鐘)
1．(2019·咸陽三模)設函數f(x)＝|2x－4|＋1.
(1)求不等式f(x)≥x＋3的解集；
(2)關于x的不等式f(x)－2|x＋2|≥a在實數范圍內有解，求實數a的取值范圍．
[解] (1)f(x)≥x＋3，即|2x－4|＋1≥x＋3，
則2|x－2|≥x＋2，
當x≥2時，解得x≥6，
當x<2時，解得x≤，
所以原不等式的解集為∪[6，＋∞)．
(2)由不等式f(x)－2|x＋2|≥a在實數范圍內有解可得：a≤2|x－2|－2|x＋2|＋1在實數范圍內有解，
令g(x)＝2|x－2|－2
2、|x＋2|＋1，則a≤g(x)min，
因為g(x)＝2|x－2|－2|x＋2|＋1≥2|(x－2)－(x＋2)|＋1＝9，
所以a≤g(x)min＝9，即a∈(－∞，9]．
2．(2019·鄭州二模)設函數f(x)＝|ax＋1|＋|x－a|(a>0)，g(x)＝x2－x.
(1)當a＝1時，求不等式g(x)≥f(x)的解集；
(2)已知f(x)≥2恒成立，求a的取值范圍．
[解] (1)當a＝1時，g(x)≥f(x)?
或或
解得x≤－1或x≥3，
所以原不等式的解集為{x|x≤－1或x≥3}．
(2)f(x)＝
當0
3、a＝1；
當a>1時，f(x)min＝f＝a＋＞2，a>1，
綜上，a的取值范圍是[1，＋∞)．
3．(2019·濰坊二模)已知函數f(x)＝|ax－2|，不等式f(x)≤4的解集為{x|－2≤x≤6}．
(1)求實數a的值；
(2)設g(x)＝f(x)＋f(x＋3)，若存在x∈R，使g(x)－tx≤2成立，求實數t的取值范圍．
[解] (1)由|ax－2|≤4得－4≤ax－2≤4，即－2≤ax≤6，
當a>0時，－≤x≤，所以解得a＝1；
當a<0時，≤x≤－，所以無解，
所以實數a的值為1.
(2)由已知g(x)＝f(x)＋f(x＋3)＝|x＋1|＋|x－2|＝
不等
4、式g(x)－tx≤2，即g(x)≤tx＋2，
由題意知y＝g(x)的圖象有一部分在直線y＝tx＋2的下方，作出對應圖象：
由圖可知，當t<0時，t≤kEM；當t>0時，t≥kFM，
又因為kEM＝－1，kFM＝，
所以t≤－1或t≥，
即t∈(－∞，－1]∪.
4．(2019·全國卷Ⅲ)設x，y，z∈R，且x＋y＋z＝1.
(1)求(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2的最小值；
(2)若(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2≥成立，證明：a≤－3或a≥－1.
[解] (1)因為[(x－1)＋(y＋1)＋(z＋1)]2
＝(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2＋2
5、[(x－1)(y＋1)＋(y＋1)·(z＋1)＋(z＋1)(x－1)]
≤3[(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2]，
所以由已知得(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2≥，
當且僅當x＝，y＝－，z＝－時等號成立．
所以(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2的最小值為.
(2)證明：因為[(x－2)＋(y－1)＋(z－a)]2
＝(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2＋2[(x－2)(y－1)＋(y－1)(z－a)＋(z－a)(x－2)]
≤3[(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2]，
所以由已知得(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2≥，
當且僅當x＝，y
6、＝，z＝時等號成立．
所以(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2的最小值為.
由題設知≥，解得a≤－3或a≥－1.
題號
內容
押題依據
1
絕對值不等式的解法、不等式的證明
本題考查考生絕對值不等式的解法及用分析法證明不等式問題，考查了邏輯推理、數學運算等核心素養(yǎng)
2
絕對值不等式的解法與絕對值有關的函數最值問題
本題考查了絕對值不等式的解法及函數最值問題，考查分類討論思想、轉化思想及數學運算等核心素養(yǎng)
【押題1】 已知函數f(x)＝|x＋|－|2x＋|＋，M為不等式f(x)<0的解集．
(1)求M；
(2)證明：當m，n∈M時，|mn＋2|>|m＋n|
7、.
[解] (1)∵f(x)<0，∴|x＋|－|2x＋|＋<0.
當x<－時，不等式可化為－x－＋(2x＋)＋<0，解得x<－，∴x<－；
當－≤x≤－時，不等式可化為x＋＋(2x＋)＋<0，解得x<－，無解；
當x>－時，不等式可化為x＋－(2x＋)＋<0，解得x>，∴x>.
綜上所述，M＝{x|x<－或x>}．
(2)要證|mn＋2|>|m＋n|，即證|mn＋2|2>2|m＋n|2，
即證m2n2－2m2－2n2＋4>0，即證(m2－2)(n2－2)>0.
由(1)知，M＝{x|x<－或x>}，且m，n∈M，∴m2>2，n2>2，
∴(m2－2)(n2－2)>0成立，故|mn＋2|>|m＋n|得證．
【押題2】 設函數f(x)＝|ax＋1|.
(1)當a＝1時，解不等式f(x)＋2x>2；
(2)當a>1時，設g(x)＝f(x)＋|x＋1|，若g(x)的最小值為，求實數a的值．
[解] (1)當a＝1時，f(x)＋2x>2，即|x＋1|>2－2x，所以或解得x>，
故原不等式的解集為.
(2)當a>1時，－1<－，
g(x)＝f(x)＋|x＋1|＝
由于函數g(x)在上遞減，在上遞增，則g(x)min＝g＝1－，從而1－＝，得a＝2.
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2020版高考數學二輪復習 專題限時集訓16 不等式選講 文
