《2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 課后限時集訓(xùn)30 等比數(shù)列及其前n項和 理（含解析）新人教A版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 課后限時集訓(xùn)30 等比數(shù)列及其前n項和 理（含解析）新人教A版（5頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、課后限時集訓(xùn)(三十) 等比數(shù)列及其前n項和
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A組 基礎(chǔ)達標
一、選擇題
1．已知數(shù)列{an}滿足3an＋1＋an＝0，a2＝－，則{an}的前10項和等于( )
A．－6(1－3－10) B.(1－3－10)
C．3(1－3－10) D．3(1＋3－10)
C [∵3an＋1＋an＝0，∴＝－，∴數(shù)列{an}是以－為公比的等比數(shù)列，∵a2＝－，∴a1＝4.由等比數(shù)列的求和公式可得，S10＝＝3(1－3－10)．故選C.]
2．(2019·湘潭模擬)已知等比數(shù)列{an}中，a5＝3，a4a7＝45，則的值為( )
A．3 B．5 C．9
2、 D．25
D [設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則a4a7＝·a5q2＝9q＝45，所以q＝5，＝＝q2＝25.故選D.]
3．(2019·太原模擬)已知等比數(shù)列{an}中，a2a5a8＝－8，S3＝a2＋3a1，則a1＝( )
A. B．－ C．－ D．－
B [設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q(q≠1)，因為S3＝a1＋a2＋a3＝a2＋3a1，所以＝q2＝2.因為a2a5a8＝a＝－8，所以a5＝－2，即a1q4＝－2，所以4a1＝－2，所以a1＝－，故選B.]
4．已知數(shù)列{an}中，an＝－4n＋5，等比數(shù)列{bn}的公比q滿足q＝an－an－1(n≥2)且b1＝a
3、2，則|b1|＋|b2|＋|b3|＋…＋|bn|＝( )
A．1－4n B．4n－1
C. D.
B [由已知得b1＝a2＝－3，q＝－4，
∴bn＝(－3)×(－4)n－1，
∴|bn|＝3×4n－1，
即|bn|是以3為首項，4為公比的等比數(shù)列．
∴|b1|＋|b2|＋…＋|bn|＝＝4n－1.]
5．(數(shù)學(xué)文化題)《九章算術(shù)》中有如下問題：“今有蒲生一日，長三尺．莞生一日，長一尺．蒲生日自半；莞生日自倍．問幾何日而長等？”意思是：蒲第一天長3尺，以后逐日減半；莞第一天長1尺，以后逐日增加一倍，若蒲、莞長度相等，則所需時間約為( )
參考數(shù)據(jù)：lg 2≈0.3
4、01 0，lg 3≈0.477 1，結(jié)果精確到0.1
A．2.2天 B．2.4天 C．2.6天 D．2.8天
C [設(shè)蒲每天的長度構(gòu)成等比數(shù)列{an}，其首項a1＝3，公比為，其前n項和為An.設(shè)莞每天的長度構(gòu)成等比數(shù)列{bn}，其首項b1＝1，公比為2，其前n項和為Bn.則An＝，Bn＝.設(shè)蒲、莞長度相等時所需時間約為x天，則＝，化簡得2x＋＝7，計算得出2x＝6,2x＝1(舍去)．所以x＝＝1＋≈2.6.則估計2.6天后蒲、莞長度相等．故選C.]
二、填空題
6．(2019·湖南十校聯(lián)考)若等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且＝5，則＝________.
17 [法一：設(shè)
5、數(shù)列{an}的公比為q，由已知得＝1＋＝5，即1＋q2＝5，
所以q2＝4，＝1＋＝1＋q4＝1＋16＝17.
法二：由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6成等比數(shù)列，
若設(shè)S2＝a，則S4＝5a，
由(S4－S2)2＝S2·(S6－S4)得S6＝21a，同理得S8＝85a，
所以＝＝17.]
7．在14與之間插入n個數(shù)組成等比數(shù)列，若各項之和為，則此數(shù)列的項數(shù)為________．
5 [設(shè)此等比數(shù)列為{am}，公比為q，則該數(shù)列共有n＋2項．∵14≠，∴q≠1.由等比數(shù)列的前n項和公式，得＝，解得q＝－，
∴an＋2＝14×n＋2－1＝，即n＋1＝，解
6、得n＝3，∴該數(shù)列共有5項．]
8．在正項等比數(shù)列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，則n＝________.
14 [設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，由a1a2a3＝4＝aq3與a4a5a6＝12＝aq12，可得q9＝3，an－1anan＋1＝aq3n－3＝324，因此q3n－6＝81＝34＝q36，所以3n－6＝36，即n＝14.]
三、解答題
9．(2018·陜西二模)已知Sn為數(shù)列{an}的前n項和，且滿足Sn－2an＝n－4.
(1)證明：{Sn－n＋2}為等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列{Sn}的前n項和Tn.
[解] (1)證明：當
7、n＝1時，由Sn－2an＝n－4，得a1＝3.
∴S1－1＋2＝4.
當n≥2時，Sn－2an＝n－4可化為Sn＝2(Sn－Sn－1)＋n－4.
即Sn＝2Sn－1－n＋4，∴Sn－n＋2＝2[Sn－1－(n－1)＋2]．
∴{Sn－n＋2}是首項為4，公比為2的等比數(shù)列．
(2)由(1)知，Sn－n＋2＝2n＋1，∴Sn＝2n＋1＋n－2.
∴Tn＝(22＋23＋…＋2n＋1)＋(1＋2＋…＋n)－2n
＝＋－2n
＝2n＋2＋－4.
10．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝2an－3n(n∈N*)．
(1)求a1，a2，a3的值；
(2)是否存在常數(shù)λ，使得{
8、an＋λ}為等比數(shù)列？若存在，求出λ的值和通項公式an，若不存在，請說明理由．
[解] (1)當n＝1時，S1＝a1＝2a1－3，解得a1＝3，
當n＝2時，S2＝a1＋a2＝2a2－6，解得a2＝9，
當n＝3時，S3＝a1＋a2＋a3＝2a3－9，解得a3＝21.
(2)假設(shè){an＋λ}是等比數(shù)列，則(a2＋λ)2＝(a1＋λ)(a3＋λ)，
即(9＋λ)2＝(3＋λ)(21＋λ)，解得λ＝3.
下面證明{an＋3}為等比數(shù)列：
∵Sn＝2an－3n，∴Sn＋1＝2an＋1－3n－3，∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝2an＋1－2an－3，即2an＋3＝an＋1，
∴2(an＋
9、3)＝an＋1＋3，∴＝2，
∴存在λ＝3，使得數(shù)列{an＋3}是首項為a1＋3＝6，公比為2的等比數(shù)列．
∴an＋3＝6×2n－1，即an＝3(2n－1)(n∈N*)．
B組 能力提升
1．(2018·合肥一模)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若3Sn＝2an－3n，則a2 018＝( )
A．22 018－1 B．32 018－6
C.2 018－ D.2 018－
A [因為a1＝S1，所以3a1＝3S1＝2a1－3?a1＝－3.
當n≥2時，3Sn＝2an－3n,3Sn－1＝2an－1－3(n－1)，所以an＝－2an－1－3，即an＋1＝－2(an－1＋1
10、)，所以數(shù)列{an＋1}是以－2為首項，－2為公比的等比數(shù)列，
所以an＋1＝(－2)×(－2)n－1＝(－2)n，
則a2 018＝22 018－1.]
2．已知數(shù)列{an}滿足a1a2a3…an＝2n2(n∈N*)，且對任意n∈N*都有 ＋＋…＋＜t，則實數(shù)t的取值范圍為________．
D [依題意得，當n≥2時，an＝＝＝2n2－(n－1)2＝22n－1，又a1＝21＝22×1－1，因此an＝22n－1，＝，數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，等比數(shù)列的前n項和等于＝＜，因此實數(shù)t的取值范圍是.]
3．已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項和，S3，S9，S6成等差數(shù)列，a2＋a
11、5＝4，則a8＝________.
2 [因為S3，S9，S6成等差數(shù)列，所以公比q≠1，＝＋，整理得2q6＝1＋q3，所以q3＝－，故a2·＝4，解得a2＝8，故a8＝8×＝2.]
4．已知數(shù)列{an}滿足a1＝5，a2＝5，an＋1＝an＋6an－1(n≥2)．
(1)求證：{an＋1＋2an}是等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列{an}的通項公式．
[解] (1)證明：∵an＋1＝an＋6an－1(n≥2)，
∴an＋1＋2an＝3an＋6an－1＝3(an＋2an－1)(n≥2)．
∵a1＝5，a2＝5，
∴a2＋2a1＝15，
∴an＋2an－1≠0(n≥2)，
∴＝3(n≥2)，
∴數(shù)列{an＋1＋2an}是以15為首項，3為公比的等比數(shù)列．
(2)由(1)得an＋1＋2an＝15×3n－1＝5×3n，
則an＋1＝－2an＋5×3n，
∴an＋1－3n＋1＝－2(an－3n)．
又∵a1－3＝2，∴an－3n≠0，
∴{an－3n}是以2為首項，－2為公比的等比數(shù)列．
∴an－3n＝2×(－2)n－1，
即an＝2×(－2)n－1＋3n.
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