《2020屆高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第九單元 解析幾何 第70講 圓錐曲線的綜合應(yīng)用(三)練習(xí) 理(含解析)新人教A版》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2020屆高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第九單元 解析幾何 第70講 圓錐曲線的綜合應(yīng)用(三)練習(xí) 理(含解析)新人教A版(5頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、第70講 圓錐曲線的綜合應(yīng)用(三)
(與直線、圓及其他知識(shí)的交匯與綜合)
1.(經(jīng)典真題)設(shè)F1,F(xiàn)2分別是橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),M是C上一點(diǎn)且MF2與x軸垂直,直線MF1與C的另一個(gè)交點(diǎn)為N.
(1)若直線MN的斜率為,求C的離心率;
(2)若直線MN在y軸上的截距為2,且|MN|=5|F1N|,求a,b.
(1)根據(jù)c=及題設(shè)知M(c,),
因?yàn)椋?,所?b2=3ac,將b2=a2-c2代入2b2=3ac,
得2c2+3ac-2a2=0,解得=或=-2(舍去).
故C的離心率為.
(2)由題意,原點(diǎn)O為F1F2的中點(diǎn),MF2∥y軸,
所以直線MF1
2、與y軸的交點(diǎn)D(0,2) 是線段MF1的中點(diǎn),故=4,即b2=4a,①
由|MN|=5|F1N|得|DF1|=2|F1N|.
設(shè)N(x1,y1),由題意知y1<0,則
即
代入C的方程,得+=1.
將①及c=代入②得+=1,
解得a=7,b2=4a=28,故a=7,b=2.
2.(2018·天津卷·文)設(shè)橢圓+=1(a>b>0)的右頂點(diǎn)為A,上頂點(diǎn)為B,已知橢圓的離心率為,|AB|=.
(1)求橢圓的方程.
(2)設(shè)直線l:y=kx(k<0)與橢圓交于P,Q兩點(diǎn),l與直線AB交于點(diǎn)M,且點(diǎn)P,M均在第四象限.若△BPM的面積是△BPQ面積的2倍,求k的值.
(1)設(shè)橢
3、圓的焦距為2c,
由已知有=,又由a2=b2+c2,可得2a=3b.
又|AB|==,從而a=3,b=2.
所以,橢圓的方程為+=1.
(2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x1,y1),點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x2,y2),由題意知,x2>x1>0,點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(-x1,-y1).
由△BPM的面積是△BPQ面積的2倍,
可得|PM|=2|PQ|,從而x2-x1=2[x1-(-x1)],
即x2=5x1.
易知直線AB的方程為2x+3y=6,
由方程組消去y,可得x2=.
由方程組消去y,可得x1=.
由x2=5x1,可得=5(3k+2),兩邊平方,整理得18k2+25k+8=0,解得k=-,或
4、k=-.
當(dāng)k=-時(shí),x2=-9<0,不合題意,舍去;
當(dāng)k=-時(shí),x2=12,x1=,符合題意.
所以,k的值為-.
3.(2018·福建省高三質(zhì)量檢測(cè))在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)F的坐標(biāo)為(0,),以MF為直徑的圓與x軸相切.
(1)求點(diǎn)M的軌跡E的方程;
(2)設(shè)T是軌跡E上橫坐標(biāo)為2的點(diǎn),OT的平行線l交E于A,B兩點(diǎn),交E在T處的切線于點(diǎn)N,求證:|NT|2=|NA|·|NB|.
(1)(方法1)設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y),因?yàn)镕(0,),
所以MF的中點(diǎn)坐標(biāo)為(,),
因?yàn)橐訫F為直徑的圓與x軸相切,
所以=,即|MF|=,
所以=,化簡(jiǎn)得x2=2y,
所
5、以點(diǎn)M的軌跡方程為x2=2y.
(方法2)以點(diǎn)MF為直徑的圓的圓心為點(diǎn)C,與x軸的切點(diǎn)為D,
連接CD,則CD⊥x軸,且|MF|=2|CD|.
作直線l′:y=-,過(guò)點(diǎn)M作MH⊥l′于點(diǎn)H,交x軸于點(diǎn)I,
則|CD|=,所以|MF|=|MI|+|OF|,
又|IH|=|OF|=,所以|MF|=|MH|,
所以點(diǎn)M的軌跡是以F為焦點(diǎn),l′為準(zhǔn)線的拋物線,
所以M的軌跡E的方程為x2=2y.
(2)因?yàn)門是軌跡E上橫坐標(biāo)為2的點(diǎn),
由(1)得T(2,2),所以直線OT的斜率為1,
因?yàn)閘∥OT,所以l的方程為y=x+m(m≠0).
由y=x2,得y′=x,則E在點(diǎn)T處的切線斜
6、率為2.
所以E在T處的切線的方程為y=2x-2,
由得所以N(m+2,2m+2),
所以|NT|2=[(m+2)-2]2+[(2m+2)-2]2=5m2.
由消去y,得x2-2x-2m=0,
由Δ=4+8m>0,得m>-且m≠0.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=2,x1x2=-2m,
因?yàn)辄c(diǎn)N,A,B在直線l上,
所以|NA|=|x1-(m+2)|,|NB|=|x2-(m+2)|,
所以|NA|·|NB|=2|x1-(m+2)|·|x2-(m+2)|
=2|x1x2-(m+2)(x1+x2)+(m+2)2|
=2|-2m-2(m+2)+(m+2)2
7、|=2m2,
所以|NT|2=|NA|·|NB|.
4.(2018·全國(guó)卷Ⅲ)已知斜率為k的直線l與橢圓C:+=1交于A,B兩點(diǎn),線段AB的中點(diǎn)為M(1,m)(m>0).
(1)證明:k<-;
(2)設(shè)F為C的右焦點(diǎn),P為C上一點(diǎn),且++=0.證明:||,||,||成等差數(shù)列,并求該數(shù)列的公差.
(1)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
則+=1,+=1.
兩式相減,并由=k得+·k=0.
由題設(shè)知=1,=m,于是k=-.①
由題設(shè)得0<m<,故k<-.
(2)由題意得F(1,0).設(shè)P(x3,y3),則
(x3-1,y3)+(x1-1,y1)+(x2-1,y2)=
8、(0,0).
由(1)及題設(shè)得x3=3-(x1+x2)=1,
y3=-(y1+y2)=-2m<0.
又點(diǎn)P在C上,所以m=,從而P(1,-),
||=,
于是||= =
=2-.
同理||=2-.
所以||+||=4-(x1+x2)=3.
故2||=||+||,即||,||,||成等差數(shù)列.
設(shè)該數(shù)列的公差為d,則
2|d|=|||-|||=|x1-x2|
=.②
將m=代入①得k=-1,
所以l的方程為y=-x+,代入C的方程,并整理得
7x2-14x+=0.
故x1+x2=2,x1x2=,代入②解得|d|=.
所以該數(shù)列的公差為或-.
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