2020屆高考數(shù)學二輪復習 第二部分 專題七 選修4系列 第1講 坐標系與參數(shù)方程（選修4-4）專題強化練 理

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1、第1講 坐標系與參數(shù)方程（選修4-4） A級　基礎通關 1．(2018·江蘇卷)在極坐標系中，直線l的方程為ρsin(－θ)＝2，曲線C的方程為ρ＝4cos θ，求直線l被曲線C截得的弦長． 解：因為曲線C的極坐標方程為ρ＝4cos θ， 所以曲線C是圓心為(2，0)，直徑為4的圓． 因為直線l的極坐標方程為ρsin(－θ)＝2， 則直線l過A(4，0)，傾斜角為， 所以A為直線l與圓C的一個交點． 設另一個交點為B，則∠OAB＝. 如圖，連接OB. 因為OA為直徑，從而∠OBA＝， 所以AB＝4cos ＝2. 因此，直線l被曲線C截得的弦長為2. 2．(20

2、18·全國卷Ⅱ)在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù))． (1)求C和l的直角坐標方程； (2)若曲線C截直線l所得線段的中點坐標為(1，2)，求l的斜率． 解：(1)曲線C的直角坐標方程為＋＝1. 當cos α≠0時，l的直角坐標方程為y＝tan α·x＋2－tan α， 當cos α＝0時，l的直角坐標方程為x＝1. (2)將l的參數(shù)方程代入C的直角坐標方程，整理得關于t的方程(1＋3cos2 α)t2＋4(2cos α＋sin α)t－8＝0.① 因為曲線C截直線l所得線段的中點(1，2)在C內(nèi)，所以①有兩個解，設為t1，t

3、2，則t1＋t2＝0. 又由①得t1＋t2＝－，故2cos α＋sin α＝0，于是直線l的斜率k＝tan α＝－2. 3．在平面直角坐標系中，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，兩種坐標系中取相同的長度單位．已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，曲線C的極坐標方程為ρ＝4sin. (1)求直線l的普通方程與曲線C的直角坐標方程； (2)若直線l與曲線C交于M，N兩點，求△MON的面積． 解：(1)由消去參數(shù)t得x＋y＝4， 所以直線l的普通方程為x＋y－4＝0. 由ρ＝4sin＝2sin θ＋2cos θ， 得ρ2＝2ρsin θ＋2ρcos θ，即x2＋y2＝2x

4、＋2y. 所以曲線C的直角坐標方程是圓(x－)2＋(y－1)2＝4. (2)因為原點O到直線l的距離d＝＝2. 直線l過圓C的圓心(，1)，所以|MN|＝2r＝4， 所以△MON的面積S＝|MN|×d＝4. 4．(2019·佛山檢測)在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ2＝. (1)求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標方程； (2)設P為曲線C上的點，PQ⊥l，垂足為Q，若|PQ|的最小值為2，求m的值． 解：(1)因為曲線C的極坐標方程為ρ2＝， 則ρ2＋ρ2sin2θ＝4， 將

5、ρ2＝x2＋y2，ρsin θ＝y(tǒng)代入上式并化簡得＋＝1， 所以曲線C的直角坐標方程為＋＝1. 由消去參數(shù)t得x－y＝m， 所以直線l的普通方程為x－y－m＝0. (2)設P(2cos θ，sin θ)，由點到直線的距離公式得 |PQ|＝＝， 由題意知m≠0， 當m＞0時，|PQ|min＝＝2，得m＝2＋2； 當m＜0時，|PQ|min＝＝2，得m＝－2－2，所以m＝2＋2或m＝－2－2. 5．(2017·全國卷Ⅱ)在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C1的極坐標方程為ρcos θ＝4. (1)M為曲線C1上的動點，點P在線段OM上，且

6、滿足|OM|·|OP|＝16，求點P的軌跡C2的直角坐標方程； (2)設點A的極坐標為，點B在曲線C2上，求△OAB面積的最大值． 解：(1)設P的極坐標為(ρ，θ)(ρ>0)，M的極坐標為(ρ1，θ)(ρ1>0)． 由題設知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝. 由|OM|·|OP|＝16得C2的極坐標方程為ρ＝4cos θ(ρ＞0)． 因此C2的直角坐標方程為(x－2)2＋y2＝4(x≠0)． (2)設點B的極坐標為(ρB，α)(ρB>0)． 由題設知|OA|＝2，ρB＝4cos α，于是△OAB的面積 S＝|OA|·ρB·sin∠AOB＝4cos α·＝ 2≤2＋. 當α＝

7、－時，S取得最大值2＋. 所以△OAB面積的最大值為2＋. 6．(2018·全國卷Ⅰ)在直角坐標系xOy中，曲線C1的方程為y＝k|x|＋2.以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρ2＋2ρcos θ－3＝0. (1)求C2的直角坐標方程； (2)若C1與C2有且僅有三個公共點，求C1的方程． 解：(1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ得C2的直角坐標方程為(x＋1)2＋y2＝4. (2)由(1)知C2是圓心為A(－1，0)，半徑為2的圓． 由題設知，C1是過點B(0，2)且關于y軸對稱的兩條射線．記y軸右邊的射線為l1，y軸左邊的射線為l2.

8、 由于點B在圓C2的外面，故C1與C2有且僅有三個公共點等價于l1與C2只有一個公共點且l2與C2有兩個公共點，或l2與C2只有一個公共點且l1與C2有兩個公共點． 當l1與C2只有一個公共點時，A到l1所在直線的距離為2，所以＝2，解得k＝－或k＝0. 經(jīng)檢驗，當k＝0時，l1與C2沒有公共點； 當k＝－時，l1與C2只有一個公共點，l2與C2有兩個公共點． 當l2與C2只有一個公共點時，點A到l2所在直線的距離為2，所以＝2，故k＝0或k＝. 經(jīng)檢驗，當k＝0時，l1與C2沒有公共點； 當k＝時，l2與C2沒有公共點． 綜上，所求C1的方程為y＝－|x|＋2. B級　能力

9、提升 7．在平面直角坐標系xOy中，以O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ＝2sin θ＋2acos θ(a＞0)；直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．直線l與曲線C分別交于M，N兩點． (1)寫出曲線C的直角坐標方程和直線l的普通方程； (2)若點P的極坐標為(2，π)，|PM|＋|PN|＝5，求a的值． 解：(1)由ρ＝2sin θ＋2acos θ(a＞0)，得ρ2＝2ρsin θ＋2ρacos θ(a＞0)， 所以曲線C的直角坐標方程為x2＋y2＝2y＋2ax， 即(x－a)2＋(y－1)2＝a2＋1. 由直線l的參數(shù)方程得直線l的普通方程為y＝x

10、＋2. (2)將直線l的參數(shù)方程 代入x2＋y2＝2y＋2ax，化簡得t2－(3＋a)t＋4a＋4＝0. Δ＝(3＋a)2－4(4a＋4)＞0，解得a≠1. t1＋t2＝3＋a，t1t2＝4a＋4. 又因為a＞0，所以t1＞0，t2＞0. 因為點P的直角坐標為(－2，0)，且在直線l上， 所以|PM|＋|PN|＝|t1|＋|t2|＝3＋a＝5， 解得a＝2，此時滿足a＞0，且a≠1，故a＝2. 8．(2019·珠海檢測)在平面直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρ＝. (1)求C1的普通

11、方程和C2的直角坐標方程； (2)若C1與C2交于P，Q兩點，求＋的值． 解：(1)由(t為參數(shù))，消去參數(shù)t，得x2＝y(tǒng)， 則C1的普通方程為x2＝y(tǒng). 由ρ＝，得mρsin θ＋ρcos θ＝2， 將x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入，得my＋x－2＝0， 即C2的直角坐標方程為x＋my－2＝0. (2)由(t為參數(shù))，可得＝4t(x≠0)， 故4t的幾何意義是拋物線x2＝y(tǒng)上的點(原點除外)與原點連線的斜率． 由(1)知，當m＝0時，C2：x＝2，則C1與C2只有一個交點，故m≠0. 把(t為參數(shù))代入x＋my－2＝0， 得4mt2＋t－2＝0， 設此方程的兩根分別為t1，t2， 則t1＋t2＝－，t1t2＝－， 所以＋＝＋＝＝＝. - 6 -