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1、中考數(shù)學專題復習八三角形三角形的相似及全等解直角三角形試題浙教版一. 教學目標：（1）掌握三角形、三角形的全等、相似及解直角三角形的有關(guān)概念。（2）利用三角形的相似、全等及解直角三角形的知識進行計算、解答有關(guān)綜合題。（3）培養(yǎng)學生的轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、及分類討論的數(shù)學思想的能力二. 教學重點、難點：三角形、三角形的相似及全等、解直角三角形的基礎知識、基本技能是本節(jié)的重點。難點是綜合應用這些知識解決問題的能力。三. 知識要點：知識點1 三角形的邊、角關(guān)系三角形任何兩邊之和大于第三邊；三角形任何兩邊之差小于第三邊；三角形三個內(nèi)角的和等于180；三角形三個外角的和等于360；三角形一個外角等于和它不相鄰
2、的兩個內(nèi)角的和；三角形一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角。知識點2 三角形的主要線段和外心、內(nèi)心三角形的角平分線、中線、高；三角形三邊的垂直平分線交于一點，這個點叫做三角形的外心，三角形的外心到各頂點的距離相等；三角形的三條角平分線交于一點，這個點叫做三角形的內(nèi)心，三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等；連結(jié)三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線，三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半。知識點3 等腰三角形等腰三角形的識別：有兩邊相等的三角形是等腰三角形；有兩角相等的三角形是等腰三角形（等角對等邊）；三邊相等的三角形是等邊三角形；三個角都相等的三角形是等邊三角形；有一個角是60的等腰三角形是等邊
3、三角形。等腰三角形的性質(zhì)：等邊對等角；等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合；等腰三角形是軸對稱圖形，底邊的中垂線是它的對稱軸；等邊三角形的三個內(nèi)角都等于60。知識點4 直角三角形直角三角形的識別：有一個角等于90的三角形是直角三角形；有兩個角互余的三角形是直角三角形；勾股定理的逆定理：如果一個三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形。直角三角形的性質(zhì)：直角三角形的兩個銳角互余；直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。知識點5 全等三角形定義、判定、性質(zhì)知識點6 相似三角形知識點7 銳角三角函數(shù)與解直角三
4、角形例1. （1）已知：等腰三角形的一邊長為12，另一邊長為5，求第三邊長。（2）已知：等腰三角形中一內(nèi)角為80，求這個三角形的另外兩個內(nèi)角的度數(shù)。分析：利用等腰三角形兩腰相等、兩底角相等即可求得。解：（1）分兩種情況：若腰長為12，底邊長為5，則第三邊長為12。若腰長為5，底邊長為12，則第三邊長為5。但此時兩邊之和小于第三邊，故不合題意。因此第三邊長為12。（2）分兩種情況：若頂角為80，則另兩個內(nèi)角均為底角分別是50、50。若底角為80，則另兩個內(nèi)角分別是80、20。因此這個三角形的另外兩個內(nèi)角分別是50、50或80、20。說明：此題運用“分類討論”的數(shù)學思想，本題著重考查等腰三角形的性
5、質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系。例2. 已知：如圖，ABC和ECD都是等腰三角形，ACBDCE90，D為AB邊上的一點，求證：（1）ACEBCD，（2）ADAEDE。分析：要證ACEBCD，已具備ACBC，CECD兩個條件，還需AEBD或ACEBCD，而ACEBCD顯然能證;要證ADAEDE，需條件DAE90，因為BAC45，所以只需證CAEB45，由ACEBCD能得證。證明：（1）DCEACB90，DCEACDACBACD，即ACEBCD，ACBC，CECD，ACEBCD。（2）ACEBCD，CAEB45，BACB45，DAE90，ADAEDE。例3. 已知：點P是等邊ABC內(nèi)的一點，BPC150，P
6、B2，PC3，求PA的長。分析：將BAP繞點B順時針方向旋轉(zhuǎn)60至BCD，即可證得BPD為等邊三角形，PCD為直角三角形。解：BCBA，將BAP繞點B順時針方向旋轉(zhuǎn)60，使BA與BC重合，得BCD，連結(jié)PD。BDBP2，PADC。BPD是等邊三角形。BPD60。DPCBPCBPD1506090。DCPADC?！咀兪健咳粢阎cP是等邊ABC內(nèi)的一點，PA，PB2，PC3。能求出BPC的度數(shù)嗎？請試一試。例4. 如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)的一點，連結(jié)PA、PB、PC，以BP為邊作PBQ60，且BQBP，連結(jié)CQ（1）觀察并猜想AP與CQ之間的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論（2）若PA：PB：PC3：4
7、：5，連結(jié)PQ，試判斷PQC的形狀，并說明理由解：（1）把ABP繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60即可得到CBQ利用等邊三角形的性質(zhì)證ABPCBQ，得到APCQ（2）連接PQ，則PBQ是等邊三角形PQPB，APCQ故CQ：PQ：PCPA：PB：PC3：4：5，PQC是直角三角形 點評：利用等邊三角形性質(zhì)、判定、三角形全等、直角三角形的判定等知識點完成此題的證明例5. 如圖，有兩個長度相同的滑梯（即BCEF），左邊滑梯的高度AC與右邊滑梯水平方向的長度DF相等，則ABCDFE_ 分析：ABC與DFE分布在兩個直角三角形中，若說明這兩個直角三角形全等則問題便會迎刃而解解答：在RtABC和RtDEF中，BCEF，
8、ACDF，ABCDEF，ABCDEF，ABCDFE90，因此填90 點評：此例主要依據(jù)用所探索的直角三角形全等的條件來識別兩個直角三角形全等，并運用與它相關(guān)的性質(zhì)進行解題例6. 中華人民共和國道路交通管理條例規(guī)定：“小汽車在城市街道上的行駛速度不得超過70千米/時”一輛小汽車在一條城市街道上由西向東行駛（如圖所示），在距離路邊25米處有“車速檢測儀O”，測得該車從北偏西60的A點行駛到北偏西30的B點，所用時間為1.5秒（1）試求該車從A點到B的平均速度；（2）試說明該車是否超過限速解析：（1）要求該車從A點到B點的速度只需求出AB的距離，在OAC中，OC25米OAC906030，OA2CO5
9、0米 由勾股定理得CA25（米） 在OBC中，BOC30 BCOB。 （2BC）2BC2252 BC（米） ABACBC25（米）從A到B的速度為1.5（米/秒） （2）米/秒69.3千米/時 69.3千米/時0）。ACB90，CDAB。CD2ADBD，622k3k，k。AB。又AC2ADAB，AC。例11. 已知ABC中，ACB90，CHAB，HEBC，HFAC。求證：（1）HEF EHC；（2）HEFHBC。分析：從已知條件中可以獲得四邊形CEHF是矩形，要證明三角形全等要收集到三個條件，有公共邊EH，根據(jù)矩形的性質(zhì)可知EFCH，HFEC。要證明三角形相似，從條件中得FHECHB90，由全
10、等三角形可知，HEFHCB，這樣就可以證明兩個三角形相似。證明：HEBC，HFAC，CEHCFH90。又ACB90，四邊形CEHF是矩形。EFCH，HFEC，F(xiàn)HE90。又HEEH，HFE EHC。HEFHCB。FHECHB90，HEFHBC。說明：在這一題的分析過程中，走“兩頭湊”比較快捷，從已知出發(fā)，發(fā)現(xiàn)有用的信息，從結(jié)論出發(fā)，尋找解決問題需要的條件。解題中還要注意上下兩小題的“臺階”關(guān)系。培養(yǎng)學生良好的思維習慣。例12. 兩個全等的含30，60角的三角板ADE和ABC如圖所示放置，E，A，C三點在一條直線上，連接BD，取BD的中點M，連結(jié)ME，MC。試判斷EMC是什么樣的三角形，并說明理
11、由。分析：判斷一個三角形的形狀，可以結(jié)合所給出的圖形作出假設，或許是等腰三角形。這樣就可以轉(zhuǎn)化為另一個問題：嘗試去證明EMMC，要證線段相等可以尋找全等三角形來解決，然而圖中沒有形狀大小一樣的兩個三角形。這時思考的問題就可以轉(zhuǎn)化為這樣一個新問題：如何構(gòu)造一對全等三角形？根據(jù)已知點M是直角三角形斜邊的中點，產(chǎn)生聯(lián)想：直角三角形斜邊上的中點是斜邊的一半，得：MDMBMA。連結(jié)M A后，可以證明MDEMAC。答：EMC是等腰直角三角形。證明：連接AM，由題意得，DEAC，ADAB，DAEBAC90。DAB90。DAB為等腰直角三角形。又MDMB，MAMDMB，AMDB，MADM AB45。MDEMA
12、C105，DMA90。MDEMAC。DMEAMC，MEMC。又DMEEMA90，AMCEMA90。MCEM。EMC是等腰直角三角形。說明：構(gòu)造全等三角形是解決這個問題的關(guān)鍵，那么構(gòu)造全等又如何進行的呢？對條件的充分認識和對知識點的聯(lián)想可以找到添加輔助線的途徑。構(gòu)造過程中要不斷地轉(zhuǎn)化問題或轉(zhuǎn)化思維的角度。會轉(zhuǎn)化，善于轉(zhuǎn)化，更能體現(xiàn)思維的靈活性。在問題中創(chuàng)設以三角板為情境也是考題的一個熱點。1. 如圖，ABC中，D、E分別是AC、AB上的點，BD與CE交于點O，給出下列三個條件：EBODCO；BEOCDO；BECD（1）上述三個條件中，哪兩個條件可判定ABC是等腰三角形（用序號寫出所有情形）；（2
13、）選擇第（1）小題中的一種情況，證明ABC是等腰三角形2. （1）已知如圖，在AOB和COD中，OAOB，OCOD，AOBCOD60。求證：ACBD，APB60。（2）如圖，在AOB和COD中，OAOB，OCOD，AOBCOD，則AC與BD間的等量關(guān)系式為_；APB的大小為_。（3）如圖，在AOB和COD中，OAkOB，OCkOD（k1），AOBCOD，則AC與BD間的等量關(guān)系式為_；APB的大小為_。 3. 一塊直角三角形木板的一條直角邊AB長為1.5m，面積為1.5m2，工人師傅要把它加工成一個面積最大的正方形，請兩位同學設計加工方案，甲設計方案如圖（1），乙設計的方案如圖（2）。你認為哪
14、位同學設計的方案較好？試說明理由。（加工損耗忽略，計算結(jié)果可保留分數(shù)）4. 一般的室外放映的電影膠片上每一個圖片的規(guī)格為：3.5cm3.5cm，放映的熒屏的規(guī)格為2m2m，若放映機的光源距膠片20cm時，問熒屏應拉在離鏡頭多遠的地方，放映的圖象剛好布滿整個熒屏？5. 如圖，已知MON90，等邊三角形ABC的一個頂點A是射線OM上的一定點，頂點B與點O重合，頂點C在MON內(nèi)部。（1）當頂點B在射線ON上移動到B1時，連結(jié)AB1為一邊的等邊三角形AB1C1（保留作圖痕跡，不寫作法和證明）； （2）設AB1與OC交于點Q，AC的延長線與B1C1交于點D。求證：；（3）連結(jié)CC1，試猜想ACC1為多少
15、度？并證明你的猜想。6. 如圖所示，設A城氣象臺測得臺風中心在A城正西方向600km的B處，正以每小時200km的速度沿北偏東60的BF方向移動，距臺風中心500km的范圍是受臺風影響的區(qū)域 （1）A城是否受到這次臺風的影響？為什么？（2）若A城受到這次臺風的影響，那么A城遭受這次臺風的影響有多長時間？7. （1）如圖，在RtABC中，C90，AD是BAC的角平分線，CAB60，CD，BD2，求AC，AB的長（2）“實驗中學”有一塊三角形狀的花園ABC，有人已經(jīng)測出A30，AC40米，BC25米，你能求出這塊花園的面積嗎？（3）某片綠地形狀如圖所示，其中ABBC，CDAD，A60，AB200m
16、，CD100m，求AD、BC的長8. 高為12米的教學樓ED前有一棵大樹AB，如圖所示 （1）某一時刻測得大樹AB，教學樓ED在陽光下的投影長分別是BC2.5米，DF7.5米，求大樹AB的高度； （2）現(xiàn)有皮尺和高為h米的測角儀，請你設計另一種測量大樹AB高度的方案，要求： 在圖中，畫出你設計的圖形（長度用字母m，n表示，角度用希臘字母，表示）； 根據(jù)你所畫出的示意圖和標注的數(shù)據(jù)，求出大樹的高度并用字母表示9. 如圖所示，某居民小區(qū)有一朝向為正南方向的居民樓，該居民樓的一樓是高6米的小區(qū)超市，超市以上是居民住房，在該樓的前面15米處要蓋一棟高20米的新樓當冬季正午的陽光與水平線的夾角為32時（
17、1）問超市以上的居民住房采光是否受影響，為什么？（2）若要使超市采光不受影響，兩樓至少應相距多少米？（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin32，cos32）1. 解：（1）或 （2）已知求證ABC是等腰三角形證：先證EBODCO得OBOC，得DBCECBABCACB即ABC是等腰三角形2. 證明：AOB和COD為正三角形，OAOB，ODOC，AOB60，COD60。AOBBOCCODBOC，AOCBOD。AOCBOD ，ACBD。OACOBD，APBAOB60。（2）AC與BD間的等量關(guān)系式為ACBD；APB的大小為。（3）AC與BD間的等量關(guān)系式為ACkBD；APB的大小為180。3. 解：方案（
18、1）：有題意可知，DEBA，得CDECBA。；方案（2）：作BHAC于H。DEAC，得BDEBAC。圖（1）加工出的正方形面積大。綜上所得，甲同學設計的方案較好。4. 解：膠片上的圖象和熒屏上的圖象是位似的，鏡頭就相當于位似中心，因此本題可以轉(zhuǎn)化為位似問題解答：m5. 解：（1）如圖所示；證明：（2）AOC與AB1C1是等邊三角形，ACBAB1D60。又CAQB1AD，ACQAB1D；（3）猜想ACC190。證明：AOC和AB1C1為正三角形，AOAC，AB1AC1，OACC1AB1，OACCAQC1AB1CAQ，OAB1CAC1。AO B1 AC C1。ACC1AOB190。6. （1）作AMBF可計算AM300km500km，故A城受影響 （2）受影響時間為小時7. 解：（1）AC3，AB6 （2）能，分兩種情況，SABC200150和SABC200150 （3）延長BC，AD交于E，AD400100，BC2002008. 解：連結(jié)AC，EF，（1）太陽光線是平行的，ACEF，ACBEFD，ABCEDF90，ABCEDF，AB4米 （2）如圖所示：AB（mtanh）米9. 解：（1）超市以上居民住房采光受影響，由計算知新樓在居民樓上的投影高約11米，故受影響 （2）若要使超市采光不受影響，兩樓至少相距：2032（米） 10 / 10
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