（濰坊專版）2019中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第1部分 第三章 函數(shù) 第七節(jié) 二次函數(shù)的綜合應(yīng)用課件.ppt

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第七節(jié)二次函數(shù)的綜合應(yīng)用,考點(diǎn)一線段、周長(zhǎng)問題例1(2017東營(yíng)中考)如圖，直線y＝－x＋分別與x軸、y軸交于B，C兩點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上，∠ACB＝90，拋物線y＝ax2＋bx＋經(jīng)過A，B兩點(diǎn)．,(1)求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求拋物線的解析式；(3)點(diǎn)M是直線BC上方拋物線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)M作MH⊥BC于點(diǎn)H，作MD∥y軸交BC于點(diǎn)D，求△DMH周長(zhǎng)的最大值．,【分析】(1)由直線解析式可求得B，C坐標(biāo)，再利用相似三角形可求得OA，從而可求出A點(diǎn)坐標(biāo)；(2)利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；(3)根據(jù)題意可推出當(dāng)MD取得最大值時(shí)，△DMH的周長(zhǎng)最大，利用二次函數(shù)的性質(zhì)得出最大值．,【自主解答】(1)∵直線y＝－x＋分別與x軸、y軸交于B，C兩點(diǎn)，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3，0)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，)．∵∠ACO＋∠BCO＝90，∠ACO＋∠CAO＝90，∴∠CAO＝∠BCO.∵∠AOC＝∠COB＝90，∴△AOC∽△COB，,∴∴AO＝1，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－1，0)．(2)∵拋物線y＝ax2＋bx＋經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，∴∴拋物線的解析式為y＝,(3)由題意知，△DMH為直角三角形，且∠M＝30，當(dāng)MD取得最大值時(shí)，△DMH的周長(zhǎng)最大．,∴當(dāng)x＝時(shí)，MD有最大值，∴△DMH周長(zhǎng)的最大值為,1．如圖所示，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)D(0，)，且頂點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為4，該圖象在x軸上截得線段AB長(zhǎng)為6.(1)利用二次函數(shù)的對(duì)稱性直接寫出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)．(2)求二次函數(shù)的解析式．(3)在該拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)P，使PA＋PD最小，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．,(4)在拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使△QAB與△ABC相似？如果存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．,解：(1)A(1，0)，B(7，0)．(2)設(shè)二次函數(shù)的解析式為y＝a(x－1)(x－7)．∵過點(diǎn)(0，)，∴代入得7a＝.解得a＝，∴二次函數(shù)的解析式為y＝(x－1)(x－7)．,(3)∵點(diǎn)A，B關(guān)于直線x＝4對(duì)稱，∴PA＝PB，PA＋PD＝PB＋PD≥DB，∴DB與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)P.如圖，設(shè)直線x＝4與x軸交于點(diǎn)M.∵PM∥OD，∴∠BPM＝∠BDO.又∵∠PBM＝∠DBO，,∴△BPM∽△BDO，∴∴PM＝∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4，)．(4)存在．由(2)可得出點(diǎn)C的坐標(biāo)為(4，－)．∵AM＝3，∴在Rt△AMC中，tan∠ACM＝，∴∠ACM＝60.∵AC＝BC，∴∠ACB＝120.,①如圖所示，當(dāng)點(diǎn)Q在x軸上方時(shí)，過點(diǎn)Q作QN⊥x軸于點(diǎn)N.如果AB＝BQ，由△ACB∽△ABQ得BQ＝6，∠ABQ＝∠ACB＝120，則∠QBN＝60，∴QN＝3，BN＝3，ON＝10，此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(10，3)．,如果AB＝AQ，由對(duì)稱性知Q的坐標(biāo)為(－2，3)，經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)(10，3)與(－2，3)都在拋物線上．②當(dāng)點(diǎn)Q在x軸下方時(shí)，△QAB就是△ACB，此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)是(4，－)．綜上所述，存在這樣的點(diǎn)Q，使△QAB與△ABC相似，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(10，3)或(－2，3)或(4，－)．,考點(diǎn)二圖形面積問題例2(2017濰坊中考)如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋c經(jīng)過平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)A(0，3)，B(－1，0)，D(2，3)，拋物線與x軸的另一交點(diǎn)為E.經(jīng)過點(diǎn)E的直線l將平行四邊形ABCD分割為面積相等的兩部分，與拋物線交于另一點(diǎn)F.點(diǎn)P為直線l上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t.,(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)當(dāng)t為何值時(shí)，△PFE的面積最大？并求最大值的立方根；(3)是否存在點(diǎn)P使△PAE為直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由．,【分析】(1)由A，B，D三點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線的表達(dá)式；(2)由題意知l必過平行四邊形ABCD的對(duì)稱中心，由拋物線的對(duì)稱性可求得E點(diǎn)坐標(biāo)，從而可求得直線l的表達(dá)式，作PH⊥x軸，交直線l于點(diǎn)M，作FN⊥PH，則可用t表示出PM的長(zhǎng)，從而可表示出△PEF的面積，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值，再求其最大值的立方根即可；,(3)由題意可知有∠PAE＝90或∠APE＝90兩種情況，分別求得t的值即可．【自主解答】(1)將點(diǎn)A(0，3)，B(－1，0)，D(2，3)代入y＝ax2＋bx＋c得∴拋物線的表達(dá)式為y＝－x2＋2x＋3.,(2)∵直線l將平行四邊形ABCD分割為面積相等的兩部分，∴l(xiāng)必過其對(duì)稱中心(，)．由點(diǎn)A，D知，對(duì)稱軸為x＝1，∴E(3，0)，設(shè)直線l的表達(dá)式為y＝kx＋m，代入點(diǎn)(，)和(3，0)得,∴直線l的表達(dá)式為y＝－x＋.由解得xF＝－.如圖，作PH⊥x軸，交l于點(diǎn)M，作FN⊥PH.點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為yP＝－t2＋2t＋3，點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為yM＝－t＋.∴PM＝y(tǒng)P－yM＝－t2＋2t＋3＋t－＝－t2＋t＋.,則S△PFE＝S△PFM＋S△PEM＝PMFN＋PMEH＝PM(FN＋EH)＝(－t2＋t＋)(3＋)＝∴當(dāng)t＝時(shí)，△PFE的面積最大，最大值的立方根為,(3)由圖可知∠PEA≠90.①若∠P1AE＝90，作P1G⊥y軸，∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA＝45，∴∠P1AG＝∠AP1G＝45，∴P1G＝AG，∴t＝－t2＋2t＋3－3，即－t2＋t＝0，解得t＝1或t＝0(舍去)．,②若∠AP2E＝90，作P2K⊥x軸，AQ⊥P2K，則△P2KE∽△AQP2，∴∴即t2－t－1＝0，解得t＝或t＝<－(舍去)，綜上可知，t＝1或t＝時(shí)，存在點(diǎn)P使△PAE為直角三角形．,2．(2018遂寧中考)如圖，已知拋物線y＝ax2＋x＋4的對(duì)稱軸是直線x＝3，且與x軸相交于A，B兩點(diǎn)(B點(diǎn)在A點(diǎn)右側(cè))，與y軸交于C點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式和A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)P是拋物線上B，C兩點(diǎn)之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與B，C重合)，則是否存在一點(diǎn)P，使△PBC的面積最大．若存在，請(qǐng)求出△PBC的最大面積；若不存在，試說明理由；,(3)若M是拋物線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)M作y軸的平行線，交直線BC于點(diǎn)N，當(dāng)MN＝3時(shí)，求M點(diǎn)的坐標(biāo)．,解：(1)∵拋物線y＝ax2＋x＋4的對(duì)稱軸是直線x＝3，∴－＝3，解得a＝－，∴拋物線的解析式為y＝－x2＋x＋4.當(dāng)y＝0時(shí)，－x2＋x＋4＝0，解得x1＝－2，x2＝8，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－2，0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(8，0)．,(2)當(dāng)x＝0時(shí)，y＝－x2＋x＋4＝4，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，4)．設(shè)直線BC的解析式為y＝kx＋b(k≠0)．將B(8，0)，C(0，4)代入y＝kx＋b得∴直線BC的解析式為y＝－x＋4.,假設(shè)存在，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，－x2＋x＋4)．如圖，過點(diǎn)P作PD∥y軸，交直線BC于點(diǎn)D，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x，－x＋4)，∴PD＝－x2＋x＋4－(－x＋4)＝－x2＋2x，,∴S△PBC＝PDOB＝8(－x2＋2x)＝－x2＋8x＝－(x－4)2＋16.∵－1＜0，∴當(dāng)x＝4時(shí)，△PBC的面積最大，最大面積是16.∵0＜x＜8，∴存在點(diǎn)P，使△PBC的面積最大，最大面積是16.,(3)設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(m，－m2＋m＋4)，則點(diǎn)N的坐標(biāo)為(m，－m＋4)，∴MN＝|－m2＋m＋4－(－m＋4)|＝|－m2＋2m|.又∵M(jìn)N＝3，∴|－m2＋2m|＝3.當(dāng)0＜m＜8時(shí)，有－m2＋2m－3＝0，解得m1＝2，m2＝6，,∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2，6)或(6，4)．當(dāng)m＜0或m＞8時(shí)，有－m2＋2m＋3＝0，解得m3＝4－2，m4＝4＋2，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(4－2，－1)或(4＋2，－－1)．綜上所述，M點(diǎn)的坐標(biāo)為(4－2，－1)，(2，6)，(6，4)或(4＋2，－－1)．,考點(diǎn)三動(dòng)點(diǎn)、存在點(diǎn)問題例3(2018濰坊中考)如圖1，拋物線y1＝ax2－x＋c與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B(1，0)，與y軸交于點(diǎn)C(0，)，拋物線y1的頂點(diǎn)為G，GM⊥x軸于點(diǎn)M.將拋物線y1平移后得到頂點(diǎn)為B且對(duì)稱軸為直線l的拋物線y2.(1)求拋物線y2的表達(dá)式；,(2)如圖2，在直線l上是否存在點(diǎn)T，使△TAC是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出所有點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；(3)點(diǎn)P為拋物線y1上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作y軸的平行線交拋物線y2于點(diǎn)Q，點(diǎn)Q關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為R.若以P，Q，R為頂點(diǎn)的三角形與△AMG全等，求直線PR的表達(dá)式．,【分析】(1)應(yīng)用待定系數(shù)法求表達(dá)式；(2)設(shè)出點(diǎn)T坐標(biāo)，表示出△TAC三邊，進(jìn)行分類討論；(3)設(shè)出點(diǎn)P坐標(biāo)，表示出Q，R坐標(biāo)及PQ，QR，根據(jù)以P，Q，R為頂點(diǎn)的三角形與△AMG全等，分類討論對(duì)應(yīng)邊相等的可能性即可．【自主解答】(1)由題意知,∴拋物線y1的表達(dá)式為y1＝∵拋物線y1平移后得到拋物線y2，且頂點(diǎn)為B(1，0)，∴拋物線y2的表達(dá)式為y2＝－(x－1)2，即y2＝(2)拋物線y2的對(duì)稱軸l為x＝1，設(shè)T(1，t)．已知A(－3，0)，C(0，)．,如圖，過點(diǎn)T作TE⊥y軸于點(diǎn)E，則TC2＝TE2＋CE2＝TA2＝AB2＋TB2＝(1＋3)2＋t2＝t2＋16，AC2＝.當(dāng)TC＝AC時(shí)，即當(dāng)TA＝AC時(shí)，得t2＋16＝，無(wú)解；,當(dāng)TA＝TC時(shí)，得，解得t3＝－.綜上可知，在拋物線y2的對(duì)稱軸l上存在點(diǎn)T，使△TAC是等腰三角形，此時(shí)T點(diǎn)的坐標(biāo)為T1(1，)，T2(1，)，T3(1，－)．(3)設(shè)P(m，)，則Q(m，)．∵Q，R關(guān)于x＝1對(duì)稱，,∴R(2－m，)．情況一：當(dāng)點(diǎn)P在直線l的左側(cè)時(shí)，PQ＝＝1－m，QR＝2－2m.又∵以P，Q，R構(gòu)成的三角形與△AMG全等，當(dāng)PQ＝GM且QR＝AM時(shí)，m＝0，可求得P(0，)，即點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，,∴R(2，－)．設(shè)PR的表達(dá)式為y＝kx＋b，則有即PR的表達(dá)式為y＝－x＋.當(dāng)PQ＝AM且QR＝GM時(shí)，無(wú)解．,情況二：當(dāng)點(diǎn)P在直線l右側(cè)時(shí)，P′Q′＝Q′R′＝2m－2，同理可得P′(2，－)，R′(0，－)，P′R′的表達(dá)式為y＝－x－.綜上所述，PR的表達(dá)式為y＝－x＋或y＝－x－.,3．(2018泰安中考)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c交x軸于點(diǎn)A(－4，0)，B(2，0)，交y軸于點(diǎn)C(0，6)，在y軸上有一點(diǎn)E(0，－2)，連接AE.(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)若點(diǎn)D為拋物線在x軸負(fù)半軸上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求△ADE面積的最大值；,(3)拋物線對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△AEP為等腰三角形，若存在，請(qǐng)直接寫出所有P點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．,解：(1)由題意可得∴二次函數(shù)的解析式為y＝－x2－x＋6.,(2)由A(－4，0)，E(0，－2)，可求得AE所在直線解析式為y＝－x－2.如圖，過點(diǎn)D作DH與y軸平行，交AE于點(diǎn)F，交x軸于點(diǎn)G，過點(diǎn)E作EH⊥DF，垂足為H.,設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，－x02－x0＋6)，則F點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，－x0－2)，則DF＝－x02－x0＋6－(－x0－2)＝－x02－x0＋8.又∵S△ADE＝S△ADF＋S△EDF，∴S△ADE＝DFAG＋DFEH＝4DF,＝2(－x02－x0＋8)＝－(x0＋)2＋，∴當(dāng)x0＝－時(shí)，△ADE的面積取得最大值.(3)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(－1，1)，(－1，)，(－1，－2)．,考點(diǎn)四二次函數(shù)綜合題百變例題(2018濟(jì)寧中考)如圖，已知拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)經(jīng)過點(diǎn)A(3，0)，B(－1，0)，C(0，－3)．(1)求該拋物線的解析式；(2)若以點(diǎn)A為圓心的圓與直線BC相切于點(diǎn)M，求切點(diǎn)M的坐標(biāo)；,(3)若點(diǎn)Q在x軸上，點(diǎn)P在拋物線上，是否存在以點(diǎn)B，C，Q，P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．,【分析】(1)已知A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)，可得y＝a(x－3)(x＋1)，再將點(diǎn)C坐標(biāo)代入即可解得；(2)過點(diǎn)A作AM⊥BC，利用全等三角形求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出直線AM的解析式，同理可求出直線BC的解析式，聯(lián)立求出M坐標(biāo)即可；(3)存在以點(diǎn)B，C，Q，P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，分兩種情況，利用平移規(guī)律確定出P的坐標(biāo)即可．,【自主解答】(1)∵拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)經(jīng)過點(diǎn)A(3，0)，B(－1，0)，∴y＝a(x－3)(x＋1)．又∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)C(0，－3)，∴－3＝a(0－3)(0＋1)，解得a＝1，,∴拋物線的解析式為y＝(x－3)(x＋1)，即y＝x2－2x－3.(2)如圖，過點(diǎn)A作AM⊥BC，垂足為點(diǎn)M，AM交y軸于點(diǎn)N，∴∠BAM＋∠ABM＝90.在Rt△BCO中，∠BCO＋∠ABM＝90，∴∠BAM＝∠BCO.,∵A(3，0)，B(－1，0)，C(0，－3)，∴AO＝CO＝3，OB＝1.又∵∠BAM＝∠BCO，∠BOC＝∠AON＝90，∴△AON≌△COB，∴ON＝OB＝1，∴N(0，－1)．,設(shè)直線AM的函數(shù)解析式為y＝kx＋b，把A(3，0)，N(0，－1)代入得解得∴直線AM的函數(shù)解析式為y＝x－1.同理可求直線BC的函數(shù)解析式為y＝－3x－3.,解方程組∴切點(diǎn)M的坐標(biāo)為(－，－)．(3)存在以點(diǎn)B，C，Q，P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．設(shè)Q(t，0)，P(m，m2－2m－3)．分兩種情況考慮：,當(dāng)四邊形BCQP為平行四邊形時(shí)，由B(－1，0)，C(0，－3)，根據(jù)平移規(guī)律得－1－m＝0－t，0－(m2－2m－3)＝－3－0，解得m＝1.當(dāng)m＝1＋時(shí)，m2－2m－3＝8＋2－2－2－3＝3，即P(1＋，3)；,當(dāng)m＝1－時(shí)，m2－2m－3＝8－2－2＋2－3＝3，即P(1－，3)．當(dāng)四邊形BCPQ為平行四邊形時(shí)，由B(－1，0)，C(0，－3)，根據(jù)平移規(guī)律得－1－t＝0－m，0－0＝－3－(m2－2m－3)，解得m＝0或2.,當(dāng)m＝0時(shí)，P(0，－3)(舍去)；當(dāng)m＝2時(shí)，P(2，－3)．綜上所述，存在以點(diǎn)B，C，Q，P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1＋，3)或(1－，3)或(2，－3)．,變式1：解：如圖，連接AC，AD，CD，作DL⊥x軸于點(diǎn)L.∵S△ACD＝S梯形OCDL＋S△ADL－S△AOC＝(3＋4)1＋24－33＝＋－＝3，S△ABC＝ABOC＝43＝6，∴S△ACD∶S△ABC＝3∶6＝1∶2.,變式2：解：存在．理由如下：①如圖，當(dāng)點(diǎn)F在x軸下方時(shí)，作FR⊥x軸于點(diǎn)R.∵四邊形BCFE為平行四邊形，∴∴△ERF≌△BOC，,∴RF＝OC＝3，∴－3＝x2－2x－3，解得x＝2或x＝0(與C點(diǎn)重合，舍去)，∴F(2，－3)．②如圖，當(dāng)F在x軸上方時(shí)，作FS⊥x軸于點(diǎn)S.∵四邊形BCEF為平行四邊形，∴,∴△EFS≌△BCO，∴FS＝OC＝3，∴3＝x2－2x－3，解得x1＝1＋，x2＝1－.綜上所述，F(xiàn)點(diǎn)為(2，－3)或(1＋，3)或(1－，3)．,變式3：解：設(shè)直線AC的解析式為y＝kx－3，則有0＝3k－3，解得k＝1，故直線AC的解析式為y＝x－3.已知點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為m，則G(m，m－3)，H(m，m2－2m－3)，∴GH＝m－3－(m2－2m－3)＝－m2＋3m(0

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濰坊專版2019中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第1部分 第三章 函數(shù) 第七節(jié) 二次函數(shù)的綜合應(yīng)用課件 濰坊 專版 2019 中考 數(shù)學(xué) 復(fù)習(xí) 部分 第三 第七 二次 綜合 應(yīng)用 課件

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