2019-2020年九年級數(shù)學輔導與測試 命題與證明 新課標 人教版

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1、2019-2020年九年級數(shù)學輔導與測試命題與證明新課標人教版 1.命題的概念 判斷一件事情的句子叫做命題。 正確利用命題的定義，來判斷一語句是否為命題，關鍵看它是否為判斷句。如：（1）兩點確定一條直線。（2）過兩點畫一條直線。（3）過兩點能畫一條直線嗎？ （1）是判斷句，所以是命題，而（2）是描述句；（3）是疑問句，所以（2）、（3）都不是命題。 2. 命題的結構。命題是由題設（已知事項）和結論（由已知事項推出的事項）組成的。 已知事項，常寫為：“如果……”，由已知事項推出的事項，常寫為：“那么……。所以，對于一般命題而言，“如果”后面是題設，“那么”后面是結論。有的命題語言很簡

2、練，可以將其改寫成：“如果……那么……”的形式。 3. 命題的真假性。命題有真有假，正確的命題叫真命題；錯誤的命題叫做假命題，判定一個命題是真命題時， 必須保證題設成立時，結論一定成立。判斷一個命題是假命題時，只需舉出一個“反例”，說明不能保證結論一定成立即可。 4.公理。人們在長期實踐中總結出來的得到人們公認的真命題，叫做公理，如“兩點之間，線段最短”，“兩直線平行，同位角相等”。 注意：（1）公理是通過長期實踐反復試驗證過的，不需再進行推理論證而都承認的命題。 （2）公理可以作為判定其他命題真假的根據(jù)。 5.定理。用推導的方法判為正確的命題叫做定理。如“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”

3、等。定理是真命題，但真命題不一定都是定理，一般選擇一些最常用最基本的真命題作為定理可以以它們?yōu)楦鶕?jù)推證其他命題，這些選作定理的真命題，在教材中用黑體字排印的。 6. 證明：判斷一個命題的正確性的推理過程叫做證明。在幾何題的研究上，必須經(jīng)過證明，才能做出真實可靠的判斷，如“對頂角相等”這個命 題，如果只采用測量的方法，只能測量有限個對頂角是相等的，但采用推理方法證明了對頂角相等，那么就可以確信一切對頂角相等。 7. 證明的一般步驟： （1）根據(jù)題意，畫出圖形。 （2）根據(jù)題設、結論，結合圖形，寫出已知、求證。 （3）經(jīng)過分析，找出由已知推出求證的途徑，寫出證明過程。 【典型例題】

4、 例1.下列語句是不是命題？ （1）畫ZAOB的平分線； （2）兩條直線相交，有幾個交點？ （3）直角大于銳角； （4）如果； （5）小林可能被北京大學錄取了； （6）幾何多有樂趣??！分析：命題不僅是一個完整的句子，而且要有判斷的特征。 （1）是畫圖語句。（2）是疑問語句。（5）是猜測，既沒有肯定又沒有否定。（6）是感嘆句它們都不是命題。 （4）是不正確的命題，但它是命題。解（1）、（2）、（5）、（6）都不是命題 （3）、（4）都是命題。 例2.把下列命題改寫成“如果……那么……”的形式，指出其題設和結論，并判斷其真假。 （1）垂直于同一條直線的兩條直線平行； （2）

5、同角的余角相等； （3）異號的兩數(shù)相加得負數(shù)。 分析（1）命題對符合某種條件的兩條直線作出了是平行線的判斷。 （2）命題是對符合某種條件的兩個角作出了相等的判斷。 （3）命題是對符合某種條件的兩個數(shù)相加的結果作出了是負數(shù)的判斷。解（1）如果兩條直線垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行。題設：兩條直線垂直于同一條直線；結論：這兩條直線平行。是真命題。 （2）如果兩個角是同一個角的余角，那么這兩個角相等。題設：兩個角是同一個角的余角；結論：這兩個角相等。是真命題。 （3）如果兩個數(shù)異號，那么這兩個數(shù)的和是負數(shù)。題設：兩個數(shù)異號，結論：這兩個數(shù)的和是負數(shù)。是假命題。 點撥：如何把命題改

6、寫成“如果……那么……”的形式，首先要找出命題的題設和結論?！叭绻焙髮戭}設，是已知事項，“那么”后面寫結論，也就是由題設推出的事項。例3.判斷下列命題是真命題還是假命題，要說出判斷的理由。 （1）二元一次方程組一定有解。 （2）ZAOB=90。時，0A丄0B。 （3）一個數(shù)的相反數(shù)一定比它本身小。 （4）互為補角的兩個角的平分線一定互相垂直。 解（1）是假命題，如方程組就無解。 （2）是真命題，由垂直的定義可知，如果兩條直線相交成90°，那么這兩條直線互相垂直。 （3）是假命題，如一3的相反數(shù)+3，則一3V—（—3）。 （4）是假命題，因為互為補角的兩個角不一定相鄰，因而不能

7、確定它們的位置。點撥：要判斷一個命題是假命題，只要舉出一個反例即可。 例4.已知，如圖1，D、E、F分別是BC、CA、AB上的點，DE〃BA,DF〃CA。求證：ZFDE=ZAO 分析：由DE〃BA知ZA=ZDEC 由DF〃AC知ZFDE=ZDEC，問題得證。證明：?.?DE〃BA（已知） /.ZDEC=ZA（兩直線平行，同位角相等）?.?DF〃AC（已知） ???ZDEC=ZFDE（兩直線平行，內(nèi)錯角相等） .??ZFDE=ZA（等量代換） 例5.如圖2,平行四邊形ABCD與平行四邊形EAFC的頂點D、B、E、F在一條直線上，求證：DE=BFO 分析：要證明DE=B

8、F,因為兩線段都在平行四邊形的對角線上，可以考慮通過平行四邊形的對角線互相平分這一特征來證明。 證明：連結AC交BD于O 在平行四邊形ABCD中，OB=OD（平行四邊形的對角線互相平分） 在平行四邊形AFCE中，OF=OE（平行四邊形的對角線互相平分） 則OB—OF=OD—OE（等式的性質(zhì)） 即BF=DE 例6.如圖3,已知AE#BC，ZB=ZC，求證：AE是ZDAC的平分線。 分析：要證AE是ZDAC的平分線，只要證明Z1=Z2，而已知AE〃BC，可以得到Z1=ZB，Z2=ZC，再由ZB=ZC，利用等量代換可推證：Z1=Z2。 證明：AE〃BC（已知） Z.Z1=Z

9、B（兩直線平行，同位角相等） Z2=ZC（兩直線平行，內(nèi)錯角相等） 又VZB=ZC（已知） AZ1=Z2（等量代換） ???AE是ZDAC的平分線（角平分線定理） 點撥：利用等量代換可推證：Z1=Z2。 例7.證明：兩條平行線被第三條直線所截，一組同位角的角平分線互相平行。 分析：這是一個文字命題，要分清題設和結論，然后根據(jù)題意畫出圖形，寫出已知和求證 已知：如圖4,AB〃CD,EF交AB、CD分別于G、H，GK平分ZEGB，HL平分ZGHD。 求證：GK〃HL 證明：?.?AB〃CD（已知） AZEGB=ZGHD（兩直線平行，同位角相等） VGK平分ZEGB,

10、HL平分ZGHD（已知） 11 Z1二ZEGB,Z2二ZGHD ???22（角平分線定義）。 AZ1=Z2（等量代換） ???GK〃HL（同位角相等，兩直線平行）點撥：對文字敘述的命題，在寫出“已知”和“求證”時，要借助圖形“翻譯”成數(shù)學符號語言。證明中的推理要有根據(jù)，不能想當然。 例8.如圖5,已知：Z1+Z2=180°,Z3=ZB,判斷ZAED與ZC的大小關系。并對結論進行證明。 分析：題目已知條件中涉及的角比較分散,都不能構成“三線八角”的基本圖形,但根據(jù)圖形可知，Z1與Z4的鄰補角，有Z1+Z4=180°，而已知Z1+Z2=180°，故可得Z2=Z4,進而知道EF〃A

11、B,Z3=ZADE，又根據(jù)Z3=ZB，故可得ZADB=ZB，這樣DE〃BC了，那么ZAED=ZCo 解：ZAED=ZC,證明如下： VZ1+Z2=180°（已知） Z1+Z4=180°（鄰補角定義） AZ2=Z4（同角的補角相等） ???AB〃EF（內(nèi)錯角相等，兩直線平行） AZ3=ZADE（兩直線平行，內(nèi)錯角相等） 又VZ3=ZB（已知） .??ZADE=ZB（等量代換）。 .??DE〃BC（同位角相等，兩直線平行）/.ZAED=ZC（兩直線平行，同位角相等） 例9.已知，如圖6,E是正方形ABCD的邊BC的中點，F(xiàn)是CD上一點，AE平分ZBAF。 求證：AF=BC

12、+CF分析：系統(tǒng)的數(shù)學方法是解答證明題的關鍵。本題要證明一條線段是另外兩條線段的和，可以考慮用“截長”或“補短”的方法。即可以（1）在AF上截取AM=AB，再證MF=CF； （2）將線段BC、CF合二為一，借助等腰三角形的判定定理來證明；（3）還可以取AF的中點，借助梯形的中位線定理證之?，F(xiàn)介紹證法（1）： 證明：在AF上截取AM=AB，連結EM、EF 在厶ABE和AAME中 AB=AM，Z1=Z2，AE=AE .?.△ABE9AAME, ABE=EM，ZB=ZAME???四邊形ABCD是正方形AAB=BC，ZB=90°=ZC AZEMF=ZC=90° ?E是BC中點，?：BE

13、=EC=EM ??.在RtAEFM和RtAEFC中， ZC=ZEMF=90° EM=EC,EF=EF /.RtAEFM^Rt^EFC， ??.MF=CF AF=AM+MF=BC+CF 例10.請閱讀下面材料，并回答所提出的問題。三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理：三角形的內(nèi)角平分線分對邊所得的兩條線段和這個角的兩邊對應成比例，已知如圖7,AABC中，AD是角平分線。 .E A/ 圖7 求證： 剖析：要證，一般只要BD、DC與AB、AC或BD、AB與DC、AC所在的三角形相似。現(xiàn)在B、D、C在一直線上，AABD與厶ADC不相似，需要考慮用別的方法換比。 此比例式中，AC恰

14、是BD、DC、AB的第四比例項，所以考慮過C作CE〃AD交BA的延長線于E,從而得到BD、DC、AB的第四比例項AE。這樣，證明就可以轉(zhuǎn)化成證AE=AC。 證明：過C作CE〃DA交BA的延長線于E ZE二Z3nAE二AC〕 BD_AB~DC~~AC JZ1=ZE、 CE〃DAnjz2=Z3＞二 Z1=Z2 答題時間：60分鐘） 一、選擇題（每小題只有一個正確答案，把正確答案的代號填在括號內(nèi)） 1. 在厶ABC和厶A'B'C'中，①AB=A'B':②BC=B'C'；③AC=A'C':④ZA=ZA'；⑤ZB =ZB'；@ZC=ZC'。則不能判斷△ABC^^A'B'C'的是（）

15、 A.①②③B.①②⑤ C.②④⑤D.①③⑤ 2. 在△ABC和厶A'B'C'中，AB=A'B'，AC=A'C'，ZB=ZB'，則ZC與ZC'的關系為（） A.相等B.互補 C.相等或互補D.不能確定 3. 下列三個命題中 ① 三個角對應相等的兩個三角形是全等三角形 ② 用全等的正三角形，可以進行平面鑲嵌 ③ 正三角形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形 錯誤的命題有（） A.3個B.2個C.1個D.0個 4. 要測量河兩岸相對的兩點A、B的距離，先在AB的垂線BF上取兩點C、D,使CD=CB，再定出BF的垂線DE。使A、C、E在一條直線上（如圖1）,可以證明厶EDC9AAB

16、C,得到 ED=AB，因此測量ED的長即為AB的長，判斷△EDC^^ABC的理由是（ A.SSS B.SASC.ASAD.HL 5.如圖2，AO=BO，CO=DO，連接AD、BC交于點P,則①△AOD^^BOC；②厶APC ^△BPD；③點P在ZAOB的角平分線上，以上結論中（ A. 只有①正確 B. 只有②正確 C. 只有①②正確 D. ①②③都正確 6.已知△ABC中，AB=AC,ZBAC=90。，直角ZEPF的頂點P是BC中點，兩邊PE、PF分別交AB、AC于點E、F,給出以下四個結論： 圖3 ① AE=CF ② AEPF是等腰直角三角形 ③

17、 ④EF=AP，當ZEPF在厶ABC內(nèi)繞頂點P旋轉(zhuǎn)時（點E不與A、B重合），上述結論中始終正確的有（） A.1個B.2個C.3個D.4個 7. 能把平行四邊形分成兩個全等形的直線有（） A.2條B.3條 C.4條D.無數(shù)條 二、判斷題 8. 頂角相等的兩個等腰三角形全等。（） 9. 關于某條直線對稱的兩個圖形是全等形。（） 10. 周長相等的兩個直角三角形全等。（） 11. 有一邊和這邊上的高對應相等的兩個三角形全等。（） 12. 全等三角形的對應邊上的中線相等。（） 13. 三角形的三條中位線把三角形分割成四部分，它們是全等形。（） 三、填空題 14. 把下列命題寫

18、成“如果……，那么……”的形式：直角三角形的斜邊中線等于斜邊的一半。 15. 如圖4,AC=DC，ZACD=ZBCE，添加一個條件，使△ABC^ADEC。 圖4 16.如圖5，AABC中，AB=AC，AD丄BC于點D，E是AD延長線上一點，連BE、CE。 圖5 按要求寫出正確的結論： (1)全等三角形一組： (2)相等的角一組：； (3)相等的線段一組(除AB=AC)： 且與邊AD、BC分別交 18.BD是厶ABC的角平分線, 的周長為O ZC=90°,AC=CB,DE丄AB于E,若AB=5cm,則厶ADE 請你任選兩題填寫， 多填寫的題目不記分

19、。填寫時不再標注另 1) 3) 19.此題共有A、B、C三題。外的字母。根據(jù)選題難度評分 2) 圖8 (A)如圖8(1),AB=AC,AD=AEO 寫出一對全等三角形；識別方法是O (B)如圖8(2),CE丄AB于點E,BD丄AC于點D,BD、CE交于點O,且AO平分Z BACO 寫出一對全等三角形；識別方法是O (C)如圖8(3),△BDA、AHDC都是等腰直角三角形，且D在BC上，BH的延長線與 AC交于點EO 寫出一對全等三角形；識別方法是O四、解答題 20. 根據(jù)下列命題，畫出圖形并寫出“已知”、“求證”：直徑所對的圓周角是直角 已知： 求證： 21.

20、 已知Za、ZB，用直尺和圓規(guī)作角：(不寫作法，保留作圖痕跡) 22.已知線段a、b,Za，用直尺和圓規(guī)作△ABC，使AB=c,AC=b,ZC=Za。（不寫 作法，保留作圖痕跡） 圖10 23.分別作出下列三個三角形三邊上的高，根據(jù)你畫的圖形判斷三角形三邊上的高線交點位 參考答案 一、選擇題（每小題只有一個正確答案，把正確答案的代號填在括號內(nèi)） 1.D 6.C 2.C 7.D 3.B 4.C 5.D 、判斷題 8.X 9.丿 10.X 11.X 12.丿 13. 丿 三、填空題 14. 如果一個三角形是直角三角

21、形，那么它斜邊上的中線等于斜邊的一半 15. BC=EC或ZA=ZD或ZDEC=ZB等 16. (l)AABD竺AACD或ABDE竺ACDE或厶ABE竺AACE (2) ZBAE=ZEAC等， (3) BD=DC或BE=EC 17. 6 18. 5cm 19. (A)AABD^AACE,SAS (B) AAEO竺AADO,AAS等， (C) ABDH竺AADC,SAS 四、解答題 20.已知：AB為。O的直徑，C為半圓上一點。 求證：ZACB為直角。 21.略 22.略 23.當三角形為銳角三角形時，交點在三角形內(nèi)；當三角形為直角三角形時，交點在三角形的邊上；當三角形為鈍角三角形時，交點在三角形外。 作圖略。