數(shù)學 第一部分 教材第三單元 函數(shù) 第14課時 二次函數(shù)的綜合應用

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1、 第第14課時課時 二次函數(shù)的綜合應用二次函數(shù)的綜合應用第三單元 函 數(shù) ?？碱愋推饰隼?(2016襄陽襄陽)襄陽市某企業(yè)積極響應政府襄陽市某企業(yè)積極響應政府“創(chuàng)新發(fā)展創(chuàng)新發(fā)展”的號召，研發(fā)了一種新產(chǎn)品已知研發(fā)、生產(chǎn)這種產(chǎn)品的號召，研發(fā)了一種新產(chǎn)品已知研發(fā)、生產(chǎn)這種產(chǎn)品的成本為的成本為 30元元/件，且年銷售量件，且年銷售量 y(萬件萬件)關(guān)于售價關(guān)于售價x(元元/件件)的函數(shù)解析式為：的函數(shù)解析式為： （40 x60） （60 x 70）xyx214080-+=-+ 二次函數(shù)的實際應用二次函數(shù)的實際應用類型類型 一一 解：解：(1)W= ；(1)若企業(yè)銷售該產(chǎn)品獲得的年利潤為若企業(yè)銷售該產(chǎn)

2、品獲得的年利潤為W(萬元萬元)，請直接，請直接寫出年利潤寫出年利潤W(萬元萬元)關(guān)于售價關(guān)于售價 x(元元/件件)的函數(shù)解析式；的函數(shù)解析式；【思維教練】【思維教練】根據(jù)年利潤根據(jù)年利潤W(售價成本售價成本)年銷售量，年銷售量，即可求出即可求出W與與x的函數(shù)解析式；的函數(shù)解析式；xxxxxx2222004200(4060)1102400(6070)(2)當該產(chǎn)品的售價當該產(chǎn)品的售價x(元元/件件)為多少時，企業(yè)銷售該產(chǎn)品為多少時，企業(yè)銷售該產(chǎn)品獲得的年利潤最大？最大年利潤是多少？獲得的年利潤最大？最大年利潤是多少？【思維教練思維教練】分別求出兩個函數(shù)關(guān)系式各自取值范圍分別求出兩個函數(shù)關(guān)系式各自

3、取值范圍內(nèi)的最大值，再比較這兩個不同取值范圍內(nèi)的最值，內(nèi)的最大值，再比較這兩個不同取值范圍內(nèi)的最值，從而確定售價從而確定售價x為何值時利潤最大；為何值時利潤最大；解：解：由由(1)知，當知，當40 x60時，時，W=2(x50)2800.20，當當x=50時，時，W有最大值有最大值800.當當60 x70時，時，W=(x55)2625.10，當當60 x70時，時，W隨隨x的增大而減小，的增大而減小，當當x=60時，時，W有最大值有最大值600.800600，當該產(chǎn)品的售價定為當該產(chǎn)品的售價定為50元元/件時，銷售該產(chǎn)品的年利潤件時，銷售該產(chǎn)品的年利潤最大，最大利潤為最大，最大利潤為800萬元

4、萬元(3)若企業(yè)銷售該產(chǎn)品的年利潤不少于若企業(yè)銷售該產(chǎn)品的年利潤不少于750萬元，試確定該萬元，試確定該產(chǎn)品的售價產(chǎn)品的售價x(元元/件件)的取值范圍的取值范圍【思維教練思維教練】把把W=750代入代入(2)的函數(shù)關(guān)系式中，解一元二的函數(shù)關(guān)系式中，解一元二次方程求次方程求x，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)確定當，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)確定當W750時時x的取值的取值范圍范圍解：解：當當40 x60時，令時，令W=750，得，得- -2(x- -50)2800=750，解得，解得x1=45，x2=55.由二次函數(shù)由二次函數(shù)W=- -2(x- -50)2800的圖象可知，的圖象可知，當當45x55時，時，W750

5、：當當60 x70時，時，W最大值為最大值為600750.所以，要使企業(yè)銷售該產(chǎn)品的年利潤不少于所以，要使企業(yè)銷售該產(chǎn)品的年利潤不少于750萬元，該萬元，該產(chǎn)品的售價產(chǎn)品的售價x(元元/件件)的取值范圍為的取值范圍為45x55.例 2 (2016湘西州湘西州)如圖如圖, 長方形長方形OABC的的OA邊在邊在 x 軸的正半軸上軸的正半軸上, OC在在 y 軸的正軸的正半軸上半軸上, 拋物線拋物線 y=ax2+bx經(jīng)過點經(jīng)過點 B(1, 4)和和點點 E(3, 0)兩點兩點.二次函數(shù)與幾何圖形綜合題二次函數(shù)與幾何圖形綜合題類型類型 二二 (1)求拋物線的解析式求拋物線的解析式; 【思維教練】【思維

6、教練】要求拋物線要求拋物線 y=ax2+bx, , 已知拋物線上已知拋物線上 B、E兩兩點坐標點坐標, ,利用待定系數(shù)法代入即可求解利用待定系數(shù)法代入即可求解; ; 解解: :將點將點B(1,4), E(3,0)分別代入拋物線分別代入拋物線 y=ax2+bx得得, , 解得解得: , 拋物線的解析式為拋物線的解析式為 y=- -2x2+6x；4930abab 26ab (2)若點若點D在線段在線段OC上上, 且且BDDE, BD=DE.求求D點的坐標點的坐標;【思維教練】【思維教練】要求點要求點 D坐標坐標, 可將其轉(zhuǎn)化為求線段可將其轉(zhuǎn)化為求線段OD的長的長.根根據(jù)已知條件據(jù)已知條件BD=DE

7、、BDDE, 通過證明通過證明BCD DOE, 證得證得OD=BC, 從而求得點從而求得點 D坐標坐標;解解: :四邊形四邊形OABC是矩形是矩形, BCO90, CBD+BDC90,BDDE, BDC+ODE90, CBDODE, 又又BCDDOE90, BDDE, BCD DOE(AAS), ODBC1, 點點 D的坐標為的坐標為(0, 1)；(3)在條件在條件(2)下下, 在拋物線的對稱軸上找一點在拋物線的對稱軸上找一點 M, 使得使得BDM的周長為最小的周長為最小, 并求出并求出BDM周長的最小值及此周長的最小值及此時點時點 M的坐標的坐標;【思維教練】【思維教練】在在BDM中中, B

8、D為定值為定值, 要使要使BDM的周長最的周長最小小, 則求則求BM+DM最小最小.作作B關(guān)于對稱軸的對稱點關(guān)于對稱軸的對稱點B, 連接連接BD, 交對稱軸于點交對稱軸于點M, 此時此時BM+DM最小最小, 即可求得即可求得BDM周長周長的最小值及點的最小值及點 M的坐標的坐標;解解: :由拋物線由拋物線 y=- -2x2+6x可知其對稱軸為可知其對稱軸為 , 點點B(1, 4)關(guān)于關(guān)于 的對稱點的對稱點B的坐標為的坐標為(2, 4), 如解圖如解圖, 連接連接DB, 設直線設直線DB的解析式為的解析式為y=kx+m, 代入代入點點32x 32x D(0, 1), B(2, 4)得得 , 解得

9、解得: , 直線直線DB的解析式為的解析式為 , 當當 時時, , 點點M的坐標為的坐標為 , BDM周長的最小值為周長的最小值為BD+DB= ； 32x 241kmm 321km 312yx33131224y 3 13(,)2422213231013例例2題解圖題解圖(4)在條件在條件(2)下下, 從從B點到點到E點這段拋物線的圖象上點這段拋物線的圖象上, 是否存是否存在一個點在一個點 P, 使得使得PAD的面積最大？若存在的面積最大？若存在, 請求出請求出PAD面積的最大值及此時面積的最大值及此時P點的坐標點的坐標; 若不存在若不存在, 請說明請說明理由理由.【思維教練】【思維教練】設存在

10、一點設存在一點 P, 由由PAD三邊均不在坐標軸上三邊均不在坐標軸上, 可采用割補法將其轉(zhuǎn)化為易于求出面積的圖形可采用割補法將其轉(zhuǎn)化為易于求出面積的圖形.過過P作作PGx軸于點軸于點G, 則由則由SPAD=S四邊形四邊形DOGP- -SAOD- -SAPG得到得到SPAD的函數(shù)關(guān)系式的函數(shù)關(guān)系式, 求其最大值即可求其最大值即可.解解: :設點設點P的坐標為的坐標為(a, - -2a2+6a), 如解圖如解圖, 過點過點P作作PGx軸于點軸于點G, 則則OG=a, PG=- -2a2+6a, 則則SPAD=S四邊形四邊形DOGP- -SAOD- -SAPG 2222111()222111( 261)1 1(1)( 26 )2227122741(),416PGOD OGOD OAAG PGaaaaaaaaa 例例2題解圖題解圖點點P在拋物線上在拋物線上BE段段, 1a3, 當當a= 時時, SPAD最大值為最大值為 , 點點P的坐標為的坐標為 .7441167 35(,)48