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1、1.如圖，在ABC中，AB=6，AC=4，P是AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線交AB于點(diǎn)Q若以A，P，Q為頂點(diǎn)的三角形和以A，B，C為頂點(diǎn)的三角形相似，則（ ）A3 B3或 C3或 D4334432.（2013瀘州市）已知 O的直徑CD=10cm，AB是 O的弦，ABCD，垂足為M，且AB=8cm，則AC的長為（ ）A cm B cm C cm或 cm D2cm或 cm3.（2013欽州市）等腰三角形的一個角是80，則它頂角的度數(shù)是（）A80 B80 或 20C80 或 50 D202 52 54 54 34 5CB4（2013黃石市）若關(guān)于x的函數(shù)y=kx2+2x-1與x 軸僅有一個公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)
2、k的值為 5. （2013綏化市）直角三角形兩直角邊長是3cm和4cm，以該三角形的邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的幾何體的表面積是 cm2.（結(jié)果保留）8424365或或6（2013涼山彝族自治州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)A，C的坐標(biāo)分別為（10，0），（0，4），點(diǎn)D 是OA 的中點(diǎn)，點(diǎn)P在BC上運(yùn)動，當(dāng)ODP是腰長為 5 的等腰三角形時，點(diǎn)P的坐標(biāo)為 (2，4)或或(3，4)或或(8，4) 分類討論思想，就是把要研究的數(shù)學(xué)對象按照一定的標(biāo)準(zhǔn)劃分為若干不同的類別，然后逐類進(jìn)行研究、求解的一種數(shù)學(xué)解題思想分類思想的實(shí)質(zhì)是按照數(shù)學(xué)對象的共同性和差異性，將問題劃分為不同的種類，
3、其作用是克服思維的片面性，防止漏解 （1）概念本身是分類定義的（如絕對值）；（2）某些公式、定理、性質(zhì)、法則是有條 件和范圍限制的；（3）題目條件和結(jié)論的不唯一；（4）含有字母系數(shù)的問題，需對該字母的 不同取值范圍進(jìn)行討論；（5）圖形的位置和形狀不確定（1）確定分類對象；（2）進(jìn)行合理分類（選擇分類標(biāo)準(zhǔn)，理清 分類界限，不重復(fù)，不遺漏）；（3）逐類進(jìn)行討論；（4）歸納并作出結(jié)論.【例1】已知ABC是等腰三角形，BC邊上的高恰好等于BC邊長的一半，求BAC的度數(shù)分析：分析：題中并沒有告訴我們BC邊是底邊還是腰，又因?yàn)楫?dāng)BC為腰時垂足可以落在三角形內(nèi)部，也可以落在外部，所以分三種情況進(jìn)行討論，再根
4、據(jù)等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行解答解：(1)當(dāng)BC為底邊時，如圖.AD BC，AD= BC=BD=CD，BAD=B=C=CAD=45.BAC= 90.(2)當(dāng)BC為腰時，設(shè)B為頂角，分下面幾種情況討論：.頂角B為銳角時，如圖.AD= BC= AB，ADBC，B=30.BAC=C= (180-30)=75.12121212.當(dāng)頂角B為鈍角時，如圖.AD BC，AD= BC= AB，ABD=30.BAC=C= ABD=15.當(dāng)頂角B為直角時，高AD與腰AB重合時，則有AD=AB=BC，與已知矛盾，故B 90. BAC的度數(shù)為90或75或 15.121212【例2】已知方程 有實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍01)
5、12(22xmxm分析：分析：要分類討論：當(dāng)m2=0，即m=0，方程變?yōu)閤+1=0，有解；當(dāng)m20，即m0，原方程要有實(shí)數(shù)根，則0，最后綜合兩種情況得到m的取值范圍解：當(dāng)m2=0時，即m=0時，方程為一元一次方程x+1=0，有實(shí)數(shù)根x=1.當(dāng)m20時，方程為一元二次方程，根據(jù)有實(shí)數(shù)根的條件得=(2m+1)24m2=4m+10,即m ，且m20.綜合得m .1-41-4【例3】（2014湖州市）已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，以P（1，1）為圓心的 P與x軸，y軸分別相切于點(diǎn)M和點(diǎn)N，點(diǎn)F從點(diǎn)M出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個單位長度的速度運(yùn)動，連接PF，過點(diǎn)PEPF交y軸于點(diǎn)E，設(shè)點(diǎn)F
6、運(yùn)動的時間是t秒（t0）e（1）若點(diǎn)E在y軸的負(fù)半軸上（如圖），求證：PE=PF.分析：連接PM，PN，運(yùn)用PMF PNE證明.(1)證明：如圖1，連接PM，PN. P與x軸，y軸分別相切于點(diǎn)M和點(diǎn)N，PMMF，PNON，且PM=PN.PMF=PNE=90，且NPM=90.PEPF，NPE=90-MPE=MPF，在PMF和PNE中，NPE=MPF，PN=PM，PNE=PMF，PMF PNE(ASA).PE=PF.（2）在點(diǎn)F運(yùn)動過程中，設(shè)OE=a，OF=b，試用 含a的代數(shù)式表示b；分析：分析：分兩種情況，當(dāng)t1時，點(diǎn)E在y軸的負(fù)半軸上，當(dāng)0t1時，點(diǎn)E在y軸的正半軸或原點(diǎn)上，再根據(jù)（1）求解
7、(2)解：當(dāng)t1時，點(diǎn)E在y軸的負(fù)半軸上，如圖1.由(1)得PMF PNE，NE=MF=t.PM=PN=1.b=OF=OM+MF=1+t，a=NE-ON=t-1.b-a=1+t(t-1)=2. b=2+a.0t1時，如圖2，點(diǎn)E在y軸的正半軸或原點(diǎn)上.同理可證PMF PNE，b=OF=OM+MF=1+t，a=ON-NE=1-t.b+a=1+t+1-t=2. b=2-a.綜上所述，當(dāng)t1時，b=2+a；當(dāng)0t1時，b=2-a.（3）作點(diǎn)F關(guān)于點(diǎn)M的對稱點(diǎn)F，經(jīng)過M，E 和 F三點(diǎn)的拋物線的對稱軸交x軸于點(diǎn)Q，連接QE在F運(yùn)動過程中，是否存在某一時刻，使得以點(diǎn)Q，O，E為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)P，M，
8、F為頂點(diǎn)的三角形相似？若存在，請直接寫出t的值；若不存在，請說明理由分析：分析：分兩種情況：當(dāng)1t2時；當(dāng)t2時，三角形相似時還各有兩種情況，根據(jù)比例式求出時間t解：存在.如圖3，當(dāng)0t1時，F(xiàn)(1+t，0)，F(xiàn)和F關(guān)于點(diǎn)M對稱，M的坐標(biāo)為(1，0)，F(xiàn)(1-t，0).經(jīng)過M，E和F三點(diǎn)的拋物線的對稱軸交x軸于點(diǎn)Q，Q(1- t，0). OQ=1- t.由(1)得PMF PNE.NE=MF=t，OE=1-t.1212當(dāng)OEQMPF時， . ，無解.當(dāng)OEQMFP時， . ，解得t1=2- ，t2=2+ (舍去).OEOQMPMF11121tttOEOQMFMP11121ttt22如圖4，當(dāng)1t
9、2時，F(xiàn)(1+t，0)，F(xiàn)和F關(guān)于點(diǎn)M對稱，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,0)，F(xiàn)(1-t，0).經(jīng)過M，E和F三點(diǎn)的拋物線的對稱軸交x軸于點(diǎn)Q，Q(1- t，0). OQ=1- t.由(1)得PMF PNE ，NE=MF=t. OE=t-1.1212當(dāng)OEQMPF時， . ，解得t1= ，t2= (舍去).當(dāng)OEQMFP時， . ，解得t1= ，t2= (舍去).OEOQMPMF11121ttt11741174OEOQMFMP11121ttt22如圖5，當(dāng)t2時，點(diǎn)F坐標(biāo)為(1+t，0)，點(diǎn)F和F關(guān)于點(diǎn)M對稱，點(diǎn)F坐標(biāo)為(1-t，0).經(jīng)過M，E和F三點(diǎn)的拋物線的對稱軸交x軸于點(diǎn)Q，點(diǎn)Q坐標(biāo)為(1- t，0). OQ= t-1.由(1)得PMF PNE ，NE=MF=t.OE=t-1.1212當(dāng)OEQMPF， ，無解.當(dāng)OEQMFP時， ， ，解得t1=2+ ，t2=2- (舍去).所以當(dāng)t= ，t=2，t=2+ 或t=2- 時，以點(diǎn)Q，O，E為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)P，M，F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形相似OEOQMPMF111211tt111211ttOEOQMFMP22117422
數(shù)學(xué) 能力提升 三 分類討論
