高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí) 參數(shù)法 人教版

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1、高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí) 參數(shù)法 參數(shù)法是指在解題過程中，通過適當(dāng)引入一些與題目研究的數(shù)學(xué)對象發(fā)生聯(lián)系的新變量（參數(shù)），以此作為媒介，再進(jìn)行分析和綜合，從而解決問題。直線與二次曲線的參數(shù)方程都是用參數(shù)法解題的例證。換元法也是引入?yún)?shù)的典型例子。 辨證唯物論肯定了事物之間的聯(lián)系是無窮的，聯(lián)系的方式是豐富多采的，科學(xué)的任務(wù)就是要揭示事物之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而發(fā)現(xiàn)事物的變化規(guī)律。參數(shù)的作用就是刻畫事物的變化狀態(tài)，揭示變化因素之間的內(nèi)在聯(lián)系。參數(shù)體現(xiàn)了近代數(shù)學(xué)中運(yùn)動與變化的思想，其觀點(diǎn)已經(jīng)滲透到中學(xué)數(shù)學(xué)的各個分支。運(yùn)用參數(shù)法解題已經(jīng)比較普遍。 參數(shù)法解題的關(guān)鍵是恰到好處地引進(jìn)參數(shù)，溝通已知和未知之間的內(nèi)

2、在聯(lián)系，利用參數(shù)提供的信息，順利地解答問題。 一、方法簡解： 1. 設(shè)2＝3＝5>1，則2x、3y、5z從小到大排列是________________。 2. （理）直線上與點(diǎn)A(-2,3)的距離等于的點(diǎn)的坐標(biāo)是________。 （文）若k<－1，則圓錐曲線x－ky＝1的離心率是_________。 3. 點(diǎn)Z的虛軸上移動，則復(fù)數(shù)C＝z＋1＋2ｉ在復(fù)平面上對應(yīng)的軌跡圖像為____________________。 4. 三棱錐的三個側(cè)面互相垂直，它們的面積分別是6、4、3，則其體積為______。 5. 設(shè)函數(shù)f(x)對任意的x、y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y

3、)，且當(dāng)x>0時，f(x)<0，則f(x)的R上是______函數(shù)。(填“增”或“減”) 6. 橢圓＋＝1上的點(diǎn)到直線x＋2y－＝0的最大距離是_____。 A. 3 B. C. D. 2 【簡解】1小題：設(shè)2＝3＝5＝t，分別取2、3、5為底的對數(shù)，解出x、y、z，再用“比較法”比較2x、3y、5z，得出3y<2x<5z； 2小題：（理）A(-2,3)為t＝0時，所求點(diǎn)為t＝±時，即(-4,5)或(0,1)；（文）已知曲線為橢圓，a＝1，c＝，所以e＝－； 3小題：設(shè)z＝bｉ，則C＝1－b＋2ｉ，所以圖像為：從(1,2)出發(fā)平行于

4、x軸向右的射線； 4小題：設(shè)三條側(cè)棱x、y、z，則xy＝6、yz＝4、xz＝3,所以xyz＝24,體積為4。 5小題：f(0)＝0，f(0)＝f(x)＋f(-x)，所以f(x)是奇函數(shù)，答案：減； 6小題：設(shè)x＝4sinα、y＝2cosα，再求d＝的最大值，選C。 二、舉例分析： 例1. 實(shí)數(shù)a、b、c滿足a＋b＋c＝1，求a＋b＋c的最小值。 【分析】由a＋b＋c＝1 想到“均值換元法”，于是引入了新的參數(shù)，即設(shè)a＝＋t，b＝＋t，c＝＋t，代入a＋b＋c可求。 【解】由a＋b＋c＝1，設(shè)a＝＋t，b＝＋t，c＝＋t，其中t＋t＋t＝0， ∴ a＋b＋c＝（＋t）＋（＋

5、t）＋(＋t)＝＋(t＋t＋t)＋t＋t＋t＝＋t＋t＋t≥ 所以a＋b＋c的最小值是。 【注】由“均值換元法”引入了三個參數(shù)，卻將代數(shù)式的研究進(jìn)行了簡化，是本題此種解法的一個技巧。 本題另一種解題思路是利用均值不等式和“配方法”進(jìn)行求解，解法是：a＋b＋c＝(a＋b＋c)－2(ab＋bc＋ac)≥1－2(a＋b＋c)，即a＋b＋c≥。 兩種解法都要求代數(shù)變形的技巧性強(qiáng)，多次練習(xí)，可以提高我們的代數(shù)變形能力。 例2. 橢圓＋＝1上有兩點(diǎn)P、Q，O為原點(diǎn)。連OP、OQ，若k·k＝－ ， ①．求證：|OP|＋|OQ|等于定值； ②.求線段PQ中點(diǎn)M的軌跡方程。 【分析】 由

6、“換元法”引入新的參數(shù)，即設(shè)（橢圓參數(shù)方程），參數(shù)θ、θ為P、Q兩點(diǎn)，先計(jì)算k·k得出一個結(jié)論，再計(jì)算|OP|＋|OQ|，并運(yùn)用“參數(shù)法”求中點(diǎn)M的坐標(biāo)，消參而得。 【解】由＋＝1，設(shè)，P(4cosθ,2sinθ)，Q(4cosθ,2sinθ), 則k·k＝＝－，整理得到： cosθ cosθ＋sinθ sinθ＝0,即cos（θ－θ）＝0。 ∴ |OP|＋|OQ|＝16cosθ＋4sinθ＋16cosθ＋4sinθ＝8＋12(cosθ＋cosθ)＝20＋6（cos2θ＋cos2θ)＝20＋12cos（θ＋θ）cos（θ－θ）＝20， 即|OP|＋|OQ|等于定值20。 由中點(diǎn)坐

7、標(biāo)公式得到線段PQ的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為， 所以有()＋y＝2＋2(cosθ cosθ＋sinθ sinθ)＝2, 即所求線段PQ的中點(diǎn)M的軌跡方程為＋＝1。 【注】由橢圓方程，聯(lián)想到a＋b＝1,于是進(jìn)行“三角換元”，通過換元引入新的參數(shù)，轉(zhuǎn)化成為三角問題進(jìn)行研究。本題還要求能夠熟練使用三角公式和“平方法”，在由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出M點(diǎn)的坐標(biāo)后，將所得方程組稍作變形，再平方相加，即（cosθ＋ cosθ）＋（sinθ＋sinθ），這是求點(diǎn)M軌跡方程“消參法”的關(guān)鍵一步。一般地，求動點(diǎn)的軌跡方程運(yùn)用“參數(shù)法”時，我們可以將點(diǎn)的x、y坐標(biāo)分別表示成為一個或幾個參數(shù)的函數(shù)，再運(yùn)用“消去法”消去所含的參數(shù)

8、，即得到了所求的軌跡方程。 本題的第一問，另一種思路是設(shè)直線斜率k，解出P、Q兩點(diǎn)坐標(biāo)再求： 設(shè)直線OP的斜率k，則OQ的斜率為－，由橢圓與直線OP、OQ相交于PQ兩點(diǎn)有： ，消y得(1＋4k)x＝16,即|x|＝； ，消y得(1＋)x＝16，即|x|＝； 所以|OP|＋|OQ|＝()＋（） ＝＝20。即|OP|＋|OQ|等于定值20。 在此解法中，利用了直線上兩點(diǎn)之間的距離公式|AB|＝|x－x|求|OP|和|OQ|的長。 S E D C

9、 O F A B 例3.已知正四棱錐S—ABCD的側(cè)面與底面的夾角為β，相鄰兩側(cè)面的夾角為α,求證：cosα=-cosβ。 【分析】要證明cosα=-cosβ，考慮求出α、β的余弦，則在α和β所在的三角形中利用有關(guān)定理求解。 【解】連AC、BD交于O，連SO；取BC中點(diǎn)F，連SF、OF；作BE⊥SC于E，連DE。則∠SFO＝β，∠DEB＝α。 設(shè)BC＝a (為參數(shù))， 則SF＝＝, SC＝＝ ＝ 又 ∵BE＝＝＝ 在△DEB中，由余弦定理有：cosα＝＝＝－cosβ。 所以cosα＝－cosβ。 【注】 設(shè)參數(shù)a而不求參

10、數(shù)a，只是利用其作為中間變量輔助計(jì)算，這也是在參數(shù)法中參數(shù)可以起的一個作用，即設(shè)參數(shù)輔助解決有關(guān)問題。 三、鞏固訓(xùn)練： 1. 已知復(fù)數(shù)z滿足|z|≤1，則復(fù)數(shù)z＋2ｉ在復(fù)平面上表示的點(diǎn)的軌跡是________________。 2. 函數(shù)y＝x＋2＋的值域是________________。 3. 拋物線y＝x－10xcosθ＋25＋3sinθ－25sinθ與x軸兩個交點(diǎn)距離的最大值為_____ A. 5 B. 10 C. 2 D. 3 4. 過點(diǎn)M(0,1)作直線L，使它與兩已知直線L：x－3y＋10＝0及L：2x＋y－8＝0所截得的線段被點(diǎn)P平分，求直線L方程。 5. 求半徑為R的球的內(nèi)接圓錐的最大體積。 6. f(x)＝(1－cosx)sinx，x∈[0,2π)，求使f(x)≤1的實(shí)數(shù)a的取值范圍。 7. 若關(guān)于x的方程2x＋xlg＋lg()＋lg＝0有模為1的虛根，求實(shí)數(shù)a的值及方程的根。 8. 給定的拋物線y＝2px (p>0)，證明：在x軸的正向上一定存在一點(diǎn)M，使得對于拋物線的任意一條過點(diǎn)M的弦PQ，有＋為定值。