高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí) 多面體 人教版

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1、高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí) 多面體 定義1：與多面體各棱相切的球與各面與的截線在所在面的多邊形內(nèi)，那么該球稱為該多面體的內(nèi)棱切球，其球心稱為該多面體的內(nèi)棱心。 定理1：多面體的內(nèi)棱心在各面的射影是相應(yīng)面的內(nèi)心，內(nèi)棱切球與各面的截線是相應(yīng)面的內(nèi)切圓。 證明：因為球與平面的截線是圓，并且截線與截面的各邊只有一交點，也就是與截面各邊都相切。因為截線在截面所在的多邊形內(nèi)，所以截線是截面的內(nèi)切圓。 設(shè)點R是某多面體的內(nèi)棱心，平面A1A2…An是該多邊形的一個面，點R在平面A1A2…An的射影是I′，棱切球與棱A1A2、A2A3、…、AnA1的切點分別是B1、B2、…、Bn，因為 R A1 A2

2、I′ 圖1 B1 B2 RB1 = RB2 = … = RBn，∠RI′A1 = ∠RI′A2 = … = ∠RI′An = 90°， 所以 △RI′A1 ≌ △RI′A2 ≌ … ≌ △RI′An， 所以 I′A1 = I′A2 = … = I′An， 因此點I′ 是n邊形A1A2…An的外心。 定理2：如果多面體存在內(nèi)棱切球，則該內(nèi)棱切球是唯一的。 證明：如果多面體存在內(nèi)棱切球，根據(jù)定理1，過各面的內(nèi)心作所在面的垂線，那么垂線的交點就是多面體的內(nèi)棱心，所以該多面體的內(nèi)棱心是唯一確定的。另外，球的半徑是內(nèi)棱心與該多面體的某一棱的距離，所以球的半徑也是唯一確定的，因而內(nèi)棱

3、切球也唯一確定。 定理3：空間一點是四面體的內(nèi)棱心的充要條件是：該點與四面體各頂點的連線與過該頂點三棱的夾角相等并且都是銳角。 證明：（1）充分性 A B C D E F G 圖2 R H I J 設(shè)空間一點R與與四面體ABCD各頂點的連線與過該頂點三棱的夾角相等，連AR、BR、CR、DR，過點R作棱AB、AC、AD、BC、BD、CD的垂線，垂足分別是E、F、H、G、I、J，并且都在各棱內(nèi)，則 △AER ≌ △AFR ≌ △AGR， 所以 ER = FR = GR。 同理可得 ER = HR = IR，F(xiàn)R = HR = JR，GR = IR = JR，

4、 所以 ER = FR = GR = HR = IR = JR， 所以點R是四面體ABCD的內(nèi)棱心 （2）必要性 設(shè)點R是四面體ABCD的內(nèi)棱心，內(nèi)棱切球與棱AB、AC、AD、BC、BD、CD的切點分別是E、F、H、G、I、J，并且都在個棱內(nèi)，則 ER = FR = GR = HR = IR = JR， 所以 ∠EAR = ∠FAR = ∠GAR < 90°， 即AR與AB、AC、AD的夾角相等。同理可怔BR與AB、BD、BC的夾角相等，CR與AC、BC、CD的夾角相等，DR與AD、BD、CD的夾角相等。 定理4：四面體ABCD有內(nèi)棱切球相切的充要條件是：AB + CD =

5、 AC + BD = AD + BC。 證明：（1）充分性 設(shè)△ABC的內(nèi)切圓與AB、AC、BC分別相切于點E、F、G，△ABD的內(nèi)切圓與AB、AD、BD分別相切于點E′、H、I，△ACD的內(nèi)切圓與AC、AD、BD分別相切于點F′、H′、J，△BCD的內(nèi)切圓與BC、BD、CD分別相切于點G′、I′、J′。 因為AB + CD = AC + BD = AD + BC，所以 A B C D E F G H I J 圖3 AE′ + BE′ + CJ + DJ = AF′ + CF′ + BI + DI， 又因為BE′ = BI，CJ = CF′，所以 AE′ +

6、DJ = AF′ + DI， 由于AE′ = AH，DJ = DH′，AF′ = AH′，DI = DH，所以 AH + DH′ = AH′ + DH， 因為 AH′ + DH′ = AH + DH（= AD）， 以上兩式相減，得到 AH – AH′ = AH′ – AH， 亦即 AH = AH′， 因此點H與H′ 重合。 同理可證點E與E′ 重合，點F與F′ 重合，點G與G′ 重合，點I與I′ 重合，點J與J′ 重合。因此該四面體內(nèi)棱切球。 （2）必要性 設(shè)內(nèi)棱切球與AB、AC、BC、AD、BD、CD分別相切于點E、F、G、H、I、J。 因為 AE = AF =

7、AH，BE = BG = BI，CF = CG = CJ，DH = DI = DJ， 所以 AE + BE + CJ + DJ = AF + CF + BI + DI = AH + DH + BG + CG， 亦即 AB – CD = AC – BD = AD – BC。 定理5：四面體ABCD的內(nèi)棱切球半徑是r，四面體ABCD的體積為V，AB = a，AC = b，AD = c，CD = p，BD = q，BC = r，a + p = b + q = c + r = s，那么 。 證明：設(shè)△ABC內(nèi)切圓的半徑是r1，△ABD內(nèi)切圓的半徑是r2，二面角C-AB-D的平面角是q，∠

8、ABC = a，∠ABD = b，∠ACD = g，那么仿照《外接球》中外接球半徑計算定理中計算EO的方法，得到內(nèi)棱切球的半徑r 是 。 因為 ， 代入r，得到 。 現(xiàn)在來計算a2b2c2 sin2 a sin2 b (r12 + r22 – 2r1r2 cos q)。由于 ， ， ， 因此 又因為 ，，， ， 于是 （詳細(xì)計算過程省略）， 由于 ， ， 因此 所以得到 。 定理6：四面體ABCD的內(nèi)棱切球球心是R，四面體ABCD的體積為V，AB = a，AC = b，AD = c，CD = p，BD = q，BC = r，a + p = b

9、 + q = c + r = s，令 Z = (a + b)ab + (a + c)ac + (b + c)bc – a3 – b3 – c3 – 4(ab + ac + bc)s + 3(a + b + c)s2 – 2s3， 如果Z > 0，那么點R與點A在平面BCD的同側(cè)；如果Z < 0，那么點R與點A在平面BCD的異側(cè)；如果Z = 0，那么點R在平面BCD內(nèi)。 證明：作△BCD的內(nèi)心I1，作球R與AB、BC的切點E、F，連EF、ER、FI1、RI1，四面體ABCD內(nèi)棱切球的半徑是r，△BCD的內(nèi)切圓半徑是r1。當(dāng)點R在平面BCD內(nèi)時， RI1 = 0，EI1 = ER = r，

10、 所以 RI12 + EI12 –ER2 = 0； 當(dāng)點R與點A在平面BCD的同側(cè)時，∠EI1R是銳角，所以 RI12 + EI12 –ER2 > 0； 圖4 A B C D E F R I1 當(dāng)點R與點A在平面BCD的異側(cè)時，∠EI1R是鈍角，所以 RI12 + EI12 – ER2 < 0。 因為 RI12 = r2 – r12，EI12 = EF2 + r12 – 2 · r1 · EF · cos EFI1，ER = r， 所以 RI12 + EI12 – ER2 = EF2 – 2 · r1 · EF · cos EFI1。 設(shè)二面角A-BC-

11、D的平面角是a，則 （請參考《三面角》）， 所以 因為 ， 所以 ， ，， 所以 。 因為 ，，， 把p、q、r換成s – a、s – b、s – c，然后代入EF2 – 2 · r1 · EF · cos EFI1中，計算分子，得到分子是（計算過程省略） (s – c)Z， 如果Z > 0，那么點R與點A在平面BCD的同側(cè)；如果Z < 0，那么點R與點A在平面BCD的異側(cè)；如果Z = 0，那么點R在平面BCD內(nèi)。 定理7：如果四面體既存在垂心又存在內(nèi)棱切球，則該四面體是一正三棱錐。 證明：設(shè)在四面體ABCD中，AB = a，AC = b，AD = c，C

12、D = p，BD = q，BC = r，如果四面體既存在垂心又存在內(nèi)棱切球，那么必然 a + p = b + q = c + r，a2 + p2 = b2 + q2 = c2 + r2， 前一式平方減去后一式，得到 2ap = 2bq = 2cr， 再用a2 + p2 = b2 + q2 = c2 + r2減去上一式，得到 (a – p)2 = (b – q)2 = (c – r)2。 如果 a – p = b – q = c – r， 那么與a + p = b + q = c + r相加，便得到 a = b = c， 與a + p = b + q = c + r相減，便得

13、到 p = q = r， 所以四面體ABCD是正三棱錐。對于滿足(a – p)2 = (b – q)2 = (c – r)2的其它情況同樣可以證明四面體ABCD是正三棱錐，所以如果四面體既存在垂心又存在內(nèi)棱切球，則該四面體是一正三棱錐。 定義2：與四面體各棱或其所在直線相切，并且至少有一個四面體的面與球的截線不在該面所含的三角形內(nèi)，則稱該球為該四面體的外棱切球，其球心稱為該四面體的外棱心。如果外棱切球的各切點所都在臨面區(qū)邊界上，則稱棱切球在臨面區(qū)與四面體各棱相切；如果外棱切球有五個切點在臨棱區(qū)邊界上，則稱棱切球在臨棱區(qū)與四面體各棱相切；如果外棱切球有三個切點在臨頂區(qū)邊界上，則稱棱切球在臨

14、頂區(qū)與四面體各棱相切。 仿照定理1和定理2的證明，得到 定理8：如果四面體ABCD的臨面區(qū)BCD存在外棱切球與各棱相切，則球與平面BCD的截線是△BCD的內(nèi)切圓，與平面ACD、ABD、ABC的截線分別是△ACD、△ABD、△ABC的旁切圓；在平面BCD的射影是△BCD的內(nèi)心，在平面ACD的射影是△ACD的與點A分在CD兩側(cè)的旁心，在平面ABD的射影是△ABD的與點A分在BD兩側(cè)的旁心，在平面ABC的射影是△ABC的與點A分在BC兩側(cè)的旁心。 定理9：如果四面體ABCD的臨面區(qū)BCD存在外棱切球與各棱相切，則該棱切球是唯一確定的。 仿照定理3的證明，可得 定理10：空間一點P是四面體A

15、BCD的一臨面區(qū)的外棱心的充要條件是：AP與棱AB、AC、AD的夾角相等，BP與AB的延長線、棱BC、BD的夾角相等，CP與AC的延長線、棱BC、CD的夾角相等，DP與AD的延長線、棱BD、CD的夾角相等，并且這些夾角都是銳角。 定理11：球R是四面體ABCD的外棱切球，并且球R在平面BCD的臨面區(qū)與四面體ABCD各棱相切的充要條件是：AB – CD = AC – BD = AD – BC。 證明：（1）充分性 設(shè)△ABC與點A相對的旁切圓與AB、AC、BC分別相切于點E、F、G，△ABD與點A相對的旁切圓與AB、AD、BD分別相切于點E′、H、I，△ACD與點A相對的旁切圓與AC、AD

16、、BD分別相切于點F′、H′、J，△BCD的內(nèi)切圓與BC、BD、CD分別相切于點G′、I′、J′。因為AB – CD = AC – BD = AD – BC，所以 A B C D E F G H I J 圖5 AE′ – BE′ – CJ – DJ = AF′ – CF′ – BI – DI， 又因為BE′ = BI，CJ = CF′，所以 AE′ – DJ = AF′ – DI， 由于AE′ = AH，DJ = DH′，AF′ = AH′，DI = DH，所以 AH – DH′ = AH′ – DH， 因為 AH′ – DH′ = AH – DH（= AD

17、）， 以上兩式相減，得到 AH – AH′ = AH′ – AH， 亦即 AH = AH′， 因此點H與H′ 重合。同理可證點E與E′ 重合，點F與F′ 重合，點G與G′ 重合，點I與I′ 重合，點J與J′ 重合。因此該四面體有球心與點A分別在平面BCD的兩側(cè)的外棱切球。 （2）必要性 設(shè)球心與點A分別在平面BCD的兩側(cè)的外棱切球與AB、AC、BC、AD、BD、CD分別相切于點E、F、G、H、I、J。因為 AE = AF = AH，BE = BG = BI，CF = CG = CJ，DH = DI = DJ， 所以 AE – BE – CJ – DJ = AF – CF –

18、 BI – DI = AH – DH – BG – CG， 亦即 AB – CD = AC – BD = AD – BC。 定理12：四面體ABCD在平面BCD的臨面區(qū)的外棱切球半徑是rA，四面體ABCD的體積為V，AB = a，AC = b，AD = c，CD = p，BD = q，BC = r，a – p = b – q = c – r = s，則 。 證明：設(shè)△ABC與點A相對的旁切圓的半徑是r1，△ABD與點A相對的旁切圓的半徑是r2，∠ABC = a，∠ABD = b，∠ACD = g，二面角C-AB-D的平面角是q，那么仿照《外接球》中外接球半徑計算定理中計算EO的方法，

19、四面體ABCD在平面BCD的臨面區(qū)的外棱切球半徑是rA是 。 因為 ， 代入rA，得到 。 現(xiàn)在來計算a2b2c2 sin2 a sin2 b (r12 + r22 – 2r1r2 cos q)。由于 ， ， 因此 又因為 ，，， ， 于是 ， 由于 ， ， 因此 所以得到 。 仿照定理5的證明，可以得到 定理11：四面體ABCD在平面BCD的臨面區(qū)的外棱切球球心是RA，四面體ABCD的體積為V，AB = a，AC = b，AD = c，CD = p，BD = q，BC = r，a – p = b – q = c – r = s，令 Z

20、1 = (a + b)ab + (a + c)ac + (b + c)bc – a3 – b3 – c3 – 4(ab + ac + bc)s + 3(a + b + c)s2 – 2s3， Z2 = a3 + b3 – c3 – (a + b)ab + (a – c)ac + (b – c)bc + 2abc – 2(a2 + b2 – c2)s + (a + b – c)s2， （1）如果Z1 > 0，那么點RA與點A在平面BCD的異側(cè)；如果Z1 < 0，那么點RA與點A在平面BCD的同側(cè)；如果Z1 = 0，那么點RA在平面BCD內(nèi)。 （2）如果Z2 > 0，那么點RA與點D在平面A

21、BC的同側(cè)；如果Z2 < 0，那么點RA與點D在平面ABC的異側(cè)；如果Z2 = 0，那么點RA在平面BCD內(nèi)。 仿照定理6的證明，可以得到 定理13：四面體ABCD存在垂心，并且在平面BCD的臨面區(qū)存在外棱切與各棱相切，則四面體ABCD是△BCD為正三角形的正三棱錐A-BCD。 定理14：除了在臨面區(qū)有可能存在外棱切球外，在臨棱區(qū)以及臨頂區(qū)均不存在外棱切球。 證明：（1）在臨棱區(qū)的情況 不失一般情況，如圖6所示，假設(shè)在四面體ABCD棱CD的臨棱區(qū)有一球與該四面體的各棱均相切，設(shè)與AB，AC，AD，BC，BD，CD的切點分別為E，F(xiàn)，G，H，I，J。因為 BE = BH = BI，A

22、E = AF = AG，CF = CH = CJ，DG = DI = DJ， 所以 BE – AE = BH – AF = BI – AC， 亦即 AB = BC – AC = BD – AD， 在△ABC和△ABD中，這與 AB > BC – AC及AB > BD – AD 矛盾，因此在臨棱區(qū)不可能存在外棱切球。 （2）在臨頂區(qū)的情況 不失一般情況，如圖7所示，假設(shè)在四面體ABCD頂點A的臨頂區(qū)有一球與該四面體的各棱均相切，設(shè)與AB，AC，AD，BC的切點分別為E，F(xiàn)，G，H。因為 AE = AF = AG，BE = BH，CF = CH， 所以 BE – AE =

23、BH – AF， 亦即 AB = BC + CH – AF = BC + CF – AF = BC + AC， 在△ABC中，這與 AB < BC + AC 矛盾，因此在臨頂區(qū)不可能存在外棱切球。 A B C D E F G H I J 圖6 圖7 A B C D E F G H 定義3：對棱相等的四面體稱為等腰四面體，所有棱都相等的四面體稱為正四面體。 定理16：如果四面體存在外棱切球，則外棱切球或者只有唯一個，或者有四個；如果存在四個外棱切球，則該四面體是等腰四面體。 證明：假設(shè)四面體ABCD有兩個外棱切球，分別在平面BCD及平面

24、ACD的臨面區(qū)與四面體各棱相切，并令A(yù)B = a，AC = b，AD = c，CD = p，BD = q，BC = r，則由外棱切球存在的充要條件，分別得到 a – p = b – q = c – r，a – p = q – b = r – c， 因此得到 a = p，b = q，c = r， 滿足上面條件的四面體是等腰四面體。 根據(jù)等腰四面體的關(guān)系還可以得到 p – a = b – q = r – c，p – a = q – b = c – r， 也就是在平面ABD及平面ABC的臨面區(qū)分別有一球與四面體各棱相切，外棱切球有四個。 定理17：如果四面體既有內(nèi)棱切球又有外棱切球，則該四面體是一個外棱切球所在臨面區(qū)所在平面的三角形是正三角形的正三棱錐。 證明：假設(shè)四面體ABCD有一個內(nèi)棱切球和一個外棱切球，外棱切球平面BCD的臨面區(qū)與四面體各棱相切，并令A(yù)B = a，AC = b，AD = c，CD = p，BD = q，BC = r，則由內(nèi)棱切球和外棱切球存在的充要條件，分別得到 a + p = b + q = c + r，a – p = b – q = c – r， 兩式相加，并除以2，得到a = b = c；前式減后式，并除以2，得到p = q = r。因此四面體ABCD是△BCD為正三角形的正三棱錐A-BCD。