高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第3講 平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用

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1、第3講 平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用 隨堂演練鞏固 1.已知向量a、b滿足|a|=1,|b|=4,且ab=2,則a與b的夾角為( ) A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 cos. ∵],∴a與b的夾角為. 2.對(duì)于向量a、b、c和實(shí)數(shù)下列命題中真命題是 … ( ) A.若ab=0,則a=0或b=0 B.若a=0,則或a=0 C.若ab則a=b或a=-b D.若ab=ac,則b=c 【答案】 B 【解析】 排除法.A中ab=0,還

2、可能有ab; C中ababa+ba-b)=0,此時(shí)若a與b的模相等或a+b與a-b互相垂直即可; D中ab=acab-c)=0,a=0或b=c或ab-c). 3.已知向量a=(-2,2),b=(5,k),若|a+b|不超過(guò)5,則k的取值范圍是( ) A.[-4,6] B.[-6,4] C.[-6,2] D.[-2,6] 【答案】 C 【解析】 a=(-2,2),b=(5,k), 故a+b=(3,2+k).∵|a+b| ∴|a+b|a+b. ∴. 4.已知向量a=(cossinb則|2a-b|的最大值.最小值分別是( ) A.4,0 B

3、.16,0 C.2,0 D.16,4 【答案】 A 【解析】 ∵|2a-b|aab+b|a||b|coscos , 又∵], ∴cos ∴8-8cos 即|2a-b|∴|2a-b|. 5.若a與b-c都是非零向量,則“ab=ac”是“ab-c)”的( ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 【答案】 C 【解析】 由ab=ac得ab-c)=0,即|a||b-c|cos ∵a,b-c均為非零向量, ∴cos即a與(b-c)的夾角為90. ∴ab-c)

4、. 反之,若ab-c),則ab-c)=0, 即ab-ac=0,∴ab=ac. 故“ab=ac”是“ab-c)”的充要條件. 課后作業(yè)夯基 1.已知a=(1,0),b=(1,1),(abb,則等于 …( ) A.-2 B.2 C. D. 【答案】 D 【解析】 由(abb=0,得ab|b|得. ∴故選D. 2.(2020上海春招,15)若向量a=(2,0),b=(1,1),則下列結(jié)論正確的是( ) A.ab=1 B.|a|=|b| C.(a-bb D.

5、a∥b 【答案】 C 【解析】 ab=2,選項(xiàng)A錯(cuò)誤; |a|=2,|b|選項(xiàng)B錯(cuò)誤; (a-bb=選項(xiàng)C正確,故選C. 3.已知向量a,b的夾角為120°,|a|=1,|b|=5,則|3a-b|等于( ) A.7 B.6 C.5 D.4 【答案】 A 【解析】 |3a-b| .故選A. 4.已知△ABC中,AB=a, =b,ab|a|=3,|b|=5,則等于( ) A.30° B.-150° C.150° D.30°或150° 【答案】 C 【解析】 |a||b|sin∴sin. 又ab<0,∴為鈍角.∴°,選C.

6、 5.已知向量在x軸上存在一點(diǎn)P使有最小值,則P點(diǎn)的坐標(biāo)是( ) A.(-3,0) B.(2,0) C.(3,0) D.(4,0) 【答案】 C 【解析】 設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x,0),則 . 4). 當(dāng)x=3時(shí)有最小值1. ∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,0).故選C. 6.已知向量a=(2cossinb=(3cossin若a與b的夾角為60,則直線xcossin與圓(x-cos(y+sin的位置關(guān)系是( ) A.相交 B.相交且過(guò)圓心 C.相切 D.相離 【答案】 D 【解析】 ∵a=(2cossinb=(3cossin ∴|a|=2,|

7、b|=3. ∴ab=6coscossinsincos. 而ab=|a||b|cos60°=3, ∴6coscos. 則圓心(cossin到直線xcossin的距離 d=|coscossinsin|=|cos|=1> ∴直線與圓相離. 7.設(shè)向量a與b的夾角為定義a與b的”向量積”:ab是一個(gè)向量,它的模|ab|=|a||b|sin若ab則|ab|等于( ) A. B.2 C. D.4 【答案】 B 【解析】 ∵|a|=|b|=2,ab ∴cos. 又],∴sin. ∴|ab|.故選B. 8.已知向量a=(4,3),b=(sincos且ab

8、,那么tan等于 . 【答案】 【解析】 由ab得4sincos 所以tantan. 9.若平面上三點(diǎn)A、B、C滿足||=3,||=4,||=5,則的值等于 . 【答案】 -25 【解析】 由0可得 ∴9 . 10.關(guān)于平面向量a,b,c,有下列三個(gè)命題: ①若ab=ac,則b=c. ②若a=(1,k),b=(-2,6),a∥b,則k=-3. ③非零向量a和b滿足|a|=|b|=|a-b|,則a與a+b的夾角為60°. 其中真命題的序號(hào)為 (寫(xiě)出所有真命題的序號(hào)).

9、【答案】 ② 【解析】 命題①明顯錯(cuò)誤.由兩向量平行的充要條件得3,故命題②正確. 由|a|=|b|=|a-b|,再結(jié)合平行四邊形法則可得a與a+b的夾角為30°,命題③錯(cuò)誤. 11.已知=(2,5), =(3,1), =(6,3),在上是否存在點(diǎn)M,使⊥,若存在,求 出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由. 【解】設(shè)存在點(diǎn)M,且=λ=(6λ,3λ), ∴= －=(2－6λ,5－3λ), =－=(3－6λ,1－3λ), ∵⊥, ∴ 即解得或. ∴=(2,1)或. ∴存在M(2,1)或滿足題意. 12.已知a=(sinb=(1,cosc=(0. (1)若

10、(4a-c)∥b,求; (2)求|a+b|的取值范圍. 【解】 (1)4a-c=(4sin4sin ∵(4a-c)∥b,∴4sincos. ∴sin. ∵∴,). ∴或即或. (2)a+b=(sincos |a+b| ∵ ∴. ∴sin. ∴sin. ∴|a+b|. 13.(2020山東臨沂模擬)已知向量msinn=(coscos. (1)若mn=1,求cos的值; (2)記f(x)=mn,在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,且滿足(2a-c)cosB=bcosC,求函數(shù)f(A)的取值范圍. 【解】 (1)∵m

11、n=1,即sincoscos 即sincos ∴sin. ∴coscoscos =-[1-2sin . (2)∵(2a-c)cosB=bcosC, 由正弦定理得(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC. ∴2sinAcosB-cosBsinC=sinBcosC, ∴2sinAcosB=sin(B+C), ∵A+B+C=, ∴sin(B+C)=sinA,且sin. ∴cos. ∴. ∴sin. 又∵f(x)=mn=sin ∴f(A)=sin. 故函數(shù)f(A)的取值范圍是. 14.已知asinb=(cos其中又函數(shù)f(x)=ba-b)+k是以為最小正周期 的周期函數(shù),當(dāng)時(shí),函數(shù)f(x)的最小值為-2. (1)求f(x)的解析式; (2)寫(xiě)出函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間. 【解】 (1)a-bsincos sincos ∴f(x)=(cossincos =sin. ∴. ∵則. ∴f(x)的最小值為f =k-1=-2. ∴k=-1. ∴f(x)=sin. (2)當(dāng)Z), 即Z)時(shí),函數(shù)f(x)是增函數(shù). ∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為Z).