2022版高中數(shù)學(xué) 第二章 概率 課時(shí)訓(xùn)練14 離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 新人教B版選修2-3

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1、2022版高中數(shù)學(xué) 第二章 概率 課時(shí)訓(xùn)練14 離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 新人教B版選修2-3 (限時(shí)：10分鐘) 1．已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為 X 1 2 3 P 則X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝(　　) A.　　　B．2 C. D．3 答案：A 2．若隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B，則E(X)的值為(　　) A. B. C. D. 答案：A 3．已知η＝2ξ＋3，且E(ξ)＝，則E(η)＝(　　) A. B. C. D. 答案：C 4．將一顆骰子連擲100次，則點(diǎn)6出現(xiàn)次數(shù)X的均值E(X)＝__________. 答案：

2、 5．在一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)中，有甲、乙等6人獲得抽獎(jiǎng)的機(jī)會(huì)．抽獎(jiǎng)規(guī)則如下：主辦方先從6人中隨機(jī)抽取兩人均獲獎(jiǎng)1 000元，再?gòu)挠嘞碌?人中隨機(jī)抽取1人獲獎(jiǎng)600元，最后還從這4人中隨機(jī)抽取1人獲獎(jiǎng)400元． (1)求甲和乙都不獲獎(jiǎng)的概率． (2)設(shè)X是甲獲獎(jiǎng)的金額，求X的分布列和均值E(X)． 解析：(1)設(shè)“甲和乙都不獲獎(jiǎng)”為事件A， 則P(A)＝··＝， 所以，甲和乙都不獲獎(jiǎng)的概率為. (2)X的所有可能的取值為0,400,600,1 000， P(X＝0)＝··＝， P(X＝400)＝··＝， P(X＝600)＝··＝， P(X＝1 000)＝＋··＝， 所以X的分布列為

3、 X 0 400 600 1 000 P 所以E(X)＝0×＋400×＋600×＋1 000×＝500(元)． (限時(shí)：30分鐘) 一、選擇題 1．口袋中有編號(hào)分別為1、2、3的三個(gè)大小和形狀相同的小球，從中任取2個(gè)，則取出的球的最大編號(hào)X的均值為(　　) A. B. C．2 D. 解析：X＝2,3. P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝. 所以E(X)＝2×＋3×＝. 答案：D 2．隨機(jī)拋擲一枚骰子，則所得骰子點(diǎn)數(shù)ξ的均值是(　　) A．0.6 B．1 C．3.5 D．2 解析：拋擲骰子所得點(diǎn)數(shù)ξ的分布列為 ξ 1 2

4、 3 4 5 6 P 所以E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝3.5. 答案：C 3．已知隨機(jī)變量X的分布列是 X 4 a 9 10 P 0.3 0.1 b 0.2 ，E(X)＝7.5，則a等于(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 解析：∵E(X)＝4×0.3＋0.1×a＋9b＋2＝7.5， 0．3＋0.1＋b＋0.2＝1，∴a＝7，b＝0.4. 答案：C 4．某種種子每粒發(fā)芽的概率都為0.9，現(xiàn)播種了1 000粒，對(duì)于沒(méi)有發(fā)芽的種子，每粒需再補(bǔ)種2粒，補(bǔ)種的種子數(shù)記為X，則X的數(shù)學(xué)期望為(　　) A

5、．100 B．200 C．300 D．400 解析：由題意，設(shè)沒(méi)有發(fā)芽的種子數(shù)為隨機(jī)變量ξ，則ξ～B(1 000,0.1)，E(ξ)＝1 000×0.1＝100，補(bǔ)種的種子數(shù)X＝2ξ，故E(X)＝E(2ξ)＝2E(ξ)＝200. 答案：B 5．從抽簽盒中編號(hào)為1,2,3,4,5,6的6支簽中，任意抽取3支，設(shè)X為這3支簽中號(hào)碼最大的一個(gè)，則X的均值是(　　) A．5 B．5.25 C．5.8 D．4.6 解析：由題意可知，X可以取值3,4,5,6， 且P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝， P(X＝5)＝＝，P(X＝6)＝＝， 所以E(X)＝3×＋4×＋5×＋6×

6、＝＝5.25. 答案：B 二、填空題 6．已知隨機(jī)變量ξ的分布列為 ξ －1 0 1 P m 若η＝aξ＋3，E(η)＝，則a＝__________. 解析：由分布列的性質(zhì)，得＋＋m＝1，即m＝，所以E(ξ)＝(－1)×＋0×＋1×＝－. 則E(η)＝E(aξ＋3)＝aE(ξ)＋3＝， 即－a＋3＝，得a＝2. 答案：2 7．若隨機(jī)變量X～B，E(X)＝2，則P(X＝1)等于__________． 解析：∵X～B，∴E(X)＝n×＝2，∴n＝4. ∴P(X＝1)＝C·1·3＝. 答案： 8．今有兩臺(tái)獨(dú)立工作的雷達(dá)，每臺(tái)雷達(dá)發(fā)現(xiàn)飛行目標(biāo)的概率分別為0

7、.9和0.85，設(shè)發(fā)現(xiàn)目標(biāo)的雷達(dá)的臺(tái)數(shù)為X，則E(X)＝__________. 解析：X可能的取值為0,1,2，P(X＝0)＝(1－0.9)×(1－0.85)＝0.015，P(X＝1)＝0.9×(1－0.85)＋0.85×(1－0.9)＝0.22，P(X＝2)＝0.9×0.85＝0.765，所以E(X)＝1×0.22＋2×0.765＝1.75. 答案：1.75 三、解答題：每小題15分，共45分． 9．某種有獎(jiǎng)銷售的飲料，瓶蓋內(nèi)印有“獎(jiǎng)勵(lì)一瓶”或“謝謝購(gòu)買(mǎi)”字樣，購(gòu)買(mǎi)一瓶若其瓶蓋內(nèi)印有“獎(jiǎng)勵(lì)一瓶”字樣即為中獎(jiǎng)，中獎(jiǎng)概率為.甲、乙、丙三位同學(xué)每人購(gòu)買(mǎi)了一瓶該飲料． (1)求甲中獎(jiǎng)且乙、

8、丙都沒(méi)有中獎(jiǎng)的概率； (2)求中獎(jiǎng)人數(shù)ξ的分布列及均值E(ξ)． 解析：(1)設(shè)甲、乙、丙中獎(jiǎng)的事件分別為A、B、C，那么P(A)＝P(B)＝P(C)＝. P(A··)＝P(A)P()P()＝×2＝. 答：甲中獎(jiǎng)且乙、丙都沒(méi)有中獎(jiǎng)的概率是. (2)ξ的可能取值為0,1,2,3. P(ξ＝k)＝Ck3－k，k＝0,1,2,3. 所以中獎(jiǎng)人數(shù)ξ的分布列為 ξ 0 1 2 3 P E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 10．已知隨機(jī)變量X的分布列如下： X －2 －1 0 1 2 P m (1)求m的值； (2)求E(

9、X)； (3)若Y＝2X－3，求E(Y)． 解析：(1)由隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)，得 ＋＋＋m＋＝1，解得m＝. (2)E(X)＝(－2)×＋(－1)×＋0×＋1×＋2×＝－. (3)方法一：由公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b， 得E(Y)＝E(2X－3)＝2E(X)－3 ＝2×－3＝－. 方法二：由于Y＝2X－3， 所以Y的分布列如下： Y －7 －5 －3 －1 1 P 所以E(Y)＝(－7)×＋(－5)×＋(－3)×＋(－1)×＋1×＝－. 11．某商場(chǎng)經(jīng)銷某商品，根據(jù)以往資料統(tǒng)計(jì)，顧客采用的付款期數(shù)ξ的分布列為 ξ 1 2

10、 3 4 5 P 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1 商場(chǎng)經(jīng)銷一件該商品，采用1期付款，其利潤(rùn)為200元；分2期或3期付款，其利潤(rùn)為250元；分4期或5期付款，其利潤(rùn)為300元．η表示經(jīng)銷一件該商品的利潤(rùn)． (1)求事件A“購(gòu)買(mǎi)該商品的3位顧客中，至少有1位采用1期付款”的概率P(A)； (2)求η的分布列及均值E(η)． 解析：(1)由A表示事件“購(gòu)買(mǎi)該商品的3位顧客中至少有1位采用1期付款”知，表示事件“購(gòu)買(mǎi)該商品的3位顧客中無(wú)人采用1期付款”． P()＝(1－0.4)3＝0.216， P(A)＝1－P()＝1－0.216＝0.784. (2)η的可能取值為200元，250元，300元． P(η＝200)＝P(ξ＝1)＝0.4， P(η＝250)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝0.2＋0.2＝0.4， P(η＝300)＝P(ξ＝4)＋P(ξ＝5)＝0.1＋0.1＝0.2， 因此η的分布列為 η 200 250 300 P 0.4 0.4 0.2 E(η)＝200×0.4＋250×0.4＋300×0.2＝240(元)．