【高考前三個月復習數(shù)學理科 數(shù)學思想方法】專題10 第45練

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第45練　數(shù)形結合思想 [思想方法解讀]　數(shù)形結合是一個數(shù)學思想方法，包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個方面，其應用大致可以分為兩種情形：①借助形的生動和直觀性來闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)作為目的，比如應用函數(shù)的圖象來直觀地說明函數(shù)的性質(zhì)；②借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴密性來闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的，如應用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質(zhì). 數(shù)形結合就是根據(jù)數(shù)學問題的條件和結論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其代數(shù)意義，又揭示其幾何直觀，使數(shù)量關系的精確刻畫與空間形式的直觀形象巧妙、和諧地結合在一起，充分利用這種結合，尋找解題思路，使問題化難為易、化繁為簡，從而得到解決.數(shù)形結合的思想，其實質(zhì)是將抽象的數(shù)學語言與直觀的圖象結合起來，關鍵是代數(shù)問題與圖形之間的相互轉化，它可以使代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化.在運用數(shù)形結合思想分析和解決問題時，要注意三點：第一要徹底明白一些概念和運算的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征，對數(shù)學題目中的條件和結論既分析其幾何意義又分析其代數(shù)意義；第二是恰當設參、合理用參，建立關系，由數(shù)思形，以形想數(shù)，做好數(shù)形轉化；第三是正確確定參數(shù)的取值范圍. 數(shù)學中的知識，有的本身就可以看作是數(shù)形的結合.如：銳角三角函數(shù)的定義是借助于直角三角形來定義的；任意角的三角函數(shù)是借助于直角坐標系或單位圓來定義的. ?？碱}型精析 題型一　數(shù)形結合在方程根的個數(shù)中的應用 例1　方程sin πx＝的解的個數(shù)是(　　) A.5 B.6 C.7 D.8 點評　利用數(shù)形結合求方程解應注意兩點 (1)討論方程的解(或函數(shù)的零點)可構造兩個函數(shù)，使問題轉化為討論兩曲線的交點問題，但用此法討論方程的解一定要注意圖象的準確性、全面性，否則會得到錯解. (2)正確作出兩個函數(shù)的圖象是解決此類問題的關鍵，數(shù)形結合應以快和準為原則而采用，不要刻意去數(shù)形結合. 變式訓練1　若函數(shù)f(x)＝有且只有兩個不同的零點，則實數(shù)k的取值范圍是(　　) A.(－4,0) B.(－∞，0] C.(－4,0] D.(－∞，0) 題型二　利用數(shù)形結合解決不等式參數(shù)問題 例2　設函數(shù)f(x)＝a＋和g(x)＝x＋1，已知x∈[－4,0]時，恒有f(x)≤g(x)，求實數(shù)a的取值范圍. 　 　 　 　 　 　 　 　 點評　利用數(shù)形結合解不等式或求參數(shù)的方法 求參數(shù)范圍或解不等式問題經(jīng)常聯(lián)系函數(shù)的圖象，根據(jù)不等式中量的特點，選擇適當?shù)膬蓚€(或多個)函數(shù)，利用兩個函數(shù)圖象的上、下位置關系轉化數(shù)量關系來解決問題，往往可以避免煩瑣的運算，獲得簡捷的解答. 變式訓練2　若存在正數(shù)x使2x(x－a)<1成立，則a的取值范圍是(　　) A.(－∞，＋∞) B.(－2，＋∞) C.(0，＋∞) D.(－1，＋∞) 題型三　利用數(shù)形結合求最值 例3　(2014北京)已知圓C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和兩點A(－m,0)，B(m，0)(m>0)，若圓C上存在點P，使得∠APB＝90，則m的最大值為(　　) A.7 B.6 C.5 D.4 點評　利用數(shù)形結合求最值的方法步驟 第一步：分析數(shù)理特征，確定目標問題的幾何意義.一般從圖形結構、圖形的幾何意義分析代數(shù)式是否具有幾何意義. 第二步：轉化為幾何問題. 第三步：解決幾何問題. 第四步：回歸代數(shù)問題. 第五步：回顧反思.應用幾何意義數(shù)形結合法解決問題需要熟悉常見的幾何結構的代數(shù)形式，主要有：(1)比值——可考慮直線的斜率；(2)二元一次式——可考慮直線的截距；(3)根式分式——可考慮點到直線的距離；(4)根式——可考慮兩點間的距離. 變式訓練3　已知P是直線l：3x＋4y＋8＝0上的動點，PA、PB是圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0的兩條切線，A、B是切點，C是圓心，求四邊形PACB面積的最小值. 　 　 　 　 高考題型精練 1.(2014福建)已知函數(shù)f(x)＝則下列結論正確的是(　　) A.f(x)是偶函數(shù) B.f(x)是增函數(shù) C.f(x)是周期函數(shù) D.f(x)的值域為[－1，＋∞) 2.若方程x＋k＝有且只有一個解，則k的取值范圍是(　　) A.[－1,1) B.k＝ C.[－1,1] D.k＝或k∈[－1,1) 3.已知點P(x，y)的坐標x，y滿足則x2＋y2－6x＋9的取值范圍是(　　) A.[2,4] B.[2,16] C.[4,10] D.[4,16] 4.已知a、b是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量，若向量c滿足(a－c)(b－c)＝0，則|c|的最大值是(　　) A.1 B.2 C. D. 5.已知函數(shù)f(x)滿足下面關系：①f(x＋1)＝f(x－1)；②當x∈[－1,1]時，f(x)＝x2，則方程f(x)＝lg x解的個數(shù)是(　　) A.5 B.7 C.9 D.10 6.若過點A(4,0)的直線l與曲線(x－2)2＋y2＝1有公共點，則直線l的斜率的取值范圍是(　　) A.[－，] B.(－，) C.[－，] D.(－，) 7.(2015北京西城區(qū)模擬)設平面點集A＝{(x，y)|(y－x)(y－)≥0}，B＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－1)2≤1}，則A∩B所表示的平面圖形的面積為(　　) A.π B.π C.π D. 8.(2014山東)已知函數(shù)y＝f(x)(x∈R)，對函數(shù)y＝g(x)(x∈I)，定義g(x)關于f(x)的“對稱函數(shù)”為函數(shù)y＝h(x)(x∈I)，y＝h(x)滿足：對任意x∈I，兩個點(x，h(x))，(x，g(x))關于點(x，f(x))對稱.若h(x)是g(x)＝關于f(x)＝3x＋b的“對稱函數(shù)”，且h(x)>g(x)恒成立，則實數(shù)b的取值范圍是________. 9.設關于θ的方程cos θ＋sin θ＋a＝0在區(qū)間(0,2π)內(nèi)有相異的兩個實根α、β. (1)求實數(shù)a的取值范圍； (2)求α＋β的值. 　 　 　 　 　 　 　 10.已知函數(shù)f(x)＝logax＋x－b(a>0，且a≠1)，當20時，f(x)＝ln x與x軸有一個交點， 即f(x)有一個零點. 依題意，顯然當x≤0時，f(x)＝－kx2也有一個零點，即方程－kx2＝0只能有一個解. 令h(x)＝，g(x)＝kx2，則兩函數(shù)圖象在x≤0時只能有一個交點. 若k>0，顯然函數(shù)h(x)＝與g(x)＝kx2在x≤0時有兩個交點，即點A與原點O(如圖所示). 顯然k>0不符合題意. 若k<0，顯然函數(shù)h(x)＝與g(x)＝kx2在x≤0時只有一個交點，即原點O(如圖所示). 若k＝0，顯然函數(shù)h(x)＝與g(x)＝kx2在x≤0時只有一個交點，即原點O. 綜上，所求實數(shù)k的取值范圍是(－∞，0].故選B.] 例2　解　∵f(x)≤g(x)，即a＋≤x＋1， 變形得≤x＋1－a， 令y1＝，① y2＝x＋1－a.② ①變形得(x＋2)2＋y2＝4(y≥0)， 即表示以(－2,0)為圓心，2為半徑的圓的上半圓； ②表示斜率為，縱截距為1－a的平行直線系. 設與圓相切的直線為AT，其方程為y＝x＋b (b>0)， 則圓心(－2,0)到AT的距離為d＝， 由＝2，得b＝6或－(舍去). ∴當1－a≥6，即a≤－5時，f(x)≤g(x). 變式訓練2　D 解析　因為2x>0，所以由2x(x－a)<1得x－a<＝2－x，在直角坐標系中，作出函數(shù)f(x)＝ x－a，g(x)＝2－x的圖象，如圖. 當x>0時，g(x)＝2－x<1，所以如果存在x>0，使2x(x－a)<1，則有f(0)<1，即－a<1，即a>－1，所以選D. 例3　B 解析　根據(jù)題意，畫出示意圖，如圖所示， 則圓心C的坐標為(3,4)，半徑r＝1，且|AB|＝2m. 因為∠APB＝90，連接OP，易知|OP|＝|AB|＝m. 要求m的最大值， 即求圓C上的點P到原點O的最大距離. 因為|OC|＝＝5，所以|OP|max＝|OC|＋r＝6， 即m的最大值為6. 變式訓練3　解　從運動的觀點看問題，當動點P沿直線3x＋4y＋8＝0向左上方或右下方無窮遠處運動時，直角三角形PAC的面積SRt△PAC＝|PA||AC|＝|PA|越來越大，從而S四邊形PACB也越來越大；當點P從左上、右下兩個方向向中間運動時，S四邊形PACB變小，顯然，當點P到達一個最特殊的位置，即CP垂直直線l時，S四邊形PACB應有唯一的最小值，此時|PC|＝＝3， 從而|PA|＝＝2. 所以(S四邊形PACB)min ＝2|PA||AC|＝2. 高考題型精練 1.D [函數(shù)f(x)＝的圖象如圖所示，由圖象知只有D正確.] 2.D [令y1＝x＋k，y2＝， 則x2＋y2＝1(y≥0). 作出圖象如圖： 而y1＝x＋k中，k是直線的縱截距，由圖知：方程有一個解?直線與上述半圓只有一個公共點?k＝或－1≤k<1.] 3.B [畫出可行域如圖，所求的x2＋y2－6x＋9＝(x－3)2＋y2是點Q(3,0)到可行域上的點的距離的平方，由圖形知最小值為Q到射線x－y－1＝0(x≥0)的距離d的平方，最大值為|QA|2＝16. ∵d2＝2＝2. ∴取值范圍是[2,16].] 4.C [如圖，設O＝a，O＝b，O＝c，則C＝a－c，C＝b－c.由題意知C⊥C，∴O、A、C、B四點共圓.∴當OC為圓的直徑時，|c|最大，此時，|O|＝.] 5.C [由題意可知，f(x)是以2為周期，值域為[0,1]的函數(shù). 又f(x)＝lg x，則x∈(0,10]，畫出兩函數(shù)圖象， 則交點個數(shù)即為解的個數(shù). 由圖象可知共9個交點.] 6.C [設直線方程為y＝k(x－4)， 即kx－y－4k＝0， 直線l與曲線(x－2)2＋y2＝1有公共點， 圓心到直線的距離小于等于半徑即d＝||≤1， 得4k2≤k2＋1，k2≤.所以－≤k≤.] 7.D [因為對于集合A，(y－x)≥0， 所以或其表示的平面區(qū)域如圖. 對于集合B，(x－1)2＋(y－1)2≤1表示以(1,1)為圓心，1為半徑的圓及其內(nèi)部區(qū)域，其面積為π. 由題意意知A∩B所表示的平面圖形為圖中陰影部分，曲線y＝與直線y＝x將圓(x－1)2＋(y－1)2＝1分成S1，S2，S3，S4四部分.因為圓(x－1)2＋(y－1)2＝1與y＝的圖象都關于直線y＝x對稱，從而S1＝S2，S3＝S4，而S1＋S2＋S3＋S4＝π，所以S陰影＝S2＋S4＝.] 8.(2，＋∞) 解析　由已知得 ＝3x＋b，所以h(x)＝6x＋2b－.h(x)>g(x)恒成立，即6x＋2b－>，3x＋b>恒成立. 在同一坐標系內(nèi)，畫出直線y＝3x＋b及半圓y＝(如圖所示)，可得>2，即b>2，故答案為(2，＋∞). 9.解　(1)原方程可化為sin(θ＋)＝－，作出函數(shù)y＝sin(x＋)(x∈(0,2π))的圖象. 由圖知，方程在(0,2π)內(nèi)有相異實根α，β的充要條件 是 即－2＜a＜－或－＜a＜2. (2)由圖知：當－＜a＜2，即－∈時，直線y＝－與三角函數(shù)y＝sin(x＋)的圖象交于C、D兩點，它們中點的橫坐標為，所以＝， 所以α＋β＝. 當－2＜a＜－，即－∈時，直線y＝－與三角函數(shù)y＝sin(x＋)的圖象有兩交點A、B， 由對稱性知，＝，所以α＋β＝， 綜上所述，α＋β＝或. 10.解　由于20， 因此函數(shù)必在區(qū)間(2,3)內(nèi)存在零點，故n＝2.