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第6講 函數(shù)與導數(shù)
題型一 利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性與極值、最值問題
例1 (13分)(2014安徽)設函數(shù)f(x)＝1＋(1＋a)x－x2－x3，其中a>0.
(1)討論f(x)在其定義域上的單調性；
(2)當x∈[0,1]時，求f(x)取得最大值和最小值時的x的值.
規(guī)范解答
解 (1)f(x)的定義域為(－∞，＋∞)，
f′(x)＝1＋a－2x－3x2.[1分]
令f′(x)＝0，
得x1＝，x2＝，x1
x2時，f′(x)<0；
當x10.[4分]
故f(x)在(－∞，x1)和(x2，＋∞)內單調遞減，在(x1，x2)內單調遞增.[5分]
(2)因為a>0，所以x1<0，x2>0.[6分]
①當a≥4時，x2≥1，由(1)知，f(x)在[0,1]上單調遞增，
所以f(x)在x＝0和x＝1處分別取得最小值和最大值；[8分]
②當00解集出錯，只得2分.
3.若(－∞，x1)和(x2，＋∞)中間用∪連接，扣1分.
第(2)問得分點
1.沒根據a≥4與04與00，f(x)在(1，＋∞)單調遞增.
所以，存在x0≥1，使得f(x0)<的充要條件為
f(1)<，
即－1<，
解得－－11，
故當x∈(1，)時，f′(x)<0，
當x∈(，＋∞)時，f′(x)>0，f(x)在(1，)單調遞減，在(，＋∞)單調遞增.
所以，存在x0≥1，使得f(x0)<的充要條件為f()<.
而f()＝aln ＋＋>，
所以不合題意.[9分]
③若a>1，則f(1)＝－1＝<.[11分]
綜上，a的取值范圍是(－－1，－1)∪(1，＋∞).[12分]
評分細則
第(1)問得分點
1.若導函數(shù)求錯，不得分.
2.若f′(1)＝0解錯，只得2分.
第(2)問得分點
1.若沒求定義域，其他正確，不扣分.
2.沒進行分類討論的，不得分.漏一類扣2分.
3.沒有結論的扣1分.
4.利用其他方法求解的，同樣得分.
第一步：整理函數(shù)式，對其求導數(shù)；
第二步：研究函數(shù)單調性，含參數(shù)的，要依題意對參數(shù)進行討論；
第三步：應用函數(shù)單調性，解決題目涉及的問題，如存在性問題，恒成立問題，探索性問題等，主要依據是函數(shù)最值、單調性；
第四步：得出綜合結論；
第五步：回顧反思，查易錯點，驗規(guī)范性.
跟蹤訓練2 已知函數(shù)f(x)＝2ln x－x2＋ax(a∈R).
(1)當a＝2時，求f(x)的圖象在x＝1處的切線方程；
(2)若函數(shù)g(x)＝f(x)－ax＋m在[，e]上有兩個零點，求實數(shù)m的取值范圍.
答案精析
第6講 函數(shù)與導數(shù)
跟蹤訓練1 解 (1)當a＝1時，f(x)＝，f(2)＝，
又f′(x)＝＝，
f′(2)＝－.
所以，曲線y＝f(x)在點(2，f(2))處的切線方程為
y－＝－(x－2)，即6x＋25y－32＝0.
(2)f′(x)＝
＝.
由于a≠0，以下分兩種情況討論．
①當a＞0時，令f′(x)＝0，得到x1＝－，x2＝a.
當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：
x
(－∞，－)
－
(－，a)
a
(a，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
↘
極小值
↗
極大值
↘
所以f(x)在區(qū)間，(a，＋∞)內為減函數(shù)，
在區(qū)間內為增函數(shù)．
函數(shù)f(x)在x1＝－處取得極小值f，
且f＝－a2.
函數(shù)f(x)在x2＝a處取得極大值f(a)，且f(a)＝1.
②當a＜0時，令f′(x)＝0，得到x1＝a，x2＝－，
當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：
x
(－∞，a)
a
(a，－)
－
(－，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
極大值
↘
極小值
↗
所以f(x)在區(qū)間(－∞，a)，內為增函數(shù)，在區(qū)間內為減函數(shù)．
函數(shù)f(x)在x1＝a處取得極大值f(a)，且f(a)＝1.
函數(shù)f(x)在x2＝－處取得極小值f(－)，
且f＝－a2.
綜上，當a>0時，函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間為(－，a)，單調遞減區(qū)間為(－∞，－)，(a，
＋∞)，
極大值為1，極小值為－a2.
當a<0時，函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間為(－∞，a)，(－，＋∞)，單調遞減區(qū)間為(a，－)，極大值為1，極小值為－a2.
跟蹤訓練2 解 (1)當a＝2時，f(x)＝2ln x－x2＋2x，f′(x)＝－2x＋2，切點坐標為(1,1)，切線的斜率k＝f′(1)＝2，則切線方程為y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.
(2)g(x)＝2ln x－x2＋m，
則g′(x)＝－2x＝.
∵x∈[，e]，
∴當g′(x)＝0時，x＝1.
當0；
當1
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第6講
考前
三個月
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