高三數(shù)學一輪復習 第十二章 統(tǒng)計 第75課 變量的相關性與統(tǒng)計案例學案 文

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1、第75課 變量的相關性與統(tǒng)計案例 1. 兩個變量的線性相關 (1)正相關:在散點圖中,點散布在從左下角到右上角的區(qū)域,對于兩個變量的這種相關關系,我們將它稱為正相關. (2)負相關:在散點圖中,點散布在從左上角到右下角的區(qū)域, 對于兩個變量的這種相關關系,我們將它稱為負相關． (3)相關系數(shù)r＝，當r＞0時，兩變量正相關，當r＜0時，兩變量負相關，當|r|≤1且|r|越接近于1，相關程度越高，當|r|≤1且|r|越接近于0，相關程度越低． (4)線性相關關系、回歸直線 如果散點圖中點的分布從整體上看大致在一條直線附近,就稱這兩個變量之間具有線性相關關系，這條直線叫做回

2、歸直線． 2.回歸方程 (1)最小二乘法:求回歸直線，使得樣本數(shù)據(jù)的點到它的距離的平方和最小的方法叫做最小二乘法． (2)回歸方程:方程是兩個具有線性相關關系的變的一組數(shù)據(jù) , , … , )的回歸方程,其中是待定參數(shù)． , 3．兩個分類變量的獨立性檢驗的一般步驟： （1）列出兩個分類變量的列聯(lián)表： （2）假設兩個分類變量無關系； （3）計算(其中為樣本容量)； （4）把的值與臨界值比較，確定有關的程度或無關系． 【例1】對變量有觀測數(shù)據(jù)，得散點圖⑴；對變量有觀測數(shù)據(jù)，得散點圖⑵． 由這兩個散點圖可以判斷（　?。? A．變量與正相

3、關，與正相關 B．變量與正相關，與負相關 C．變量與負相關，與正相關 D．變量與負相關，與負相關 【變式】為了解某商品銷售量（件）與銷售價格（元/件）的關系，統(tǒng)計了的10組值，并畫成散點圖如圖，則其回歸方程可能是（ ） A． B． C． D． 【例2】(2020新課標II卷)某地區(qū)2020年至2020年農(nóng)村居民家庭人均純收入（單位：千元）的數(shù)據(jù)如下表： 年份 2020 2020 2020 2020 2020 2020 2020 年份代號t 1 2 3 4 5 6 7 人均純收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.

4、8 5.2 5.9 （Ⅰ）求關于的線性回歸方程； （Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回歸方程，分析2020年至2020年 該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入的變化情況， 并預測該地區(qū)2020年農(nóng)村居民家庭人均純收入. 附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為： 【解析】(Ⅰ)由所給數(shù)據(jù)計算得：， ， ， ＝＝， ，， 所求回歸方程為. （Ⅱ）由(Ⅰ)由知，，故年至年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入逐 年增加，平均每年增加千元. 將年的年份代號代入(Ⅰ)中的回歸方程，得， 故預測該地區(qū)年農(nóng)村居民家庭人均純收入為千元. 【變式】 (2020江門一模）某產(chǎn)品的廣

5、告費用與銷售額的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表： 根據(jù)上表數(shù)據(jù)用最小二乘法求得關于的線性回歸方程中，，則據(jù)此模型預測，廣告費用為萬元時，銷售額約為 ． 【答案】萬元 【解析】∵，， ∴， ∴廣告費用為萬元時，銷售額約為（萬元）． 【例3】今年春節(jié)黃金周，記者通過隨機詢問某景區(qū)110名游客對景區(qū)的服務是否滿意，得到如下的列聯(lián)表： 性別與對景區(qū)的服務是否滿意（單位：名）． （1）從這50名女游客中按對景區(qū)的服務是否滿意采取分層抽樣，抽取一個容量為5的樣本，問樣本中滿意與不滿意的女游客各有多少名？ （2）從（1）中的5名女游客樣本中隨機選取兩名作深度訪談，求選到滿意與不滿意的女

6、游客各一名的概率； （3）根據(jù)以上列聯(lián)表，問有多大把握認為“游客性別與對景區(qū)的服務滿意”有關． 【解析】（1）由題意，樣本中滿意的女游客為名， 不滿意的女游客為名． （2）記樣本中對景區(qū)的服務滿意的3名女游客分別為，對景區(qū)的服務不滿意的2名女游客分別為． 從5名女游客中隨機選取兩名，共有10個基本事件，分別為，，，，． 其中事件：選到滿意與不滿意的女游客各一名包含了6個基本事件，分別為，，， ∴所求概率． （3）假設：該景區(qū)游客性別與對景區(qū)的服務滿意無關，則應該很?。? 根據(jù)題目中列聯(lián)表得：． 由可知：有99％的把握認為該景區(qū)游客性別與對景區(qū)的服務滿意有關． 【變式】以

7、下四個命題: ①在一次試卷分析中，從每個試室中抽取第5號考生的成績進行統(tǒng)計，是簡單隨機抽樣；②樣本數(shù)據(jù)：，，，，的方差為；③對于相關系數(shù)，越接近，則線性相關程度越強；④通過隨機詢問名性別不同的行人，對過馬路是愿意走斑馬線還是愿意走人行天橋進行抽樣調(diào)查，得到如下列聯(lián)表： 由可得， ， 附表 則有在犯錯誤率不超過的條件下認為“選擇過馬路方式與性別有關”．其中正確的命題序號是 ． 第75課 變量的相關性與統(tǒng)計案例的后作業(yè) 1．在回歸分析中，殘差圖中縱坐標為（ ） A．殘差 B．樣本編號 C． D． 【答案

8、】A 2．(2020韶關一模）已知回歸直線的斜率的估計值為，樣本點的中心為，則回歸直線方程為（ ） A． B． ?C．? D． 【答案】C 【解析】依題意可得， ∴ ，∴ ． 3．已知與之間的一組數(shù)據(jù)：則與的線性回歸方程必過點 (　　) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，. 4.對四組數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計，獲得如圖所示的散點圖，關于其相關系數(shù)的比較，正確的是 (　　) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】易知題中圖(1)與圖(

9、3)是正相關，圖(2)與圖(4)是負相關，且圖(1)與圖(2)中的樣本點集中分布在一條直線附近，則. 5. (2020·江西高考)某人研究中學生的性別與成績、視力、智商、閱讀量這4個變量之間的關系，隨機抽查52名中學生，得到統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表1至表4，則與性別有關聯(lián)的可能性最大的變量是( ) A．成績 B．視力 C．智商 D．閱讀量 【答案】D 【解析】因為K＝＝，K＝＝，K＝＝，K＝＝，則有K>K>K>K，所以閱讀量與性別關聯(lián)的可能性最大． 6.某班主任對全班30名男生進行了作業(yè)量多少的調(diào)查，數(shù)據(jù)如下

10、表：該班主任據(jù)此推斷男生認為作業(yè)多與喜歡玩電腦游戲有關系，則這種推斷犯錯誤的概率不超過________． 【答案】 【解析】計算得 的觀測值為，則推斷犯錯誤的概率不超過 . 7.某數(shù)學老師身高176 cm，他爺爺、父親和兒子的身高分別是173 cm、170 cm和182 cm.因兒子的身高與父親的身高有關，該老師用線性回歸分析的方法預測他孫子的身高為________ cm. 【答案】 【解析】兒子和父親的身高可列表如下： 父親身高 173 170 176 兒子身高 170 176 182 設線性回歸方程為，由表中的三組數(shù)據(jù)可求得，且過中心點，故，故線性回歸方程為，

11、將代入得孫子的身高為cm. 8.從某居民區(qū)隨機抽取10個家庭，獲得第個家庭的月收入(單位:千元)與月儲蓄(單位:千元)的數(shù)據(jù)資料，算得，，，． （1）求家庭的月儲蓄對月收入的線性回歸方程； （2）判斷變量與之間是正相關還是負相關，并說明這10個家庭月儲蓄對于月收入的變化情況； （3）若該居民區(qū)某家庭月收入為7千元，預測該家庭的月儲蓄． 附:線性回歸方程中，，， 其中，為樣本平均值． 9. 某中學研究性學習小組，為了研究高中學生的作文水平是否與愛看課外書有關系，在本校高三年級隨機調(diào)查了50名學生．調(diào)查結(jié)果表明：在愛看課外書的25人中有18人作文水平好，另外

12、7人作文水平一般；在不愛看課外書的25人中有6人作文水平好，另外19人作文水平一般． (1)試根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成以下2×2列聯(lián)表，并運用獨立性檢驗思想，指出有多大把握認為高中學生的作文水平與愛看課外書有關系； 愛看課外書 不愛看課外書 總計 作文水平好 作文水平一般 總計 (2)將其中某5名愛看課外書且作文水平好的學生分別編號為1,2,3,4,5，某5名愛看課外書且作文水平一般的學生也分別編號為1,2,3,4,5，從這兩組學生中各任選1人進行學習交流，求被選取的2名學生的編號之和為3的倍數(shù)或4的倍數(shù)的概率． 參考公式：，其中. 參考數(shù)據(jù)

13、： 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【解析】(1)2×2列聯(lián)表如下： 愛看課外書 不愛看課外書 總計 作文水平好 18 6 24 作文水平一般 7 19 26 總計 25 25 50 因為 由表知 ， 所以有 的把握認為高中學生的作文水平與愛看課外書有關系． (2)設“被選取的2名學生的編號之和為3的倍數(shù)”為事件，“被選取的2名學生的編號之和為4的倍數(shù)”為事件. 則基本事件為 1 2 3 4

14、 5 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) 共25個， 因為事件所包含的基本事件為(1,2)，(1,5)，(2,1)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(4,5)，(5,1)，(5,4)，共9個，所以 ；事件所包含的基本事件為(1,3)，(2,2)，(

15、3,1)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，共6個，所以. 因為事件、互斥，所以 ， 即被選取的2名學生的編號之和為3的倍數(shù)或4的倍數(shù)的概率為. 轎車A 轎車B 轎車C 舒適型 100 150 z 標準型 300 450 600 10.一汽車廠生產(chǎn)A，B，C三類轎車，每類轎車均有舒適型和標準型兩種型號，某月的產(chǎn)量如下表(單位：輛)： 按類用分層抽樣的方法在這個月生產(chǎn)的轎車中抽取50輛，其中有A類轎車10輛． (1)求z的值； (2)用分層抽樣的方法在C類轎車中抽取一個容量為5的樣本．將該樣本看成一個總體，從中任取2輛，求至少有1輛舒適型轎車的概率； (

16、3)用隨機抽樣的方法從B類舒適型轎車中抽取8輛，經(jīng)檢測它們的得分如下： 9.4 ,8.6 ,9.2 ,9.6 ,8.7 ,9.3 ,9.0 ,8.2，把這8輛轎車的得分看成一個總體，從中任取一個數(shù)，求該數(shù)與樣本平均數(shù)之差的絕對值不超過0.5的概率． 【解析】(1)設該廠這個月共生產(chǎn)轎車n輛，由題意得，所以， 則 . (2)設所抽樣本中有a輛舒適型轎車，由題意得，則. 因此抽取的容量為5的樣本中，有2輛舒適型轎車，3輛標準型轎車．用A1，A2表示2輛舒適型轎車，用B1，B2，B3表示3輛標準型轎車，用E表示事件“在該樣本中任取2輛，其中至少有1輛舒適型轎車”，則基本事件空間包含的基本事

17、件有： (A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共10個． 事件E包含的基本事件有： (A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，共7個．故P(E)＝，即所求概率為. (3)樣本平均數(shù)＝(9.4＋8.6＋9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0＋8.2)＝9. 設D表示事件“從樣本中任取一個數(shù)，該數(shù)與樣本平均數(shù)之差的絕對值不超過0.5”，則基本事件空間中有8個基本事件，事件D包含的基本事件有9.4,8.6,9.2,8.7,9.3，9.0，共6個，所以P(D)＝＝，即所求概率為.